Pruebas de raíz unitaria

verificar si hay una raíz unitaria, donde notamos que podemos rechazar nulos de raíz unitaria al usar la prueba Dickey-Fuller

adf.une <- ur.df(une, type = "trend", selectlags = "BIC")
summary(adf.une)   # La series es estacionaria

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.70448 -0.21077 -0.04731  0.19844  1.03067 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  0.0059997  0.0536401   0.112    0.911    
## z.lag.1     -0.0972035  0.0204701  -4.749 4.67e-06 ***
## tt          -0.0001167  0.0005838  -0.200    0.842    
## z.diff.lag   0.6846610  0.0595395  11.499  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.3311 on 153 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4776, Adjusted R-squared:  0.4674 
## F-statistic: 46.63 on 3 and 153 DF,  p-value: < 2.2e-16
## 
## 
## Value of test-statistic is: -4.7486 7.5583 11.3199 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.99 -3.43 -3.13
## phi2  6.22  4.75  4.07
## phi3  8.43  6.49  5.47

La serie de tiempo del desempleo es estacionaria.

adf.gdp <- ur.df(gdp, type = "trend", selectlags = "BIC")
summary(adf.une)

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.70448 -0.21077 -0.04731  0.19844  1.03067 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  0.0059997  0.0536401   0.112    0.911    
## z.lag.1     -0.0972035  0.0204701  -4.749 4.67e-06 ***
## tt          -0.0001167  0.0005838  -0.200    0.842    
## z.diff.lag   0.6846610  0.0595395  11.499  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.3311 on 153 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4776, Adjusted R-squared:  0.4674 
## F-statistic: 46.63 on 3 and 153 DF,  p-value: < 2.2e-16
## 
## 
## Value of test-statistic is: -4.7486 7.5583 11.3199 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.99 -3.43 -3.13
## phi2  6.22  4.75  4.07
## phi3  8.43  6.49  5.47

plot(adf.gdp)

La serie de tiempo del PIB es estacionaria.

Selección y estimación del modelo

Para crear un objeto bivariado para las dos series de tiempo que modelaremos, podemos simplemente unir en columna los dos objetos existentes.

Selección
A partir de entonces, podemos usar criterios de información para decidir el número de retrasos que se incluirán.

dat.bv <- cbind(gdp, une)
colnames(dat.bv) <- c("gdp", "une")
info.bv <- VARselect(dat.bv, lag.max = 12, type = "const")
info.bv

## $selection
## AIC(n)  HQ(n)  SC(n) FPE(n) 
##      2      2      2      2 
## 
## $criteria
##                  1           2           3           4          5           6
## AIC(n) -2.87304917 -2.97227231 -2.97044481 -2.95619395 -2.9179975 -2.92377526
## HQ(n)  -2.82345549 -2.88961617 -2.85472622 -2.80741291 -2.7361540 -2.70886931
## SC(n)  -2.75099070 -2.76884152 -2.68564170 -2.59001853 -2.4704498 -2.39485521
## FPE(n)  0.05652695  0.05118955  0.05128789  0.05203247  0.0540721  0.05378026
##                  7          8           9          10          11          12
## AIC(n) -2.88043354 -2.8338250 -2.80225128 -2.81189842 -2.81480573 -2.82165222
## HQ(n)  -2.63246514 -2.5527942 -2.48815796 -2.46474265 -2.43458751 -2.40837154
## SC(n)  -2.27014118 -2.1421604 -2.02921428 -1.95748911 -1.87902411 -1.80449828
## FPE(n)  0.05619048  0.0589099  0.06085003  0.06032776  0.06022773  0.05990607

info.bv$selection

## AIC(n)  HQ(n)  SC(n) FPE(n) 
##      2      2      2      2

Todos los criterios de información sugieren el uso de 2 rezagos sería apropiado, \(p=2\)

Estimación del modelo VAR

modelo <- VAR(dat.bv, p = 2 ,type = "const", season = NULL, exog = NULL)
summary(modelo)

## 
## VAR Estimation Results:
## ========================= 
## Endogenous variables: gdp, une 
## Deterministic variables: const 
## Sample size: 157 
## Log Likelihood: -211.593 
## Roots of the characteristic polynomial:
## 0.8361 0.8361 0.1014 0.1014
## Call:
## VAR(y = dat.bv, p = 2, type = "const", exogen = NULL)
## 
## 
## Estimation results for equation gdp: 
## ==================================== 
## gdp = gdp.l1 + une.l1 + gdp.l2 + une.l2 + const 
## 
##        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## gdp.l1  0.06905    0.10782   0.640  0.52289   
## une.l1 -0.61530    0.30723  -2.003  0.04699 * 
## gdp.l2  0.04741    0.09098   0.521  0.60309   
## une.l2  0.90193    0.31426   2.870  0.00469 **
## const  -0.01570    0.07684  -0.204  0.83833   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## 
## Residual standard error: 0.9613 on 152 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.2687,  Adjusted R-squared: 0.2495 
## F-statistic: 13.97 on 4 and 152 DF,  p-value: 1e-09 
## 
## 
## Estimation results for equation une: 
## ==================================== 
## une = gdp.l1 + une.l1 + gdp.l2 + une.l2 + const 
## 
##         Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## gdp.l1 -0.119156   0.035975  -3.312 0.001157 ** 
## une.l1  1.333482   0.102510  13.008  < 2e-16 ***
## gdp.l2 -0.029883   0.030358  -0.984 0.326497    
## une.l2 -0.416951   0.104853  -3.977 0.000108 ***
## const  -0.007501   0.025639  -0.293 0.770243    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## 
## Residual standard error: 0.3207 on 152 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.9429,  Adjusted R-squared: 0.9414 
## F-statistic: 628.1 on 4 and 152 DF,  p-value: < 2.2e-16 
## 
## 
## 
## Covariance matrix of residuals:
##         gdp     une
## gdp  0.9240 -0.2022
## une -0.2022  0.1029
## 
## Correlation matrix of residuals:
##         gdp     une
## gdp  1.0000 -0.6558
## une -0.6558  1.0000

El sistema es estable (las raíces características pueden interpretarse como valores propios en este caso).
Hay variables no significativas en el modelo, donde gpp está influenciado por el desempleo pasado;
Eel desempleo está influenciado por medidas pasadas de gdp y desempleo.

roots(modelo)

## [1] 0.8360669 0.8360669 0.1013916 0.1013916

Evaluación del Modelo

correlación serial
Para probar la correlación en serria, se aplica la prueba de Portmanteau.

bv.serial <- serial.test(modelo, lags.pt = 12, type = "PT.asymptotic")
bv.serial

## 
##  Portmanteau Test (asymptotic)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo
## Chi-squared = 46.579, df = 40, p-value = 0.22

\(p\)-valor mayor 0.05 indica ausencia de correlación serial

Test heteroscedasticidad

bv.arch <- arch.test(modelo, lags.multi = 12, multivariate.only = TRUE)
bv.arch

## 
##  ARCH (multivariate)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo
## Chi-squared = 108.4, df = 108, p-value = 0.4712

\(p\)-valor mayor al 5% indicates ausencia de heterocedasticidad

Test de Normalidad de los residuales

bv.norm <- normality.test(modelo, multivariate.only = FALSE)
bv.norm

## $gdp
## 
##  JB-Test (univariate)
## 
## data:  Residual of gdp equation
## Chi-squared = 1.0976, df = 2, p-value = 0.5776
## 
## 
## $une
## 
##  JB-Test (univariate)
## 
## data:  Residual of une equation
## Chi-squared = 16.473, df = 2, p-value = 0.0002648
## 
## 
## $JB
## 
##  JB-Test (multivariate)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo
## Chi-squared = 2.3194, df = 4, p-value = 0.6772
## 
## 
## $Skewness
## 
##  Skewness only (multivariate)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo
## Chi-squared = 2.1157, df = 2, p-value = 0.3472
## 
## 
## $Kurtosis
## 
##  Kurtosis only (multivariate)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo
## Chi-squared = 0.20376, df = 2, p-value = 0.9031

p-value indica que los residuales son normales

Ruptura estructural en los residuos,

aplicar una prueba CUSUM.

bv.cusum <- stability(modelo, type = "OLS-CUSUM")
plot(bv.cusum)

No parece haber una ruptura en los respectivos intervalos de confianza.

Causalidad de Granger, IRF y descomposiciones de varianza

Causalidad de Granger

bv.cause.gdp <- causality(modelo, cause = "gdp")
bv.cause.gdp

## $Granger
## 
##  Granger causality H0: gdp do not Granger-cause une
## 
## data:  VAR object modelo
## F-Test = 5.5723, df1 = 2, df2 = 304, p-value = 0.0042
## 
## 
## $Instant
## 
##  H0: No instantaneous causality between: gdp and une
## 
## data:  VAR object modelo
## Chi-squared = 47.214, df = 1, p-value = 6.364e-12

Segun los resultados el crecimiento trimestral de pdp causa Granger el crecimiento trimestral de une, al menos en nuestro periodo de estimación.

bv.cause.une <- causality(modelo, cause = "une")
bv.cause.une

## $Granger
## 
##  Granger causality H0: une do not Granger-cause gdp
## 
## data:  VAR object modelo
## F-Test = 12.821, df1 = 2, df2 = 304, p-value = 4.511e-06
## 
## 
## $Instant
## 
##  H0: No instantaneous causality between: une and gdp
## 
## data:  VAR object modelo
## Chi-squared = 47.214, df = 1, p-value = 6.364e-12

El crecimiento trimestral de los desempleo causa Granger el crecimiento trimestral del gdp.

Funcion de Impulso - Respuesta
Las funciones de impulso respuesta muestran los efectos de los shock en la trayectoria de ajuste de las variables.

Para generar funciones de respuesta a impulsos para describir la respuesta del producto a un shock de desempleo, procedemos de la siguiente manera:

irf.gdp <- irf(modelo, impulse = "une", response = "gdp",n.ahead = 40, boot = TRUE)
plot(irf.gdp)

Un choque positivo al desempleo tiene un efecto negativo en la salida (es decir, un menor poder adquisitivo).

Para considerar la respuesta del desempleo al shock de salida,

irf.une <- irf(modelo, impulse = "gdp", response = "une",n.ahead = 40, boot = TRUE)
plot(irf.une) # reponse of unemployment to gdp shock

# positive shock to output decreases unemployment by large and persistent amount

Aquí observamos que un shock positivo en GDP disminuye el desempleo en una cantidad relativamente grande y persistente.

Del mismo modo, podemos ver el efecto de un shock de desempleo en el desempleo.

irf.une_un <- irf(modelo, impulse = "une", response = "une",n.ahead = 40, boot = TRUE)
plot(irf.une, ylab = "unemployment", main = "Shock from GDP", xlab = "")

plot(irf.une_un, ylab = "unemployment", main = "Shock from unemployment")

Descomposición de La varianza

bv.vardec <- fevd(modelo, n.ahead = 10)
plot(bv.vardec)

gdp está determinado en gran medida por las perturbaciones del pib, mientras que el desempleo está influenciado por ambas perturbaciones

Pronósticos

Para pronosticar hacia adelante podemos usar el comando \(\textit{predict}\), donde en este caso pronosticamos 8 pasos adelante. También buscamos utilizar intervalos de confianza del 95% para el pronóstico

predictions <- predict(modelo, n.ahead = 8, ci = 0.95)
plot(predictions, names = "gdp")

plot(predictions, names = "une")

fanchart(predictions, names = "gdp")

fanchart(predictions, names = "une")

Ejemplo modelo VAR

Cargar las librerias

.

Pruebas de raíz unitaria

Selección y estimación del modelo

Selección

Estimación del modelo VAR

Evaluación del Modelo

correlación serial

Test heteroscedasticidad

Test de Normalidad de los residuales

Ruptura estructural en los residuos,

Causalidad de Granger, IRF y descomposiciones de varianza

Causalidad de Granger

Funcion de Impulso - Respuesta

Descomposición de La varianza

Pronósticos