Hovoríme, že funkcia f má v bode A
Pre maximum a minimum používame spoločné pomenovanie extrém.
Našou úlohou je nájsť extŕemy funckie f(x, y) na krivke g(x, y) = 0, alebo s väzbou g(x, y) = 0.
\[f(x, y) = f(x, g(x))\] \[f(x, y) = f(g(y), y)\]
\[L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda * g(x, y)\]
\[\nabla = \nabla f - \lambda * \nabla g = 0\] \[g(x, y) = 0\]
\[ {\frac{∂L}{∂x} = \frac{∂f}{∂x} - \lambda \frac{∂g}{∂x}} = 0\\ {\frac{∂L}{∂y} = \frac{∂f}{∂y} - \lambda \frac{∂g}{∂y}} = 0\\ g(x, y) = 0 \]
Po vyriešení rovníc a nájdení všetkých neznámych dostaneme body, ktoré sú kandidátmi na to, aby v nich mala funckia najmenšiu / najväčšiu hodnotu. To, či je daný bod minimom / maximom môžeme rozhodnúť pomocou:
funkčných hodnôt v daných extrémoch
geometrických úvah
faktu, že spojitá funkcia na uzavretej a ohraničenej množine M vždy nadobudne svoju najmenšiu / najväčšiu hodnotu v niektorom bode množiny M
druhých parciálnych derivácií a Hessovej matice (Hessiánu)
Lagrangeovou metódou nájdite viazané extrémy funkcie f(x, y) = x + y na krivke g(x, y) = 0
f <- function(x,y) x+y
g <- function(x,y) 1/(x^2) + 1/(y^2) - 1\[ f(x, y) = x + y \\ g(x, y) = {\frac{1}{x^2}} + {\frac{1}{y^2}} - 1 \]
library(plotly)## Warning: package 'plotly' was built under R version 4.0.5x <- y <- seq(-10,10, length = 20)
z1 <- outer(x, y, f)
z2 <- outer(x, y, g)
plot_ly(showscale = FALSE) %>%
add_surface(z = ~z1) %>%
add_surface(z = ~z2, colorscale = list(c(0,1),c("rgb(255,112,184)","rgb(128,0,64)")))L = expression((x + y) - lambda * (1/x^2 + 1/y^2 - 1))\[ L = (x + y) - \lambda ({\frac{1}{x^2}} + {\frac{1}{y^2}} - 1) \] 2. Vyriešime sústavu rovníc parciálnych derivacií Lagrangeovej funckie
L = expression((x + y) - lambda * (1/x^2 + 1/y^2 - 1))
D(L,'x')## 1 + lambda * (2 * x/(x^2)^2)D(L,'y')## 1 + lambda * (2 * y/(y^2)^2)\[ {\frac{∂L}{∂x}} = 1 + \lambda * (2 x^{-3})\\ {\frac{∂L}{∂y}} = 1 + \lambda * (2 y^{-3})\\ g(x, y) = {\frac{1}{x^2}} + {\frac{1}{y^2}} - 1 \]
V stacionárnych bodoch funkcie L sú tieto derivácie nulové, preto môžeme predchádzajúce rovnice prepísať:
\[ 1 - \lambda * (-2 x^{-3}) = 0\\ 1 - \lambda * (-2 y^{-3}) = 0\\ {\frac{1}{x^2}} + {\frac{1}{y^2}} - 1 = 0 \]
3a. Z prvého výrazu vyjadríme x
\[ {\frac{2 \lambda}{x^3}} = -1 \\ x^3 = -2 \lambda \\ x = \sqrt[3]{-2 \lambda} \]
3b. z druhého výrazu vyjadríme y
\[ {\frac{2 \lambda}{y^3}} = -1 \\ y^3 = -2 \lambda \\ y = \sqrt[3]{-2 \lambda} \]
3c. x, y dosadíme do väzby g(x, y)
\[ {\frac{1}{\sqrt[3]{-2 \lambda}^2} + \frac{1}{\sqrt[3]{-2 \lambda}^2}} = -1 \]
Dostaneme rovnicu o jednej neznámej a z nej vyjadríme λ \[ {\frac{2}{\sqrt[3]{2 \lambda}^2}} = 1 \\ \sqrt[3]{2 \lambda}^2 = 2 \\ 2 \lambda = \sqrt{2}^3 \\ \lambda = +- \sqrt{2} \] Vyjadrením neznámej z funkcie sme získali 2 korene:
Dosadením λ do rovníc pre x a y z bodu 3, dotaneme stacionárne body K1 a K2
5a. λ1 = \(\sqrt{2}\) \[ x = \sqrt[3]{-2 \lambda} = \sqrt[3]{-2 \sqrt{2}} = -\sqrt{2}\\ y = \sqrt[3]{-2 \lambda} = \sqrt[3]{-2 \sqrt{2}} = -\sqrt{2} \] bod K1 = [-\(\sqrt{2}\),-\(\sqrt{2}\)]
5b. λ1 = -\(\sqrt{2}\) \[ x = \sqrt[3]{-2 \lambda} = \sqrt[3]{2 \sqrt{2}} = \sqrt{2}\\ y = \sqrt[3]{-2 \lambda} = \sqrt[3]{2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} \] bod K2 = [\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{2}\)]
Určíme druhé parciálne derivácie
L = expression((x + y) - lambda * (1/x^2 + 1/y^2 - 1))
D(D(L,'x'),'x')## lambda * (2/(x^2)^2 - 2 * x * (2 * (2 * x * (x^2)))/((x^2)^2)^2)D(D(L,'y'),'y')## lambda * (2/(y^2)^2 - 2 * y * (2 * (2 * y * (y^2)))/((y^2)^2)^2)D(D(L,'x'),'y')## [1] 0\[ {\frac{∂^2L}{∂x^2} = -\frac{6 \lambda}{x^4}}\\ {\frac{∂^2L}{∂y^2} = -\frac{6 \lambda}{y^4}}\\ \frac{∂^2L}{∂xy} = 0 \]
\[\begin{bmatrix} \frac{∂^2L}{∂x^2} & \frac{∂^2L}{∂xy}\\ \frac{∂^2L}{∂xy} & \frac{∂^2L}{∂y^2} \end{bmatrix}\]
\[\begin{bmatrix} -\frac{6 \lambda}{x^4} & 0\\ 0 & -\frac{6 \lambda}{y^4} \end{bmatrix}\]
Za premenné x, y a lambda postupne dosadíme stacionárne body a vypočítame Hessián (determinant).
matrixK1 <- matrix(c(-3*sqrt(2)/2,0,0,-3*sqrt(2)/2),2,2)
det(matrixK1)## [1] 4.5\[\begin{bmatrix} -\frac{3 \sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & -\frac{3 \sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\]
Determinant nám vyšiel 4.5 a druhá derivácia podľa x z L je < 0, to znamená, že daný bod je lokálnym maximom.
\[\begin{bmatrix} \frac{3 \sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & \frac{3 \sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\]
matrixK2 <- matrix(c(3*sqrt(2)/2,0,0,3*sqrt(2)/2),2,2)
det(matrixK2)## [1] 4.5Determinant nám vyšiel 4.5 a druhá derivácia podľa x z L je > 0, to znamená, že daný bod je lokálnym minimom.
Cieľom tejto práce bolo určiť viazané extrémy funkcie Lagrangeovou metódou. Pomocou tejto metódy sa nám podarilo učiť extrémy funkcie f(x, y) = x + y na krivke g(x, y) = 0. Našli sme minimum v bode K1 = (-\(\sqrt{2}\),-\(\sqrt{2}\)) a maximum v bode K2 = (\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{2}\)).