M<-t(matrix(rep(10^(8:0),9),9,9))
M[lower.tri(M)==T]<-0
solve(M)%*%(9:1)
##        [,1]
##  [1,] 1e-08
##  [2,] 1e-07
##  [3,] 1e-06
##  [4,] 1e-05
##  [5,] 1e-04
##  [6,] 1e-03
##  [7,] 1e-02
##  [8,] 1e-01
##  [9,] 1e+00

Exercice 5 Chapitre 3

Question 1. a.

pbinom(4,10,1/5) # Question 1. a.
## [1] 0.9672065
1-pbinom(2,10,1/5) # Question 1. b.
## [1] 0.3222005
pbinom(2,10,1/5,lower.tail = F)
## [1] 0.3222005
plot(0:10,dbinom(0:10,10,1/5))

Question 1

## pbinom(4,10,1/5) %>% round(4) # 1.a.
## pbinom(2,10,1/5,lower.tail = F)%>% round(4) # 1.b.

Question 2

## pbinom(2,10,1/4) %>% round(4) # 2.a.
## pbinom(5,10,1/4,lower.tail = F)%>% round(4) # 2.b.

Question 3

## dbinom(0:10,10,1/5)%*%dbinom(0:10,10,1/4)%>% round(4)
## dbinom(1:10,10,1/5)%*%pbinom(0:9,10,1/4)%>% round(4)
## dbinom(1:10,10,1/4)%*%pbinom(0:9,10,1/5)%>% round(4)
1-round((0.0095+0.0006)/2 ,5)
## [1] 0.99495
pbinom(4,12,0.75,lower.tail = F)
## [1] 0.9972185

Loi normale

library(ggplot2)

n=100
p=0.5
x=0:n
y=dbinom(x,n,p)
plot(x,y)

sum(y)
## [1] 1
data <- data.frame(
  x=x ,  
  Prob=y
  )

ggplot(data, aes(x=x, y=y)) + 
  geom_bar(stat = "identity",width = 1,col="red")+
  stat_function(fun = dnorm, n = 1000, args = list(mean = n*p, sd = sqrt(n*p*(1-p)) ),col="blue")

\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=100\) et probabilité \(p=0.5\). On veut calculer \(\Pr(X\leq 60)\) en utilisant l’approximation par la loi normale.

  1. Quelle est l’espérance de \(X\) ? \(E(X)=np=100\times 0.5=\) 50.

  2. Quelle est la variance de \(X\) ? \(V(X)=np(1-p)=100\times 0.5\times 0.5=\) 25.

  3. Par quelle loi peut-on approcher la loi de \(X\) ? Réponse : on l’approche par une loi normale de moyenne \(m=50\) et d’écart-type \(\sqrt{25}\).

  4. Calculer avec R la probabilité \(\Pr(X\leq 60)\) en utilisant l’approximation par la loi normale.

pnorm(60.5 , n*p, sqrt(n*p*(1-p)) )
## [1] 0.9821356
pbinom(60,n,p)
## [1] 0.9823999

Mettre 60.5 au lieu de 60 s’appelle une correction de continuité.