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TEMA : Probabilidad

Asignacion : Ley Aditiva y Teorema de la probabilidad total

Ley Aditiva

La probabilidad de la unión del los eventos A y B esta dada por la fórmula:

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Esta fórmula se puede generalizar para tres eventos de la siguiente forma: P(A  B  C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) –P(BC) + P(ABC) Si los eventos son mutuamente excluyentes, entonces P(AB) = P(AC) = P(BC) = P(ABC) = 0, entonces las fórmulas anteriores quedarían: P(A  B) = P(A) + P(B) P(A  B  C ) = P(A) + P(B) + P(C)

Esta fórmula se pueden generalizar para los eventos mutuamente excluyentes A1, A2, A3, …., An ,de la siguiente forma: P( A1  A2  A3  …An ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ….+ P(An)

Ejemplo 1 La probabilidad de que una muestra de laboratorio contenga altos niveles de contaminación es 0.1 Se analizan tres muestras independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna contenga altos niveles de contaminación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una muestra contenga altos niveles de contaminación?

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una contenga altos niveles de contaminación?

Se analizan individualmente cada muestra generando los siguientes eventos: A: La primer muestra analizada tiene altos niveles de contaminación.

A : La primer muestra analizada no contiene tiene altos niveles de contaminación.

B : La segunda muestra analizada tiene altos niveles de contaminación

B : La segunda muestra analizada no contiene tiene altos niveles de contaminación

C : La tercera muestra analizada tiene altos niveles de contaminación

C : La tercera muestra analizada no tiene altos niveles de contaminación Se sabe que P(A) = P(B) = P(C) = 0.1 y como los eventos A , B , C son complementarios de A, B, y C y son independientes y se supone que los eventos son mutuamente excluyentes), entonces P( A ) = P( B ) = P(C ) = 0.9

  1. P(ninguna muestra tenga altos niveles de contaminación) = P( ABC) = P(A)P(B)P(C) = (0.1)(0.1)(0.1) = 0.001 = 0.1%

  2. P( exactamente una tenga altos niveles de contaminación) ; como no especifican cuál muestra debe tener altos niveles de contaminación, entonces se consideran todas las ordenaciones donde se encuentra una muestra defectuosa y estas son: A B C , A B C , A B C . Así entonces: P( exactamente una tenga altos niveles de contaminación) = P(A B C  A BC  A B C) = P(A B C ) + P( A B C ) + P( A B C) = P(A)P( B )P(C ) +P( A )P(B)P(C )

  1. P(al menos una contenga altos niveles de contaminación) = P(una o mas tengan contaminación); se consideran todas las combinaciones donde haya una, dos o tres muestras contaminadas. Esto sería entonces: P(una, dos o tres contaminadas) = P(A B C  A BC  A B C  AB C  A B C  A BC  ABC) = P(A B C ) + P( A BC ) + P( A B C) + P(AB C ) + P(A B C) + P( A BC) + P(ABC) = (0.1)(0.9)(0.9) + (0.9)(0.1)(0.9) + (0.9)(0.9)(0.1) + (0.1)(0.1)(0.9) + (0.1)(0.9)(0.1) + (0.9)(0.1)(0.1) + (0.1)(0.1)(0.1) = 0.271 Otro método para resolver este mismo inciso, es considerar en general el número posibles de muestras contaminadas; es decir puede haber ninguna , una , dos , o tres contaminadas, de tal forma que:

Ley Additiva)

Teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un evento a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve, la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es:

P(B) = P(Ai)P(B/Ai) i = 1,2,….,n

Es decir, la probabilidad de que ocurra el evento B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este evento con los diferentes eventos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada evento A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los eventos Ai tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo 1: al tirar una moneda, el evento “caiga águila” y el evento “caiga sello” forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%

Ejemplo 2: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total. *Ejercicio 1: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: a) Amarilla: probabilidad del 50%. b) Verde: probabilidad del 30% c) Roja: probabilidad del 20%. Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si lapapeleta elegida es:

  1. Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
  2. Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
  3. Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%. Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:

Teorema de la probabilidad total)