Estimation tests

• Nous allons simuler une distibution de revenus dans une une population de taille \(N=1000000\).
• On va supposer que me revenu moyen \(\mu =2500\) et l’écart-type \(\sigma=300\).
• On va utiliser pour cela la loi lognormale pour générer nos données.

set.seed(123) # Pour qu'on ait les même data
Income=rlnorm(1000000,7.8169,0.119571) 
N=length(Income)
mu=mean(Income)
sigma=sd(Income)
hist(Income)

set.seed(123)
Echantillon=sample(Income,50,replace = FALSE)
n=length(Echantillon)
xbar=mean(Echantillon)
s=sd(Echantillon)
xbar

[1] 2521.757

s

[1] 300.205

• On va tirer plusieurs fois la moyenne \(\bar{x}\) de l’échantillon et regarder sa distribution.
• Cela nous permet d’entrevoir la distribution d’échantillonnage de \[\bar{X}\].

xbars=c()
for (i in 1:1000)
{
xbars=c(xbars,mean(sample(Income,50,replace = FALSE)))  
}  
hist(xbars)

mean(xbars)

[1] 2500.154

• L’histogramme ressemble à une cloche en raison du Thorème de la limite centrale.

sd(xbars) ## Cette valeur est rapprocher de sigma/racine de n

[1] 42.2747

sigma/sqrt(50)

[1] 42.45539

Exercice

• On prélève un échantilon de taille \(n=20\) dans une population grande et “pas trop” non-normale.
• On trouve \(bar{x}=4.6\) et un écart-type \(s=2.1\).
• Donnez un intervalle de confiance pour la moyenne \(\mu\).

qt(0.025,19,lower.tail = F)

[1] 2.093024

4.6-2.09*2.1/sqrt(20) ## S'appelle LCL (lower confidence limit)

[1] 3.61859

4.6+2.09*2.1/sqrt(20) ## S'appelle UCL (uower confidence limit)

[1] 5.58141

Autre exercice

qt(0.05,49,lower.tail = FALSE)

[1] 1.676551

Example 12.01

Xm12_01$Newspaper%>%hist

On définit \(\mu\) comme le poids moyen en pounds qui sera recyclé une semaine donnée par les ménages de la population. On a le test d’hypothèses suivant

\(H_0:\mu=2\) conte \(H_1:\mu>2\). On calcule la statistique t de student.

qt(0.01,n-1,lower.tail = F)

[1] 2.351983

La statistique de student n’est pas dans la région de rejet. Je ne rejette pas \(H_O\). Il n’y a pas suffisamment de preuve statistique pour penser que ce business est rentable.

La \(p\)-value pour ce test

t.test(Xm12_01$Newspaper,alternative = "greater",mu=2)

    One Sample t-test

data:  Xm12_01$Newspaper
t = 2.2369, df = 147, p-value = 0.0134
alternative hypothesis: true mean is greater than 2
95 percent confidence interval:
 2.046905      Inf
sample estimates:
mean of x 
 2.180405 

Exercice xr12-24

Xr12_24$Winnings %>% t.test->res

res$conf.int[1]%>%round ## LCL

[1] 14423

res$conf.int[2]%>%round ## UCL

[1] 33679

Exercice xr12-26

Let \(\mu\) be the average weight of the containers \(H_0:\mu=8\) against \(H_1:\mu<8\). We have \(\alpha =0.01\).

Xr12_26 <- read_excel("Xr12-26.xlsx") 
Xr12_26$Weights %>% t.test(alternative="less",mu=8) ->res
res$p.value %>% round(4)

[1] 2e-04

Comme la p-value est très faible, on rejette \(H_0\). Probablement, le poids moyen est inférieur à ce qui est annoncé.

12.28

res$conf.int[1:2]%>%round(2)

[1] 18.10 35.23