Lista de Exercícios teste de hipótese

Estatística II

05/05/2021

Teste de Hipótese

Roteiro para um teste de significância:

  1. Enunciar às hipóteses H0 e H1.

  2. Fixar o limite do erro e identificar a variável do teste.

  3. Determinar a RA (Região de Aceitação) e RC (Região Crítica) ou RR (Região de Rejeição).

  4. Calcular o valor da variável do teste.

  5. Concluir pela Aceitação ou Rejeição do H0

Questão 1

Uma firma de produtos farmacêuticos afirma que o tempo médio para certo remédio fazer efeito é de 24 minutos. Numa amostra de 19 casos, o tempo médio foi de 25 minutos, com desvio padrão de 2 minutos. Teste alegação, contra a alternativa de que tempo médio é superior a 24. Adote alfa = 5%.

Dados presentes na questão:

n=19

média populacional = 24 minutos

média amostral = 25 minutos

desvio padrão = 2 minutos

nível de confiança = 95% (significância = alfa = 5%)

H0: Média = 24

H1: Média > 24

Como se trata de um teste unilateral ou unicaudal vamos multiplicar por 2, no caso teremos alfa = 10% = 0,10 – Distribuição Normal - Nível de confiança passa para 90% para determinar o valor limite na tabela.

Tabela da Distribuição normal : (http://www.professorneuber.com/listas/tabnormalOK.pdf)

Valor do Ztab = 1,64 – Limite de comparação

Zcal=(Média amostral − Média populacional)/Desvio padrão /RaizQ n

Zcal =(25 − 24)/2/RaizQ 19 = 1/2/4,3588 = 1/0,4588 = 2,1795

Como 2,1795 (Zcal) > 1,64(Ztab), rejeita-se a hipótese H0., e concluímos que a média amostral é maior que a média populacional.

Questão 2

Um comprador, ao receber de um fornecedor um grande lote de peças, decidiu inspecionar 200 delas. Decidiu, também, que o lote será rejeitado se ficar convencido, ao nível de 5% de significância, de que a proporção de peças defeituosas no lote é superior a 4%. Qual será sua decisão (aceitar ou rejeitar o lote) se na amostra foram encontradas onze peças defeituosas?(Passos: defina as hipóteses, faça o teste, tome a decisão).

Dados presentes na questão:

n=200 peças

Nível de confiança = 95%

p = 0,5

q =0,5

Ztab = 1,64

H0: Proporção = 4%

H1: Proporção > 4%

Ze = pa - pi0/RaizQ pi0(1-pi0)/n

Legenda

pa = Proporção da amostra

pi0 = Proporção da população

Ze = 0,055 -0,04/RaizQ 0,04(1-0,04)/200

Ze = 0,015/ RaizQ 0,0384/200

Ze = 0,015/0,01385 = 1,083

Como 1,083 < 1,64, não é rejeitado a hipótese H0., e concluímos que a proporção de peças defeituosa não é superior a 4%.

Questão 3

Sejam Mi1 e Mi2 as vidas médias de duas marcas concorrentes de pneus radiais de tamanho P205/65R15. Teste H0: Mi1 - Mi2 = 0 versus Ha: Mi1 - Mi2≠ 0, no nível de significância de 0,05, usando os seguintes dados: mx = 45, média de x = 42.500, e desvio padrão de x = 2200, ny= 45, média y = 40.400 e desvio padrão de y = 1900.

Dados presentes na questão:

Para x:

mx = 45

Média de x = 42.500

Desvio Padrão de x = 2200

Para y:

ny= 45

média y = 40.400

desvio padrão de y = 1900.

H0: Mi1 - Mi2 = 0

H1: Mi1 - Mi2≠ 0

alfa = 5% = 0,05 e Nível de Confiança 95,0% - Distribuição Normal Z (0,1) – Teste Bilateral ou Bicaudal.

Zcal = 42500 -40400/(2200)^2/45 + (1900)^2/45 = 4,8461

Como |Zcal|> Ztab, rejeita-se a hipótese H0., concluímos que as vidas médias dos pneus são diferentes.

Questão 4

Um fabricante garante que 90% das peças que fornecem à linha de produção de uma determinada fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. A análise de uma amostra de 200 peças revelou 25 defeituosas. A um nível de 5%, podemos dizer que é verdadeira a afirmação do fabricante?

Dados presentes na questão:

n = 200 peças

pa = 175/200 = 0,875

Nível de significância = 0,05

H0 : Mi = 0,9

H1 : Mi ≠ 0,9

Ztab = 1,960

Zcal = (0,875(Proporção amostral ) - 0,9(proporção populacional))/RaizQ 0,9 proporção populacional)* 0,1(1 - proporção populacional)/(200)(n amostral)

Zcal = -0,025/0,00045 = - 55,5555

Como |Zcal|> Ztab, rejeita-se a hipótese H0., concluímos que o fabricante não fornece 90% das peças com as especificações exigidas.

Questão 5

As resistências de dois tipos de concreto, que segue o modelo normal, foram medidas, mostrando os resultados da tabela. Fixado um nível de significância de 10%, existem evidências de que o concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y?

Tipo X | 54 | 55 | 58 | 50 | 61

Tipo Y | 51 | 54 | 55 | 52 | 53

Dados presentes na questão:

n1 = 5

n2 = 5

no R:

X <- c(54,55,58,50,61)

Y <- c(51,54,55,52,53)

mean(X)

mean (Y)

sd(X)

sd (Y)

média x = 55,6

média y = 53

desvio padrão x = 4,1593

desvio padrão y = 1,5811

H0 : Mi1 = Mi2

H1 : Mi1 ≠ Mi2

α = 10% = 0,10 e Nível de Confiança 90,0% - Distribuição Normal Z (0,1) – Teste Bilateral ou Bicaudal.

Ztab = 1,64

Zcal = 55,6 - 53 / 4,1593/5 + 1,5811/5 = 2,6/ 1,148 = 1,452

Como |Zcal|< Ztab, rejeita-se a hipótese H0., concluímos que a matéria-prima dos fornecedores são iguais.

Questão 6

Um engenheiro desconfia que a qualidade de um material pode depender da matéria prima utilizada. Há dois fornecedores de matéria-prima sendo usados. Testes com 10 observações de cada fornecedor indicaram,média de x = 39 e desvio padrão de x = 7 e média de y = 43 e desvio padrão de y = 9. Adote alfa = 5% e teste a hipótese do engenheiro.

Dados presentes na questão:

n1=10

n2=10

média x = 39

desvio padrão de x = 7

média y = 43

desvio padrão de y = 9

nível de significância = 0,05

H0 : Mi1 = Mi2

H1 : Mi1 ≠ Mi2

α = 5% = 0,05 e Nível de Confiança 95,0% - Distribuição Normal Z (0,1) – Teste Bilateral ou Bicaudal.

Ztab = 1,96

Zcal = 39 - 43 / 7/10 + 9/10 = -4/ 1,6 = -2,5

Como |Zcal|> Ztab, rejeita-se a hipótese H0., concluímos que a matéria-prima dos fornecedores são diferentes.

Questão 7

Para direcionar melhor sua campanha eleitoral o assessor do candidato para governo realizou uma pesquisa e obteve os seguintes resultados:

##      Local NEntrevistados NdevotosFavoráveis
## 1  Capital            650                452
## 2 Interior            452                113

Faça um teste estatístico para verificar se a diferença entre a proporção de votos favoráveis entre a capital e o interior. Adote o valor de alfa = 0,05.

Dados presentes na questão:

nível de significância = 0,05

Calculando a variância da Capital e Interior:

no Rstudio:

sd(Capital)# Desvio Padrão Capital

sd (Interior) # Desvio Padrão Interior

mean (Capital) # Média Capital

mean(Interior)# Média Interior

Média 1 = 551

S1² = 140,0071

Média 2 = 282,5

S2² = 239,7092

H0 : Mi1 = Mi2

H1 : Mi1 ≠ Mi2

α = 5% = 0,05 e Nível de Confiança 95,0% - Distribuição t student de graus de liberdade (φ = 2 + 2 – 2 = 2 ) – Teste Bilateral ou Bicaudal.

Obs. Graus de Liberdade = φ = (𝑛1 + 𝑛2) − 2

Ttab = 4,3027

Tcal = Média 1 - Média 2/ RaizQ SC² * (1/n1 + 1/n2)

Sendo que SC² :

(n1- 1) * S1² + (n2 - 1) * S2² / n1 + n2 - 2

Vamos calcular o SC² :

Tcal = (2-1) * 140,0071 + (2-1) * 239,7092 / 2 + 2 - 2

Tcal = 140,0071 + 239,7092/2 = 189,8581

Como Tcal > Ttab , rejeita-se a hipótese H0., e concluímos que as medias são diferentes.

Questão 8

A retirada de uma amostra aleatória de 40 parafusos. Obtiveram-se as seguintes medidas para o seu diâmetro: média = 12,2 e o desvio padrão (S) = 1,61, teste H0: Mi= 12,5 contra Mi ≠ 12,5. adote alfa = 0,05 e o valor diâmetro tenha uma distribuição normal de probabilidade.

Dados presentes na questão:

n= 40 parafusos

média = 12,2

(S)= 1,61 (Desvio padrão amostral)

Nível de significância = 0,05

Se não conhecemos a sigma² a distribuição a considerar é a distribuição T- Student (T0).

Tabela T-Student:(https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/1786954/mod_resource/content/1/Tabelat-student-2.pdf)

H0 : Mi = 12,5

H1 : Mi ≠ 12,5

α = 5% = 0,05 – Distribuição T-Student - gl (graus de liberdade) = 40 - 1 = 39 Teste Bilateral ou Bicaudal.

Ttab = 2,0227

Tcal = (12,2(Média amostral) - 12,5(Média populacional))/1,61(Desvio Padrão amostral)/RaizQ 40(n amostral)

Tcal = -0,3/1,61/6,3245

Tcal = -0,3/0,2545 = -1,1787

Como -1,1787(Tcal) está dentro da nossa região de aceitação(RA){-2,0227;2,0227}Ttab concluímos que a média amostral não é diferente da média populacional.