caso12:Eventos Independientes
Lucero Liliana Melo Valdez
3/5/2021
Objetivo
Determinar probabilidades para eventos independientes.
2 Descripción
Realizar y determinar probabilidades a partir de la probabilidad que se tienen en eventos independientes.
3 Sustento teórico
Se conoce la fórmula de la probabilidad condicional:
P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=P(A∩B)P(B)
ó bien por el contrario
P(B|A)=P(B∩A)P(A)P(B|A)=P(B∩A)P(A)
Se entiende que para ambos casos los eventos están relacionados o lo que es lo mismo son eventos dependientes, uno depende del otro.
Ahora bien, se describe la regla para eventos independientes. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si existen las siguientes igualdades:
P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B)
oP(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A)
Si se asume la existencia de probabilidad condicional son eventos independientes.
Si no se da esa igualdad entonces, A y B son dependientes. (Walpole, Myers, and Myers 2012a)
Asegurándose de que son eventos independientes y para determinar la probabilidad de eventos independientes es necesario aplicar la fórmula siguiente:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
Se cargan librerías necesarias para los ejercicios del caso.
library(knitr)
library(gtools)
Suceden dos eventos sacar dos cartas y reemplazarlas (voler a colocar en la baraja):
Al sacar una primera carta, este es un As. Evento A
En la segunda carta se sacó un trebol Evento T
Si se toma como probabilidad condicional entonces: La probabilidad de que sea trebol dado que fue As:
P(T|A)=P(T∩A)P(A)P(T|A)=P(T∩A)P(A)
∴
baraja <- c("AC","2C","3C","4C","5C","6C","7C","8C","9C","10C","JC","QC","KC","AP","2P","3P","4P","5P","6P","7P","8P","9P","10P","JP","QP","KP","AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT","AD","2D","3D","4D","5D","6D","7D","8D","9D","10D","JD","QD","KD")
n <- length(baraja) # Total de barajas
ases <- c('AC', 'AP', 'AT', 'AD')
n.ases <- length(ases) # Número de ases
prob.as <- n.ases/n # Probabilidad de que sea As
paste("La probabilida de que sea As es: ", prob.as, ". Es el denominador en la fórmula")## [1] "La probabilida de que sea As es: 0.0769230769230769 . Es el denominador en la fórmula"treboles <- c("AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT")
n.treboles <- length(treboles)
prob.trebol <- n.treboles / n
paste("La probabilida de que sea trébol es: ", prob.trebol )## [1] "La probabilida de que sea trébol es: 0.25"ases.inter.treboles <- intersect(ases, treboles)
n.ases.treboles <- length(ases.inter.treboles)
prob.ases.inter.treboles <- n.ases.treboles / n # P (T∩A)
paste("La probabilidad de evento As interseccion con trebol es: ", prob.ases.inter.treboles, ". Es el numerador en la fórmula")## [1] "La probabilidad de evento As interseccion con trebol es: 0.0192307692307692 . Es el numerador en la fórmula"P.trebol.dado.as <- prob.ases.inter.treboles / prob.as
paste("La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As'", P.trebol.dado.as)## [1] "La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As' 0.25"La probabilidad de sacar un trébol dado que se conoce la probabilidad de un A es:
P(T|A)=14=0.25P(T|A)=14=0.25
y la probabilidad de sacar un trébol es:
P(T)=1352=14=0.25P(T)=1352=14=0.25
entonces se cumpla la igualdad para determinar que son eventos independientes:
P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B)
P(T|A)=P(A)P(T|A)=P(A)
La ocurrencia de B no influye en las probabilidades de ocurrencia de A. Aquí la ocurrencia de A es independiente de la ocurrencia de B.(Walpole, Myers, and Myers 2012b) o lo que es lo mismo los eventos anteriores no cambian las probabilidades de eventos posteriores (content.nroc.org, n.d.a)
Cuando se tiene la certeza que los eventos son independientes y se tiene que determina la probabilidad de dos o mas eventos, entonces, se aplica la fórmula siguiente:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
ó
P(A∩B∩C)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)P(A∩B∩C)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)
4.2 Casos de probabilidad para eventos independientes
Se presentan ejercicios que se sabe que son eventos independientes, es decir que no están relacionados uno con el otro.
4.2.1 Ambulancia y Carro de bomberos
Una pequeña ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos esté disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia esté disponible cuando se le requiera es 0.92.
En el evento de un herido en un incendio, calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles, suponiendo que operan de forma independiente. (Walpole, Myers, and Myers 2012a)
Aplicando la fórmula para eventos que se tiene la certeza de que son independientes
P(carro∩ambulancia)=P(carro)⋅P(ambulancia)
p.carro.bomberos <- 0.98
p.ambulancia <- 0.92
paste("La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de: ", round(p.carro.bomberos * p.ambulancia * 100,2), "%" )## [1] "La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de: 90.16 %"4.2.2 Canicas
Sacar una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Se anota el color, regresas la canica a la bolsa, y extrae otra canica.
¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces? (content.nroc.org, n.d.b)
El espacio muestral para el primer evento tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}.
Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda extracción es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles. Entonces son eventos independientes.
canicas <- c("R1","R2", "B1", "B2", "V1")
espacio.muestral <- permutations(n = 5, r = 2, canicas, repeats.allowed = TRUE)
espacio.muestral## [,1] [,2]
## [1,] "B1" "B1"
## [2,] "B1" "B2"
## [3,] "B1" "R1"
## [4,] "B1" "R2"
## [5,] "B1" "V1"
## [6,] "B2" "B1"
## [7,] "B2" "B2"
## [8,] "B2" "R1"
## [9,] "B2" "R2"
## [10,] "B2" "V1"
## [11,] "R1" "B1"
## [12,] "R1" "B2"
## [13,] "R1" "R1"
## [14,] "R1" "R2"
## [15,] "R1" "V1"
## [16,] "R2" "B1"
## [17,] "R2" "B2"
## [18,] "R2" "R1"
## [19,] "R2" "R2"
## [20,] "R2" "V1"
## [21,] "V1" "B1"
## [22,] "V1" "B2"
## [23,] "V1" "R1"
## [24,] "V1" "R2"
## [25,] "V1" "V1"n <- nrow(espacio.muestral)
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales## [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo## [1] 0.16El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden elegir en la segunda extracción. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos:
Espacio de eventos:
(R1,R1),(R1,R2),(R2,R1),(R2,R2)
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales## [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo## [1] 0.16Otra forma de determinar y resolver el caso mediante la fórmula de eventos independientes y determinar la la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces?
P(roja∩roja)=P(roja)⋅P(roja)
canicas <- c('R', 'R', 'B', 'B', 'V')
n <- length(canicas)
prob.R <- 2/n
prob.B <- 2/n
prob.V <- 1/n
prob.R## [1] 0.4
prob.B## [1] 0.4prob.V## [1] 0.2prob.R.y.R <- prob.R * prob.R
prob.R.y.R## [1] 0.164.2.3 Canicas (otro caso)
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules.
Una canica es extraída de la caja y luego reemplazada o devuelta a la misma caja. En un segundo evento, otra canica se saca de la caja.
Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? (HotMath, n.d.)
canicas <- c('R', 'R', 'R', 'R', 'V', 'V', 'V', 'A', 'A')
n <- length(canicas)
# Revolver las canicas
canicas <- sample(canicas, size = n )
canicas## [1] "V" "V" "R" "A" "R" "R" "R" "V" "A"prob.R <- length(which(canicas == 'R')) / n
prob.V <- length(which(canicas == 'V')) / n
prob.A <- length(which(canicas == 'A')) / n
prob.R## [1] 0.4444444prob.V## [1] 0.3333333prob.A## [1] 0.2222222paste("La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es:", round(prob.A * prob.V * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es: 7.41 %"4.3 Fallas en Software
Anteriormente con la distribución de cierto software estadístico en los extintos CD, se probaban los discos para ver su taza de fallos. El proceso consistía en en correr los programas en los CD independientes y verificar los resultados. (content.nroc.org, n.d.c).
El ejercicio tiene 4 tipos de SW.
La tasa de falla para los 4 programas de prueba son 0.01,0.03,0.02 y 0.010.01,0.03,0.02 y 0.01, respectivamente.
- ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los CD que se pruebe no pase la prueba?
La probabilidad de que FALLE cada disco es la que se indica y la probabilidad de que NO PASE LA PRUEBA es el complemento de cada uno, es decir: 0.99,0.97,0.98,0.990.99,0.97,0.98,0.99
Como son eventos independientes, la probabilidad de que no pase la prueba un disco es la multiplicación de todas las probabilidades de que NO PASE, es decir su complemento.
Prob=P(CD1′)⋅P(CD2′)⋅P(CD3′)⋅P(CD4′)=0.99×0.97×0.98×0.99=0.0683
prob = 1 − (0.99)*(0.97)*(0.98)*(0.99)
prob ## [1] 0.068316944.4 Pares de calcetines
Rubén tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar a la escuela, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo devolverá al cajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blanco en su tercer intento? (content.nroc.org, n.d.c).
Hay 10 pares de calcetines es el espacio muestral y son eventos independientes porque hay reemplazo.
Evento A: Primer intento, un par de calcetines que no son blancos (3/10)′=7/10=0.7(3/10)′=7/10=0.7
Evento B: Segundo intento, un par de calcetines que no son blancos (3/10)′=7/10=0.7(3/10)′=7/10=0.7
Evento C: Tercer intento un par de calcetines que son blancos. (3/10)=0.3(3/10)=0.3
Entonces:
prob(NoBlanco∩NoBlanco∩Blanco)=P(NoBlanco)⋅P(NoBlanco)⋅P(Blanco)=0.147
prob <- 7/10 * 7/10 * 3/10
prob## [1] 0.1474.5 Apuestas deportivas
¿Cual es la probabilidad de que el fin de semana gane un equipo en un partido de fútbol y que también gane otro equipo en partidos y rivales diferentes?
Son eventos independiente porque el evento de un partido no interfiere con el evento del otro partido o la probabilidad de uno no tiene nada que ver con la probabilidad de otro.
El domingo juegan Atlas vs Chivas; América Vs Toluca y Querétaro y Juárez.
La probabilidad de que gane Atlas es del 0.30 o 30% La probabilidad de que gane América es del 0.90 o 90% La probabilidad de que gane Querétaro es de 0.50 o 50%
¿Cuál es la probabilidad de que gane Atlas, América y Querétaro?
prob(Atlas∩América∩Querétaro)=P(Atlas)⋅P(América)⋅P(Querétaro)=0.30×0.90×0.50=0.135=13.5prob(Atlas∩América∩Querétaro)=P(Atlas)⋅P(América)⋅P(Querétaro)=0.30×0.90×0.50=0.135=13.5
5 Interpretación
Al menos 200 palabras
Es la probabilidad que tiene un evento en ocurrir, ya sea en porcentaje o en fraccion como ma se entienda, como uos penales de futbol, tirar una moneda al aire, ganar la loteria ect. pero como ahora habla mos de eventos independientes, esto quiere decir que suceden dos sucesos pasan y el resultado de el primer evento no afecta al secundo evento como de lanzar una moneda o saber de que lado va a tirar u jugador en un penal, osea nada esta garantizado y la probabilidad se reinicia cada vez que sucede el evento consecutivo, como el de la moneda, al tirarla podemos asi lanzarla 500 veces y podria sali aguila todas las veces no es muy probable, pero podria pasar.
Como se utiliza, pues se puede utilizar para pruevas de muestreos de productos que se saque similarmente, como de telas impermeables y cual es el mejor material para producirlo o venderlo en masa. tambien se me ocurre como cuando hay errores se preduccion en modelos en las laptops o en electronicos ya sea de lavadoras o asistentes (refiriendome a la carcasa especificamente) de la provabilidad de que eso de corrija en el siguente es muy probables pero tambien es independiente del promer evento que fue del error que ocurrio al principio o que sigan sin percatarse.
¿Cual es la fórmula?
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Caso 1: Ambulancia y Carro de bomberos (HELADERIA)
Una heladeria hay dos sabores de frambuesa y uno de chicle pero el favorito de los niños es el de chicle y en un 73%, y el de los adultos es el de frambuesa en un 89%
calcule la probabilidad de que los dos sabores esten disponibles y use la dormula de la probabilidad de eventos independientes.
P(frambuesa∩chicle)=P(frambuesa⋅P(chicle)
p.h.fram <- 0.73
p.h.fre <- 0.89
paste("a probabilidad de que los dos sabores esten disponibles en todo un dia de trabajo: ", round(p.h.fram * p.h.fre * 100,2), "%" )## [1] "a probabilidad de que los dos sabores esten disponibles en todo un dia de trabajo: 64.97 %"Caso 2: Canicas (LOTERIA EN BOLITAS)
Sacar una bolita de una tombola que contiene bolitas verdes, blancas, y moradas. aqui hay dos ganadores, los que puedan sacar una bolita morada gana una camioneta del año o una sala de muebles trocoso. A lo que se escoja el primer ganador.
¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja en un participande que compro 30 voletos?
canicas <- c("R1","R2", "B1", "B2", "V1")
espacio.muestral <- permutations(n = 5, r = 2, canicas, repeats.allowed = TRUE)
espacio.muestral## [,1] [,2]
## [1,] "B1" "B1"
## [2,] "B1" "B2"
## [3,] "B1" "R1"
## [4,] "B1" "R2"
## [5,] "B1" "V1"
## [6,] "B2" "B1"
## [7,] "B2" "B2"
## [8,] "B2" "R1"
## [9,] "B2" "R2"
## [10,] "B2" "V1"
## [11,] "R1" "B1"
## [12,] "R1" "B2"
## [13,] "R1" "R1"
## [14,] "R1" "R2"
## [15,] "R1" "V1"
## [16,] "R2" "B1"
## [17,] "R2" "B2"
## [18,] "R2" "R1"
## [19,] "R2" "R2"
## [20,] "R2" "V1"
## [21,] "V1" "B1"
## [22,] "V1" "B2"
## [23,] "V1" "R1"
## [24,] "V1" "R2"
## [25,] "V1" "V1"El espacio muestral para el primer evento tiene 10 resultados, “B1” “B1” “B1” “B2” “B1” “R1”
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cualescasos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo## [1] 0.4444444Otra forma de determinar y resolver el caso mediante la fórmula de eventos independientes y determinar la la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces?
P(roja∩roja)=P(roja)⋅P(roja)
canicas <- c('R', 'R', 'B', 'B', 'V')
n <- length(canicas)
prob.R <- 2/n
prob.B <- 2/n
prob.V <- 1/n
prob.R## [1] 0.4prob.B## [1] 0.4prob.V## [1] 0.2prob.R.y.R <- prob.R * prob.R
prob.R.y.R## [1] 0.16Como la primera canica es devuelta a la tombola, le espacio muestral para la segunda extracción es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles. Entonces son eventos independientes!!!
Caso 3: Canicas (otro caso) [Bolsa de regalos]
Una bolsa contiene 4 collares 3 pares de aretes y 2 piedras.
Un objeto es extraído de la bolsa y luego reemplazada o devuelta a la misma bolsa. En un segundo evento, otro regalo se saca de la bolsa.
Cuál es la probabilidad de que la primer regalo sean piedras y la segundo regalo sea un par de aretes ?
regalos <- c('c', 'c', 'c', 'c', 'a', 'a', 'a', 'p', 'p')
n <- length(regalos)
regalos <- sample(regalos, size = n )
regalos## [1] "c" "a" "a" "c" "c" "a" "p" "c" "p"prob.c <- length(which(canicas == 'c')) / n
prob.a <- length(which(canicas == 'a')) / n
prob.p <- length(which(canicas == 'p')) / n
prob.c## [1] 0prob.a## [1] 0prob.p## [1] 0paste("La probabilidad de que la primer regalo sean piedras y la segundo regalo sea un par de arete es:", round(prob.A * prob.V * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que la primer regalo sean piedras y la segundo regalo sea un par de arete es: 4.44 %"Caso 4: Fallas en Software (Viejas plantillas para zapatos)
Anteriormente con la distribución de ciertas plantillas para zapatos en los extintos 90´s, se probaban las plantillas para ver su taza de fallos. El proceso consistía en en correr con las plantillas independientes y verificar los resultados.
El ejercicio tiene 4 tipos de plantillas.
La tasa de falla para los 4 plantillas de prueba son 0.01,0.03,0.02 y 0.010.01,0.03,0.02 y 0.01, respectivamente.
- ¿Cuál es la probabilidad de que uno de las plantillas que se pruebe no pase la prueba?
La probabilidad de que FALLE cada plantilla es la que se indica y la probabilidad de que NO PASE LA PRUEBA es el complemento de cada uno, es decir: 0.99,0.97,0.98,0.990.99,0.97,0.98,0.99
Como son eventos independientes, la probabilidad de que no pase la prueba una plantilla es la multiplicación de todas las probabilidades de que NO PASE, es decir su complemento.
Prob=P(pla1′)⋅P(pla2′)⋅P(pla3′)⋅P(pla4′)=0.99×0.97×0.98×0.99=0.0683
prob = 1 − (0.99)*(0.97)*(0.98)*(0.99)
prob ## [1] 0.06831694Caso 5: Pares de calcetines (pollos)
Camila tiene 10 pollitos pintados: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere sacar a veder a los de blanco, pero tiene prisa para llegar al tianguis (porque le ganan el lugar), por lo que agarra un par al azar. Si no es blanco, lo devolverá ala caja. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blanco en su tercer intento?
Hay 10 pares de pollitos es el espacio muestral y son eventos independientes porque hay reemplazo.
Evento A: Primer intento, un par de pollitos que no son blancos (3/10)′=7/10=0.7(3/10)′=7/10=0.7
Evento B: Segundo intento, un par de pollitos que no son blancos (3/10)′=7/10=0.7(3/10)′=7/10=0.7
Evento C: Tercer intento un par de pollitos que son blancos. (3/10)=0.3(3/10)=0.3
Entonces:
prob(NoBlanco∩NoBlanco∩Blanco)=P(NoBlanco)⋅P(NoBlanco)⋅P(Blanco)=0.147
prob <- 7/10 * 7/10 * 3/10
prob## [1] 0.147Caso 6: Apuestas deportivas (Apuestas de modelaje)
¿Cual es la probabilidad de que el fin de semana gane una modelo de DURANGO en un concurso de belleza y que también gane una modelo de YUCATAN en concursos y rivales diferentes?
Son eventos independiente porque el evento de un convurso no interfiere con el evento del otro partido o la probabilidad de uno no tiene nada que ver con la probabilidad de otro.
El domingo modela YUCATAN vs NUEVO LEON; DURANGO Vs JALISCO y CDMX y QUERETARO.
La probabilidad de que gane YUCATAN es del 0.30 o 30% La probabilidad de que gane DURANGO es del 0.90 o 90% La probabilidad de que gane QUERETARO es de 0.50 o 50%
¿Cuál es la probabilidad de que gane YUCATAN, DURANGO Y QUERETARO?
prob(YUCATAN∩DURANGO∩Querétaro)=P(YUCATAN)⋅P(DURANGO)⋅P(Querétaro)=0.30×0.90×0.50=0.135=13.5
Referencias bibliográficas
content.nroc.org. n.d.b. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html.
———. n.d.a. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html.
———. n.d.c. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html.
HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
———. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.