Modelos Lineares - Exemplo 2.1

# Modelos Lineares 2021.1 (ENCE/IBGE)
# Prof. Larissa Alves
# Aluno: Vinicius Rogério da Silva

# Exemplo 2.1 - Aula 30/04

O gerente de uma cadeia de supermercados deseja desenvolver um modelo com a finalidade de estimar as vendas médias semanais (em milhares de dólares). Sejam:

Estas variáveis foram observadas em 20 supermercados.

Carregando os dados

dados =  "11.20 907
11.05 926
6.84 506
9.21 741
9.42 789
10.08 889
9.45 874
6.73 510
7.24 529
6.12 420
7.63 679
9.43 872
9.46 924
7.64 607
6.92 452
8.95 729
9.33 794
10.23 844
11.77 1010
7.41 621"

library(stringr)

df = str_split(dados,"\n", simplify = T)
df = str_split(df," ", simplify = T)

X = as.numeric(df[,2])
Y = as.numeric(df[,1])

print(X)
 [1]  907  926  506  741  789  889  874  510  529  420  679  872  924  607  452
[16]  729  794  844 1010  621
print(Y)
 [1] 11.20 11.05  6.84  9.21  9.42 10.08  9.45  6.73  7.24  6.12  7.63  9.43
[13]  9.46  7.64  6.92  8.95  9.33 10.23 11.77  7.41

a) Faça o gráfico de dispersão de X versus Y

plot(X,Y, 
     main = "Regressão Linear: Vendas Médias Semanais", 
     xlab = "Número de clientes",
     ylab = "Venda média semanal (em mil dólares)",
     col = "blue", pch = 18, cex = 0.8)

Através do gráfico, é possível verificar a existência de uma relação linear positiva.

b) Obtenha as estimativas dos coeficientes de um modelo de regressão linear simples

# Computando valores para as estimativas por mínimos quadrados:

n = length(X)
Xbarra = sum(X)/n
Ybarra = sum(Y)/n

Sxx = sum(X^2) - n*(Xbarra^2)
Syy = sum(Y^2) - n*(Ybarra^2)
Sxy = sum(X*Y) - n*Xbarra*Ybarra

beta1 = Sxy / Sxx
beta0 = Ybarra - beta1*Xbarra
  • Estimativa para beta0^: 2.42304
  • Estimativa para beta1^: 0.00873

c) Qual o modelo ajustado?

sinal = ifelse(beta1>0," + "," - ")
strmodelo = paste0("Y^ = ",round(beta0,5),sinal,round(beta1,5),"X")

O modelo ajustado será Y^ = 2.42304 + 0.00873X

d) Faça o gráfico da reta de regressão sobre o gráfico de dispersão.

plot(X,Y, 
     main = "Regressão Linear: Vendas Médias Semanais", 
     xlab = "Número de clientes",
     ylab = "Venda média semanal (em mil dólares)",
     col = "blue", pch = 18, cex = 0.8)

abline(beta0,beta1, col = "red")

text(800, 8.4, strmodelo, col="red")

e) Interprete os resultados.

  • Com beta0^ = 2.42304, temos que a média comum das vendas semanais quando não há clientes nas lojas (X=0) é de US$ 2423.04. Uma possível explicação seria que as vendas são feitas também na internet ou por delivery, além dos clientes que vão às lojas da rede comprar fisicamente.

  • Com beta1^ = 0.00873, temos que para cada aumento de um cliente na semana, a venda semanal é incrementada em US$ 8.73, em média.

f) Obtenha o valor predito das vendas médias sabendo que X0 = 700 clientes

# Generalizando o modelo para qualquer valor
modelo_linear = function(x){ beta0 + beta1*x }

# Obtendo o valor predito para X0 = 700
valor_predito = modelo_linear(700)

O valor predito para a venda média semanal com X0 = 700 é de US$ 8533.58