1. En este ejercicio se graficaron 100000 puntos ubicados bajo la curva que representa 1/4 de la elipse con centro en el origen y semiejes mayor y menor con medidas de 2 y 1, correspondientemente.
set.seed(1073173761)
n = 10000
x = runif(n, 0, 2)
y = runif(n, 0, 1)
a=2
b=1
elipse = (((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))<=1)

plot(x,y, pch= 16, asp = TRUE, col=elipse, cex=0.1,xlim = c(-3,3))
abline(v=c(0,2),h=c(0,1), col='blueviolet')

100*sum(elipse)/n
## [1] 78.1

SI el area completa del rectangulo en el que está contenido este segmento de recta fuera 2 \({u^2}\), querría decir que el 78.1% de los puntos estarían contenido bajo este segmento.

Se procedió a estimar el área y compararla con el área calculada con la ecuación del área de la elipse:

#挼㸱reas

areal <- a*b*pi;areal
## [1] 6.283185
aestimada <- (2*sum(elipse)/n)*4;aestimada
## [1] 6.248
comparacion<-(aestimada/areal)*100;comparacion
## [1] 99.44001

Se observa que los valores de área presentan una similitud del 99,44%, indicando que son casi idénticos.

Lo anterior se observa gráficamente a continuación:

#Comparacion

n = 10000
cociente = c()
for(i in 10:n){
  x = runif(i, 0, 2)
  y = runif(i, 0, 1)
  
  d = (((x^2)/4)+y^2<=1)
  area_esti = sum(d)/i
  area_real = pi/4
  
  cociente[i-9] = area_esti/area_real
}

plot(cociente, pch=16, cex=0.1)
abline(h=1, col='darkorange')

  1. En el siguiente ejercició se buscó determinarr el area formada entre dos curvas que se muestran a continuación:
curve(expr = sqrt(x), from = 0, to = 1.5, ann=F)
curve(expr = x**2, from = 0, to = 1.5, add=T)
text(0.25,0.8,expression(sqrt(x)))
text(0.7,0.25,expression(x^2))

set.seed(2021)
n = 10000
x = runif(n, 0, 1)
y = runif(n, 0, 1)
raiz<-y<=sqrt(x)
potencia<-y>=x^2
plot(x,y, pch= 20, asp = TRUE, col=raiz & potencia, cex=1)
abline(v=c(0,1),h=c(0,1), col='red')

100*(sum(raiz & potencia)/n)
## [1] 33.15

SI el area completa del cuadrado en el que está contenido este segmento de recta fuera 1 \({u^2}\), querría decir que el 33,15% de los puntos estarían contenido en este segmento de área.

Se procedió a estimar el área y compararla con el área calculada con la ecuación:

#挼㸱reas
calculo_area_raiz<-integrate(function(x)sqrt(x),lower=0,upper=1)
araiz<-as.vector(calculo_area_raiz$value)
calculo_area_parabola<-integrate(function(x) x^2,lower=0,upper=1)
aparabola<-as.vector(calculo_area_parabola$value)

areal<-araiz-aparabola;areal
## [1] 0.3333334
aestimada <- sum(raiz & potencia)/n;aestimada
## [1] 0.3315
comparacion<-(aestimada/areal)*100;comparacion
## [1] 99.44998

Se observa que los valores de área presentan una similitud del 99,45%, indicando que son casi idénticos.

Lo anterior se observa gráficamente a continuación:

n = 10000
cociente = c()
for(i in 10:n){
  x = runif(n, 0, 1)
  y = runif(n, 0, 1)
  raiz<-y<=sqrt(x)
  potencia<-y>=x^2
  ar_est= sum(raiz & potencia)/i
  ar_real= 0.6666667- 0.3333333
  cociente[i-9] = ar_est/ar_real
}
length(cociente)
## [1] 9991
plot(cociente, pch=16, cex=0.1)
abline(h=1, col='red',lwd=2)