options(digits = 21)

1)

f = function(x){
  if(!is.numeric(x)) stop("X não é um valor real")
  return(1/(x^2 + 1))
  }

a)

# x^2 + 1 =/= 0 
# Isso é verdade para qualquer x Real

b)

DerivadaNumerica = function(x0,f,delta = 0.001){
  h = 1
  d1 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
  while (TRUE) {
    h = h/2
    d2 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
    if(abs(d1-d2) < delta) return(d2)
    d1 = d2
  }
}
DerivadaNumerica(10,f)
## [1] -0.0019701400646452202

c)

DerivadaNumericaRec = function(x0,f,delta = 0.001, h = 1){
  d1 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
  h = h/2
  d2 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
  if(abs(d1 - d2) < delta) return(d2)
  DerivadaNumericaRec(x0,f,delta,h)
}
DerivadaNumericaRec(10,f)
## [1] -0.0019701400646452202

d)

i

data.frame("x0" = c(0,-1/5,1/3),
           "Aprox f'(x0)" = c(DerivadaNumerica(0,f),DerivadaNumerica(-1/5,f),DerivadaNumerica(1/3,f)),
           "Aprox Rec f'(x0)" = c(DerivadaNumericaRec(0,f),DerivadaNumericaRec(-1/5,f),DerivadaNumericaRec(1/3,f)))
##                     x0         Aprox.f..x0.     Aprox.Rec.f..x0.
## 1  0.00000000000000000  0.00000000000000000  0.00000000000000000
## 2 -0.20000000000000001  0.36966225848996359  0.36966225848996359
## 3  0.33333333333333331 -0.53981019691573451 -0.53981019691573451

ii

{plot(f,xlim = c(-2,2),ylim = c(-2,2))
abline(h = 0,v = 0)}

#y = ax + b
#b = y - ax
#Sabemos que a reta passa em (0,f(0)), então
#b = f(0) - a*0 = f(0)
#Então a equação da reta que passa em (0,f(0)) é y = a*x + f(0)
plot(function(x){DerivadaNumerica(0,f)*x + f(0)},add = T, col = "red",xlim = c(-3,3))
points(0,f(0),col = "red")

#Sabemos que a reta passa em (-1/5,f(-1/5))
#b = f(-1/5) - f'(-1/5)*(-1/5)
#Então a equação da reta que passa em (-1/5,f(-1/5)) é 
#y = ax + (f(-1/5)) - f'(-1/5)*(-1/5))
plot(function(x){DerivadaNumerica(-1/5,f)*x + (f(-1/5) - DerivadaNumerica(-1/5,f)*(-1/5))},add = T, col = "blue",xlim = c(-3,3))
points(-1/5,f(-1/5),col = "blue")

#Sabemos que a reta passa em (1/3,f(1/3))
#b = f(1/3) - f'(1/3)*(1/3)
#Então a equação da reta que passa em (1/3,f(1/3)) é
#y = ax + (f(1/3) - f'(1/3)*(1/3))
plot(function(x){DerivadaNumerica(1/3,f)*x + (f(1/3) - DerivadaNumerica(1/3,f)*(1/3))},add = T, col = "pink",xlim = c(-3,3))
points(1/3,f(1/3),col = "pink")

2)

a)

# Temos uma função ln, sabemos que ln tem domínio somente para os reais maiores que 0, observe:

plot(function(x){x^2+x-2},xlim = c(-4,3))
abline(h = 0, v = 0)
#Podemos fatorar a função em (x-1)(x+2). Temos raizes 1 e -2. Então, pelo gráfico, temos que para x < -2 ou x > 1 essa função será positiva
points(-2,0,col = "red")
points(1,0, col = "red")

f = function(x){
  if(!(x < -2 | x > 1)) return(FALSE) #Fora do domínio
  else return(log(x^2 + x - 2))
}

b)

DerivadaNumerica = function(x0,f,delta = 0.001){
  h = 1
  
  
  d1 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
  while(!d1){
    h = h/2
    d1 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
  }
  
  while (TRUE) {
    h = h/2
    d2 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
    if(abs(d1-d2) < delta) return(d2)
    d1 = d2
  }
}
DerivadaNumerica(10,f)
## [1] 0.19460724404927543

c)

DerivadaNumericaRec = function(x0,f,delta = 0.001, h = 1){
  d1 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
  h = h/2
  d2 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
  if(abs(d1 - d2) < delta) return(d2)
  DerivadaNumericaRec(x0,f,delta,h)
}
DerivadaNumericaRec(10,f)
## [1] 0.19460724404927543

d)

i

data.frame("x0" = c(3,-5/2,4/3),
           "Aprox f'(x0)" = c(DerivadaNumerica(3,f),DerivadaNumerica(-5/2,f),DerivadaNumerica(4/3,f)),
           "Aprox Rec f'(x0)" = c(DerivadaNumericaRec(3,f),DerivadaNumericaRec(-5/2,f),DerivadaNumericaRec(4/3,f)))
##                    x0         Aprox.f..x0.     Aprox.Rec.f..x0.
## 1  3.0000000000000000  0.70017327349400915  0.70017327349400915
## 2 -2.5000000000000000 -2.28587754449855396 -2.28587754449855396
## 3  1.3333333333333333  3.30013747774747301  3.30013747774747301

ii

f1 = function(x){
  log(x^2 + x - 2)
}

{plot(f1,xlim = c(-5,5),ylim = c(-3,3))
abline(h = 0,v = 0)}
## Warning in log(x^2 + x - 2): NaNs produzidos
#(3,f(3))
plot(function(x){DerivadaNumerica(3,f)*x + (f(3) - DerivadaNumerica(3,f)*(3))},add = T, col = "red",xlim = c(-5,5))
points(3,f(3),col = "red")

#(-5/2,f(-5/2))
plot(function(x){DerivadaNumerica(-5/2,f)*x + (f(-5/2) - DerivadaNumerica(-5/2,f)*(-5/2))},add = T, col = "blue",xlim = c(-5,5))
points(-5/2,f(-5/2),col = "blue")

#(4/3,f(4/3))
plot(function(x){DerivadaNumerica(4/3,f)*x + (f(4/3) - DerivadaNumerica(4/3,f)*(4/3))},add = T, col = "pink",xlim = c(-5,5))
points(4/3,f(4/3),col = "pink")

3)

a)

#A função possui domínio em todos os Reais

b)

f = function(x){exp(-x/3)*(1+x/(x^2+1)) - 1}

c)

df = function(x0,delta = 0.001){
  h = 1
  d1 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
  while (TRUE) {
    h = h/2
    d2 = (f(x0+h) - f(x0-h))/(2*h)
    if(abs(d1-d2) < delta) return(d2)
    d1 = d2
  }
}
df(10)
## [1] -0.013483948194562778

d)

i

plot(f,xlim=c(-3,5)); abline(h=0)

plot(df,xlim=c(-3,5));abline(h=0)

#(-1,0) e #(0,1)

ii

RaizBissecaoRec = function(a,b,f,e){
  if(f(a)*f(b) >= 0) stop("Não existe raiz no intervalo a,b")
  
  m = (a+b)/2
  
  if(f(m) == 0 | abs(b-m) < e) return(m)
  if(f(a)*f(m) < 0) return(RaizBissecaoRec(a,m,f,e))
  
  return(RaizBissecaoRec(m, b, f, e))
}


xmin= RaizBissecaoRec(-1,0,df,e = 0.001)


plot(f,xlim=c(-3,5)); abline(h=0)
points(xmin,f(xmin), col = "red")

iii

xmax= RaizBissecaoRec(0,1,df,e = 0.001)

plot(f,xlim=c(-3,5)); abline(h=0)
points(xmax,f(xmax), col = "red")

iv

plot(df,xlim=c(-3,5))
abline(h=0)
segments(x0=xmin,y0=2,x1=xmin,y1=-2,lty=2)
points(xmin,0,pch=19,cex=1.2)
segments(x0=xmax,y0=1,x1=xmax,y1=-1,lty=2)
points(xmax,0,pch=19,cex=1.2)