Caso 14. Variables aleatorias discretas. Media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas
Guillermo Marin Ramirez
4/29/2021
1 Objetivo
Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas; visualización gráfica relacionada con variables discretas.
2 Descripción
Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación.
Se incluye en el caso, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas.
Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas. Se deben elaborar tres ejercicios en este caso 15 encontrados en la literatura, se pueden apoyar de los mismos ejercicios del caso 14.
3 Marco de referencia
Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).
Las variables aleatorias deben tomar valores numéricos. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.
El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, depende del tipo de valores numéricos que asuma. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008b). Para este documento se tratan únicamente variables del tipo discreto.
En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a este se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis resultados posibles. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado(Lind, Marchal, and Wathen 2015a)
En su libro (Walpole, Myers, and Myers 2012) define que una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.
Una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible.
Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que \(0\).
\(f(x)≥0\)
La suma de las probabilidad de todas las variables \(x\) debe ser igual a 11 o la suma de los valores de cada función de probabildiad con respecto a \(x\) debe ser \(1\)
\(∑xf(x)=1\)
La probabilidad de cada variable xx es igual a la función de probabilidad con respeto a xx
\(P(X=x)=f(x)\)
(Walpole, Myers, and Myers 2012)
Por otra parte, la función de la distribución acumulativa F(x) ó probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta XX con distribución de probabilidad f(x)f(x) está dada por la suma de sus probabilidades de tt siendo tt menor o igual a xx. Es decir, la probabilidad acumulada suma los valores de las funciones de probabilidad a partir del valor inicia de xx. El valor final con respecto a valor final de xx debe ser igual a 1.
\(F(x)=P(X≤x)=∑t≤xf(t)\)
(Walpole, Myers, and Myers 2012)
La media de una distribución discreta es también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia (Lind, Marchal, and Wathen 2015a)
La fórmula para el valor esperado es:
\(μ=∑x⋅P(x)\)
La varianza de una distribución discreta constituye un valor típico para resumir una distribución de probabilidad discreta, describe el grado de dispersión (variación) en una distribución (Lind, Marchal, and Wathen 2015a)
Su fórmula es:
\(α2=∑(x−μ)2⋅P(x)\)
La fórmula anterior significa:
La media se resta de cada valor de la variable aleatoria y la diferencia se eleva al cuadrado.
Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
Se suman los productos resultantes para obtener la varianza.
La desviación estándar, αα, se determina al extraer la raíz cuadrada positiva de α2α2; es decir, α=α2−−√α=α2 (Lind, Marchal, and Wathen 2015a)
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
- Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
library(stringr) # String
library(stringi) # String
library(gtools)
library(dplyr)
library(knitr)
library(gtools)
options(scipen = 999) # Notación normal4.2 Ejercicios
Para cada ejercicio algunos vistos en el caso 13 y otros nuevos para este caso 14, se describe y define su contexto.
Se construye su tabla de probabilidad que contenga los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.
Se determina el valor esperado de cada ejercicio
Se determina la varianza y la desviación estándar de la distribución de las variables discretas.
4.2.1 Billetes para rifa
Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere cincuenta billetes. (Hero, n.d.)
4.2.1.1 Tabla de probabilidad
discretas <- c(0,1) # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000 # sum(casos)
casos <- c(4950,50)
probabilidades <- casos / n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 4950 | 0.99 | 0.99 | 0.00 |
| 1 | 50 | 0.01 | 1.00 | 0.01 |
4.2.1.2 Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula:
\(μ=∑xP(x)\)
VE es el valor esperado
# VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x) VE <- sum(tabla$x.f.prob.x) VE## [1] 0.01
El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
Significa muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos 0.01
4.2.1.3 Varianza
Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x) #tabla kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza x casos f.prob.x F.acum.x x.f.prob.x VE x-VE.cuad.f.prob.x 0 4950 0.99 0.99 0.00 0.01 0.000099 1 50 0.01 1.00 0.01 0.01 0.009801
\(α2=∑(x−μ)2P(x)\)
varianza = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x) varianza## [1] 0.0099
4.2.1.4 Desviación estándard de una distribución discreta
La raiz cuadrada de la varianza
\(\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\)
desv.std = desviación estándard
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 0.099498744.2.1.5 La tabla con las sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4950 | 0.99 | 0.99 | 0.00 | 0.01 | 0.000099 |
| 1 | 50 | 0.01 | 1 | 0.01 | 0.01 | 0.009801 |
| **** | 5000 | 1.00 | **** | 0.01 | **** | 0.009900 |
4.2.1.6 Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
4.2.1.7 Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
4.2.2 Automóviles de Pelican Ford
Un vendedor llamado John Rasgdale vende la mayor cantidad de automóviles el sábado, así que desarrolló la siguiente distribución de probabilidades, en la cual se muestra la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.
La variable discreta venta de automóviles: 0,1,2,3,40,1,2,3,4 el sábado. Los valores de la probabilidad son : 0.1,0.2,0.3,0.3,0.10.1,0.2,0.3,0.3,0.1, previamente definidos.
Ya se dan las probabilidades de tal forma que la cantidad de casos no se dispone en este ejercicio.
¿De qué tipo de distribución se trata?, variables discretas
¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?
¿Cuál es la varianza de la distribución? (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).
4.2.2.1 Tabla de probabilidad
discretas <- 0:4
# casos <- c(4950,50)
# n <- sum(casos)
# probabilidades <- casos / n
casos <- rep('?', 5)
probabilidades <- c(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1)
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ? | 0.1 | 0.1 | 0.0 |
| 1 | ? | 0.2 | 0.3 | 0.2 |
| 2 | ? | 0.3 | 0.6 | 0.6 |
| 3 | ? | 0.3 | 0.9 | 0.9 |
| 4 | ? | 0.1 | 1.0 | 0.4 |
4.2.2.2 Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula:
\(μ=∑x⋅P(x)\)
- VE es el valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 2.1El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
4.2.2.3 Varianza
- Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | ? | 0.1 | 0.1 | 0.0 | 2.1 | 0.441 |
| 1 | ? | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 2.1 | 0.242 |
| 2 | ? | 0.3 | 0.6 | 0.6 | 2.1 | 0.003 |
| 3 | ? | 0.3 | 0.9 | 0.9 | 2.1 | 0.243 |
| 4 | ? | 0.1 | 1.0 | 0.4 | 2.1 | 0.361 |
\(α2=∑(x−μ)2⋅P(x)\)
- varianza = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 1.294.2.2.4 Desviación estándard de una distribución discreta
La raiz cuadrada de la varianza
desv.std = desviación estándard
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 1.1357824.2.2.6 Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
4.2.2.7 Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
4.2.3 Solicitudes de puestos de hombres y mujeres
Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos de trabajo: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco solicitantes son igualmente calificados y que no hay preferencia para elegir su género al igual que no importa el orden de género de hombres y mujeres (combinaciones).
Sea xx la variable aleatoria discreta al número de mujeres elegidas para ocupar los dos puestos de trabajo. Encuentre las probabilidades para elegir 0 mujeres, 1 mujer o 2 mujeres. (mendenhall_introduccion_2010?)
Haciendo las combinaciones en donde \(M=Mujer y H=Hombre\)
personas <- c("H1", "H2", "H3", "M1", "M2")
S.espacio.muestral <- combinations(n = 5, r = 2, v=personas)
S.espacio.muestral ## [,1] [,2]
## [1,] "H1" "H2"
## [2,] "H1" "H3"
## [3,] "H1" "M1"
## [4,] "H1" "M2"
## [5,] "H2" "H3"
## [6,] "H2" "M1"
## [7,] "H2" "M2"
## [8,] "H3" "M1"
## [9,] "H3" "M2"
## [10,] "M1" "M2"
De cuerdo al espacio muestral \(n\) con diez elementos, ¿en cúantas ocasiones hay cero mujeres?, ¿en cuántas ocasiones hay una mujer? y en cuántas ocasiones hay dos mujeres?
discretas <- c(0, 1, 2)
casos <- c(3, 6, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / n4.2.3.1 Tabla de probabilidades
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0.3 | 0.3 | 0.0 |
| 1 | 6 | 0.6 | 0.9 | 0.6 |
| 2 | 1 | 0.1 | 1.0 | 0.2 |
4.2.3.2 Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula:
\(μ=∑x⋅P(x)\)
- VE es el valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 0.84.2.3.3 Varianza
\(α2=∑(x−μ)2⋅P(x)\)
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0.3 | 0.3 | 0.0 | 0.8 | 0.192 |
| 1 | 6 | 0.6 | 0.9 | 0.6 | 0.8 | 0.024 |
| 2 | 1 | 0.1 | 1.0 | 0.2 | 0.8 | 0.144 |
Calculando la varianza
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 0.364.2.3.4 Desviación estándard
\(\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\)
Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 0.64.2.3.5 Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
4.2.3.6 Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
5 Interpretación de los ejercicios del caso
En este caso aprendimos a como es que las variables aleatorias discretas se llevan de la mano con el tema de varianza y desviacion estandar en una variable discreta y vemos como es que se aplica en distinctos casos que nos ayuda un poco mas a entender como es que se lleva a cabo este proceso de operaciones y razonamiento.
Se presentaron varios ejercicios de variables aleatorias discretas en donde se determiniaron las funciones de probabilidad y la función acumulada, la media o valor esperado, la varianza y sus desviación estándard. Se generaron gráficas de barras de los valores de las variables y la gráfica lineal de las tendencias.
El valor esperado en el ejercicio 1 del sorteo con valor de 1%, significa que es es muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos. En el ejercicio de vena de automóviles de John, se trata de una distribución de probabilidad discreta de la variable aleatoria “número de automóviles vendidos.” El valor esperado es del 2.1 que significa que puede vender 2 autos como esperanza.
El valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a largo plazo. Por ejemplo, si John trabaja\(50\) sábados en un año, puede esperar vender \((50)(2.1)\) o 105105 automóviles solo durante los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado(Lind, Marchal, and Wathen 2015b).
El valor de la varianza es de 1.29 que significa lo que puede variar con respecto al valor esperado. La desviación estándard es de \(1.135782.\)
¿Cómo se interpreta la variación?
Por ejemplo, Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados pero tien tal vez una desviacón de 1.9 en comparación del 1.135782 de John, entonces de puede decir que hay mayor variabilidad en la vendedora Rita dado que \((1.91≥1.35)\)(Lind, Marchal, and Wathen 2015b).
En el caso de las vacantes de puestos para hombres y mujeres el resultado del valor esperado es de \(0.8\) que significa la probabilidad de contratar mujeres en promedio, su desviación estándar es de 0.6 que significa nivel de dispersión (alejamiento) de la probabilidad de cada variable aleatoria con respecto al valor esperado.
Referencias bibliográficas
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008b. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
———. 2008a. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Hero, Course. n.d. “Variables Aleatorias - Variables Aleatorias Problemas…” https://www.coursehero.com/file/14618142/Variables-aleatorias/.
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015a. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.
———. 2015b. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.