Ejercicio 1. Una empresa que realiza estudios de la audiencia televisiva desea estimar el tiempo medio de horas diarias que pasan frente al televisor las familias, en un cantón específico La empresa dividió la zona de estudio en urbana y rural y se escogió una muestra del 2 por mil; es decir, 2 de cada mil familias de cada área pertenecerán a la muestra Con los datos resumidos en la siguiente tabla, encuentre un intervalo de confianza al 97.5% para el tiempo medio que cada familia pasa frente al televisor. \[\begin{array} {|r|r|r|r|r|} \hline & NI & ni & xi & si \\ \hline Area & & & & \\ Urbana & 64 796 & 130 & 2.93 & 0.77 \\ Rural & 42 188 & 84 & 1.46 & 0.58 \\ \hline \end{array}\]\[\left(\overline{x}_{est} - \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{N} \sqrt{\sum_{n=i}^{k}N_{i}^{2}\frac{N_{i}-n_{i}}{N_{i}}\frac{s_{i}^{2}}{n_{i}}}, \overline{x}_{est} + \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{N} \sqrt{\sum_{n=i}^{k}N_{i}^{2}\frac{N_{i}-n_{i}}{N_{i}}\frac{s_{i}^{2}}{n_{i}}}\right)\]
Solución
## [,1]
## [1,] 2.350321## [,1]
## [1,] 2.478031## [,1]
## [1,] 2.222611\[n = \frac{K z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}\sum N_{i}^{2}s_{i}^{2} }{N^{2}E^{2} + z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}\sum N_{i}s_{i}^{2} }\]
Ejemplo.
Para los datos del ejemplo sobre el tiempo promedio diario que gasta la población viendo la televisión, que a continuación se resume:
\[\begin{array} {|r|r|r|r|r|} \hline & NI & ni & xi & si \\ \hline Area & & & & \\ Urbana & 64 796 & 130 & 2.93 & 0.77 \\ Rural & 42 188 & 84 & 1.46 & 0.58 \\ \hline \end{array}\]Considerando un error de 0.1 h, a un nivel de confianza del 95.5%, determinar los tamaños muestrales y de las submuestras mediante asignación:
Solución
## [1] 299## [1] 150\[(\overline{x} - t_{\frac{\alpha}{2}, n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\frac{\alpha}{2},n-1}\frac{s}{\sqrt{n}})\]
Ejemplo. La cotización diaria de una moneda frente al dólar sigue una distribución normal de media y varianza desconocidas. Se eligieron 9 días al azar, la cotización fue:
\[\begin{array} {r} 65.3 & 66.2 & 65.8 & 66.0 & 66.1 & 64.5 & 65.2 & 67.1 & 64.2 \end{array}\]## [1] 3.355387## [1] 66.60662## [1] 64.59338Ejercicio. Se desea estimar el tiempo medio de ejecución de un programa. Para ello se ejecutó dicho programa 8 veces utilizando conjuntos de datos elegidos aleatoriamente, obteniéndose que la media muestral y la desviación estándar muestral son, respectivamente, 230 ms y 14 ms. Obtenga un intervalo de confianza al 90% para la media (suponga normalidad) e interprételo.
Ejercicio. En una oficina se desea conocer el gasto semanal en fotocopias, para ello se eligió una muestra de las facturas por ese rubro en 9 semanas del último semestre, resultando los gastos:
\[\begin{array} {r} 208 & 251 & 196 & 77 & 112 & 216 & 304 & 88 & 72 \end{array}\]Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida. Determine el intervalo de confianza del 95% para la media del gasto semanal en fotocopias e interprete dichos valores.
\[(\hat{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}})\]
Ejemplo. Con el objeto de estimar la proporción de televidentes que han visto el anuncio de un producto, se entrevistó a 400 telespectadores y resultó que 344 de ellos lo habían visto.
## [1] 0.8885371## [1] 0.8314629\[n = z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{E^{2}}\]
Solución
## [1] 362