1 Objetivo

Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas y visualización gráficas relacionados con variables discretas.

2 Descripción

Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada y su visualización gráfica para su adecuada interpretación.

3 Fundamento teórico

Pendiente.

4 Desarrollo

Se presentan ejercicios relacionadas con variables aleatorias y su probabilidad, para cada ejercicio, se describe y define el contexto, se construye la tabla de probabilidad que contiene los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.

4.1 Billetes de rifa

Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere tres billetes. (Course Hero, n.d.).

4.1.1 Librerías

library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.5

library(stringr)  # String
library(stringi)  # String
library(gtools)
library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(knitr)

4.1.2 Tabla de probabilidad

discretas <- c(0,1)   # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000
casos <- c(4997,3)
probabilidades <- casos / n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0  4997   0.9994   0.9994
## 2 1     3   0.0006   1.0000

4.1.3 Gráfica de barras

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
  geom_bar(stat="identity")

4.1.4 Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
    geom_point() + 
  geom_line()

4.2 Venta de automóviles

Las ventas de automóviles de una empresa durante los últimos 300 días de operación, los datos de ventas muestran que hubo:

54 días en los que no se vendió ningún automóvil,
117 días en los que se vendió 1 automóvil,
72 días en los que se vendieron 2 automóviles,
42 días en los que se vendieron 3 automóviles,
12 días en los que se vendieron 4 automóviles y
3 días en los que se vendieron 5 automóviles.

4.2.1 Tabla de probabilidades

discretas <- 0:5   # c(0,1,2,3,4,5)
n <- 300

casos <- c(54, 117, 72, 42, 12, 3)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0    54     0.18     0.18
## 2 1   117     0.39     0.57
## 3 2    72     0.24     0.81
## 4 3    42     0.14     0.95
## 5 4    12     0.04     0.99
## 6 5     3     0.01     1.00

¿Cuál es la probabilidad de que se venda exactamente un automóvil? \(prob=\frac{117}{300}= 0.39\)

¿Cuál es la la probabilidad de que se venda de uno a dos automóviles?. \(prob=∑P(x1,x2)=0.63\)

¿Cuál es la la probabilidad de que se venda al menos dos automóviles?. \(prob=∑P(x2,x3,x4,x5)=1−Prob.Acum(x1)=0.43\)

4.2.2 Gráfica de barras

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
  #geom_bar(stat="identity")
  geom_bar(stat="identity")

4.2.3 Gráfic lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point() + 
  geom_line()

4.3 Niños de cuarto grado

En Estados Unidos un porcentaje de los niños de cuarto grado no pueden leer un libro adecuado a su edad.

La tabla muestra, de acuerdo con las edades de entre 6 y 14 años, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y corregidos antes del tercer grado(Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).

4.3.1 Tabla de probabilidad

discretas <- 6:14
#n <- '?'

casos <- c(37369, 87436, 160840,239719,286719,306533,310787,302604,289168)

n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla

##    x  casos   f.prob.x   F.acum.x
## 1  6  37369 0.01848875 0.01848875
## 2  7  87436 0.04325998 0.06174874
## 3  8 160840 0.07957747 0.14132621
## 4  9 239719 0.11860378 0.25992999
## 5 10 286719 0.14185758 0.40178757
## 6 11 306533 0.15166079 0.55344837
## 7 12 310787 0.15376551 0.70721387
## 8 13 302604 0.14971687 0.85693075
## 9 14 289168 0.14306925 1.00000000

¿Cuál es la probabilidad de elegir alumnos que tienen problemas de exactamente 10 años?.

\[prob=P(x10)=\frac{286719}{n}=0.1418\]

¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos de 11 años o menos?.

\[prob=∑Prob(x6,x7,x8,x9,x10,x11)=Prob.Acum(x11)=0.5534\]

4.4 Satisfacción en el trabajo

Se muestra la distribución de frecuencias porcentuales para las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos en sistemas de información de nivel alto y de nivel medio. Las puntuaciones van de 1 (muy insatisfecho) a 5 (muy satisfecho).(Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).

4.4.1 Para directivos de nivel alto

4.4.1.1 Tabla de probabilidad

Para este ejercicio se utiliza tabla1 y tabla2 como variables para identificar los valores de acuerdo al tipo de ejecutivo.

¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto tenga una puntuación de 4 o 5 en satisfacción con el trabajo?

discretas <- 1:5
#n <- '?'

casos <- c(5,9,3,42,41)

n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   


tabla1 <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla1

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 1     5     0.05     0.05
## 2 2     9     0.09     0.14
## 3 3     3     0.03     0.17
## 4 4    42     0.42     0.59
## 5 5    41     0.41     1.00

paste("La probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo es:", round(sum(tabla1$f.prob.x[4], tabla1$f.prob.x[5]) * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo es: 83 %"

4.4.1.2 Gráfica de barra

ggplot(data = tabla1, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) + 
  geom_bar(stat="identity")

4.4.1.3 Gráfica linea acumulada

ggplot(data = tabla1, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

4.4.2 Para directivos de nivel medio

¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho?

discretas <- 1:5
#n <- '?'

casos <- c(4, 10, 12, 46, 28)

n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   


tabla2 <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla2

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 1     4     0.04     0.04
## 2 2    10     0.10     0.14
## 3 3    12     0.12     0.26
## 4 4    46     0.46     0.72
## 5 5    28     0.28     1.00

paste(" La probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho es:", round(tabla2$f.prob.x[5] * 100, 2), "%")

## [1] " La probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho es: 28 %"

4.4.2.1 Gráfica de barras

ggplot(data = tabla2, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) + 
  geom_bar(stat="identity")

4.4.2.2 Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla2, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

Observando las gráficas de barras y las tablas de probabilidad, los directivos de alto nivel están más satisfechos con el trabajo comparado con directivos de nivel medio.

4.5 Prueba de componentes electrónicos

La prueba de un número de componentes electrónicos se prueban tres componentes electrónicos, el espacio muestral que ofrece una descripción detallada de cada posible resultado se escribe como ‘N’ No Defectuoso y ‘D’ Defectuoso:

S <- c("NNN", "NND", "NDN", "DNN", 
        "NDD", "DND", "DDN", "DDD")
S

## [1] "NNN" "NND" "NDN" "DNN" "NDD" "DND" "DDN" "DDD"

Se define N como No defectuoso y D como defectuoso.
Se identifican las variables discretas como:
0 defectos, no hay D en el espacio muestral
1 defecto existe, existe una D en el espacio muestral
2 defectos hay dos D en el espacio muestral y
3 defectos hay tres D en el espacio muestral

Los variables aleatorias x0,x1,x2,x3 tiene valores de cero a tres defectos determinadas por el resultado del experimento. Se determina como valores que toma la variable aleatoria x, es decir, el número de artículos defectuosos cuando se prueban tres componentes electrónicos.

¿Cuál es la probabilidad de que haya 1 defecto?

discretas <- 0:3
#n <- '?'

casos <- c(1,3,3,1)

n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0     1    0.125    0.125
## 2 1     3    0.375    0.500
## 3 2     3    0.375    0.875
## 4 3     1    0.125    1.000

Se utiliza la variable \(x\) dado que el valor de la variable aleatoria x empieza en \(0\) y los vectores en R comienzan en, \(1\).

x <- 1  
paste("La probabilidad de que haya 1 defecto es: ",round(tabla$f.prob.x[x+1] * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que haya 1 defecto es:  37.5 %"

x <- 2 
paste("La probabilidad de que haya 2 defectos o mas es: ",round(sum(tabla$f.prob.x[x+1], tabla$f.prob.x[x+2]) * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que haya 2 defectos o mas es:  50 %"

4.5.1 Gráfica de barras

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
  #geom_bar(stat="identity")
  geom_bar(stat="identity")

4.5.2 Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point() + 
  geom_line()

5 Interpretación

Responder descriptivamente a las siguientes preguntas:

¿Cuál es la variable aleatoria y su significado en cada contexto? La variable aleatoria es una descripción númerica del resultado de un experimento. Es decir, adopta un diferente resultado númerico dependiendo del experimento realizado
¿Qué valores puede tomar una variable aleatoria discreta? Depende del resultado del experimento, puede ser discreto o continuo el valor que adopte
¿Cuál es el espacio muestral en cada contexto?, todos los elementos. El espacio muestral, en la cuestión de estadistica, son todos los acontecimientos elementales de un experimento y todos los posibles resultados que el mismo experimento puede obtener
¿Que significado tiene el gráfico de barra? Representa gráficamente, mediante el uso de secciones rectangulares, los valores o resultados que se obtienen en un experimento, tiene como propósito mostrar de una mánera más comprensible estos resultados
¿Qué significado tiene el gráfico lineal acumulado? Este tipo de gráficas tiene el mismo propósito que la de barras, incluso si uno se llega a fijar bien en los puntos que la conforman, se darán cuenta que cada uno de esos puntos representa el mismo valor del rectangulo de la gráfica de barras. Se usa también para mostrar de una mánera más gráfica y entendible los resultados de un experimento
¿Qué les deja el caso? El caso me deja muchos aprendizajes, aprendizajes que puedo aplicar en mis ejercicios de Probabilidad y Estadistica venideros, así como en más casos que requieran de el uso de estas maneras gráficas de mostrar resultados. Fue de los primeras temas vistos en la materia, y sin lugar a duda, el hecho de tenerlo en este tema de nuevo, demuestra que no debo olvidar los conocimientos adquiridos en casos previos, pues estos no solo se verán en el futuro como casos, sino como un retrato de mi vida escolar o laboral, debido a que si entro a una compañía, deberé realizar reportes, que normalmente cuentan con estas gráficas

6 Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008a. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. ———. 2008b. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Course Hero. n.d. “Variables Aleatorias - Variables Aleatorias Problemas…” https://www.coursehero.com/file/14618142/Variables-aleatorias/. Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

Caso 13. Variables discretas

Karol Gracia Garcia

28/4/2021