Probabilidad

Ejemplo moneda

• ¿Realmente es 0.5 la probabilidad de obtener cara (o sello) al lanzar una moneda?

# Opciones de la moneda
moneda <- c("cara", "sello")

# Un lanzamiento aleatorio
sample(x = moneda, size = 1)

## [1] "sello"

• Vamos a lanzar la moneda 10 veces:

set.seed(1) # semilla para garantizar replicabilidad
lanzamientos <- replicate(n = 10, expr = sample(x = moneda, size = 1))

• Calculamos la frecuencia relativa de la “cara”:

prop.table(table(lanzamientos))[1]

## cara 
##  0.6

• Replicar los pasos anteriores desde 1 lanzamiento hasta 100 lanzamientos:

experimento <- c()
for(i in 1:100){
  muestra <- replicate(n = i, expr = sample(x = moneda, size = 1))
  experimento[i] <- prop.table(table(muestra))[1]
}

• Imprimir la variable “experimento”:

experimento

##   [1] 1.0000000 1.0000000 0.6666667 0.2500000 1.0000000 0.5000000 0.5714286
##   [8] 0.1250000 0.4444444 0.3000000 0.3636364 0.5000000 0.5384615 0.6428571
##  [15] 0.4000000 0.5000000 0.5294118 0.5000000 0.6315789 0.5500000 0.3809524
##  [22] 0.5909091 0.3478261 0.4166667 0.6000000 0.4615385 0.5185185 0.6428571
##  [29] 0.4827586 0.5000000 0.7096774 0.5625000 0.4545455 0.5000000 0.4571429
##  [36] 0.3888889 0.5405405 0.4736842 0.5384615 0.5250000 0.4390244 0.4047619
##  [43] 0.4883721 0.5454545 0.4444444 0.4782609 0.4893617 0.4375000 0.4897959
##  [50] 0.5000000 0.4313725 0.4807692 0.5094340 0.5000000 0.5636364 0.6785714
##  [57] 0.4912281 0.5862069 0.5254237 0.4500000 0.4426230 0.4838710 0.5714286
##  [64] 0.3593750 0.5384615 0.4393939 0.4776119 0.4558824 0.5362319 0.5000000
##  [71] 0.5352113 0.4722222 0.4657534 0.6081081 0.5333333 0.4210526 0.5194805
##  [78] 0.4487179 0.5063291 0.4625000 0.4567901 0.4634146 0.5301205 0.4880952
##  [85] 0.5411765 0.5697674 0.5172414 0.4886364 0.4044944 0.4777778 0.5274725
##  [92] 0.4565217 0.4838710 0.4361702 0.5052632 0.4687500 0.4123711 0.4387755
##  [99] 0.3838384 0.5600000

• Gráfico sistema base de R:

plot(experimento, type = "l")
abline(h = 0.5, col = "red")

• Gráfico con ggplot2:

library(tidyverse)

enframe(experimento, name = "lanzamiento", value = "frecuencia") %>% 
  ggplot(mapping = aes(x = lanzamiento, y = frecuencia)) +
  geom_line() +
  geom_hline(yintercept = 0.5, color = "red")

Ejemplo moneda 2500 lanzamientos

• Replicar los pasos anteriores desde 1 lanzamiento hasta 2500 lanzamientos:

experimento <- c()
for(i in 1:2500){
  muestra <- replicate(n = i, expr = sample(x = moneda, size = 1))
  experimento[i] <- prop.table(table(muestra))[1]
}

• Gráfico sistema base de R:

plot(experimento, type = "l")
abline(h = 0.5, col = "red")

• Gráfico con ggplot2:

library(tidyverse)

enframe(experimento, name = "lanzamiento", value = "frecuencia") %>% 
  ggplot(mapping = aes(x = lanzamiento, y = frecuencia)) +
  geom_line() +
  geom_hline(yintercept = 0.5, color = "red")

Ejemplo dado

• Experimento con 2500 lanzamientos:

caras_dado <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6)

experimento <- c()
for(i in 1:2500){
  muestra <- replicate(n = i, expr = sample(x = caras_dado, size = 1))
  experimento[i] <- prop.table(table(muestra))[1]
}

• Construir el gráfico con ggplot2:

enframe(x = experimento, name = "lanzamiento", value = "frecuencia") %>% 
  ggplot(mapping = aes(x = lanzamiento, y = frecuencia)) +
  geom_line() +
  geom_hline(yintercept = 1/6, color = "red")

Combinaciones

• Ejemplo: ¿Cuántos subconjuntos de tamaño 2 puedo conformar de un conjunto de 4 personas?

n <- 4
r <- 2
factorial(n) / (factorial(r) * (factorial(n - r)))

## [1] 6

• R tiene la función choose() que permite calcular combinaciones:

choose(n = n, k = r)

## [1] 6

• Podemos obtener las combinaciones con la función combinations() de la biblioteca gtools:

library(gtools)
combinations(n = 4, r = 2, v = c("a", "b", "c", "d"))

##      [,1] [,2]
## [1,] "a"  "b" 
## [2,] "a"  "c" 
## [3,] "a"  "d" 
## [4,] "b"  "c" 
## [5,] "b"  "d" 
## [6,] "c"  "d"

• Podemos calcular el número de combinaciones:

nrow(combinations(n = 4, r = 2))

## [1] 6

Permutaciones

• Podemos calcular las permutaciones multiplicando la combinación por el factorial de r (k):

choose(n = 4, k = 2) * factorial(2)

## [1] 12

• Podemos implementar la función permutations() de la biblioteca gtools:

permutations(n = 4, r = 2)

##       [,1] [,2]
##  [1,]    1    2
##  [2,]    1    3
##  [3,]    1    4
##  [4,]    2    1
##  [5,]    2    3
##  [6,]    2    4
##  [7,]    3    1
##  [8,]    3    2
##  [9,]    3    4
## [10,]    4    1
## [11,]    4    2
## [12,]    4    3