Caso 13. Variables aleatorias discretas

1.- Objetivo

Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas y visualización gráficas relacionados con variables discretas.

2.- Descripción

Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada y su visualización gráfica para su adecuada interpretación.

3.- Fundamento teórico

Pendiente.

4.- Desarrollo

library(ggplot2)
library(stringr)  # String
library(stringi)  # String
library(gtools)
library(dplyr)
library(knitr)

Se presentan ejercicios relacionadas con variables aleatorias y su probabilidad, para cada ejercicio, se describe y define el contexto, se construye la tabla de probabilidad que contiene los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.

4.1.- Billetes de rifa

Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere tres billetes. (Course Hero, n.d.).

4.1.1.- Tabla de probabilidad

discretas <- c(0,1)   # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000
casos <- c(4997,3)
probabilidades <- casos / n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0  4997   0.9994   0.9994
## 2 1     3   0.0006   1.0000

4.1.2.- Gráfica de barras

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
  geom_bar(stat="identity")

4.1.3.- Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
    geom_point() + 
  geom_line()

4.2.- Venta de automóviles

Las ventas de automóviles de una empresa durante los últimos 300 días de operación, los datos de ventas muestran que hubo:

• 54 días en los que no se vendió ningún automóvil,

• 117 días en los que se vendió 1 automóvil,

• 72 días en los que se vendieron 2 automóviles,

• 42 días en los que se vendieron 3 automóviles,

• 12 días en los que se vendieron 4 automóviles y

• 3 días en los que se vendieron 5 automóviles.

4.2.1.- Tabla de probabilidades

discretas <- 0:5   # c(0,1,2,3,4,5)
n <- 300

casos <- c(54, 117, 72, 42, 12, 3)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0    54     0.18     0.18
## 2 1   117     0.39     0.57
## 3 2    72     0.24     0.81
## 4 3    42     0.14     0.95
## 5 4    12     0.04     0.99
## 6 5     3     0.01     1.00

¿Cuál es la probabilidad de que se venda exactamente un automóvil?.

\[prob=\frac{117}{300} = 0.39\]

¿Cuál es la la probabilidad de que se venda al menos 2 automóviles?.

\[prob=1 - \sum P(x_0, x_1) = 1 - Prob.Acum(x_1)=0.43\]

4.2.2.- Gráfica de barras

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
  #geom_bar(stat="identity")
  geom_bar(stat="identity")

4.2.3.- Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point() + 
  geom_line()

4.3.- Niños de cuarto grado

En Estados Unidos un porcentaje de los niños de cuarto grado no pueden leer un libro adecuado a su edad.

La tabla muestra, de acuerdo con las edades de entre 6 y 14 años, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y corregidos antes del tercer grado(Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).

4.3.1.- Tabla de probabilidades

discretas <- 6:14
#n <- '?'

casos <- c(37369, 87436, 160840,239719,286719,306533,310787,302604,289168)

n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla

##    x  casos   f.prob.x   F.acum.x
## 1  6  37369 0.01848875 0.01848875
## 2  7  87436 0.04325998 0.06174874
## 3  8 160840 0.07957747 0.14132621
## 4  9 239719 0.11860378 0.25992999
## 5 10 286719 0.14185758 0.40178757
## 6 11 306533 0.15166079 0.55344837
## 7 12 310787 0.15376551 0.70721387
## 8 13 302604 0.14971687 0.85693075
## 9 14 289168 0.14306925 1.00000000

¿Cuál es la probabilidad de elegir alumnos que tienen problemas de exactamente 10 años?.

\[prob=P(x_{10})=\frac{286719}{n} = 0.1418\]

¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos de 11 años o menos?.

\[prob=\sum Prob(x_6, x_7, x_8, x_9, x\_{10}, x\_{11}) = Prob.Acum(x\_{11}) = 0.5534\]

4.4.- Satisfacción en el trabajo

Se muestra la distribución de frecuencias porcentuales para las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos en sistemas de información de nivel alto y de nivel medio. Las puntuaciones van de 1 (muy insatisfecho) a 5 (muy satisfecho).(Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).

4.4.1.- Para directivos de nivel alto

4.4.1.1.- Tabla de probabilidad

Para este ejercicio se utiliza tabla1 y tabla2 como variables para identificar los valores de acuerdo al tipo de ejecutivo.

¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto tenga una puntuación de 4 o 5 en satisfacción con el trabajo?

discretas <- 1:5
#n <- '?'

casos <- c(5,9,3,42,41)

n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   


tabla1 <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla1

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 1     5     0.05     0.05
## 2 2     9     0.09     0.14
## 3 3     3     0.03     0.17
## 4 4    42     0.42     0.59
## 5 5    41     0.41     1.00

paste("La probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo es:", round(sum(tabla1$f.prob.x[4], tabla1$f.prob.x[5]) * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo es: 83 %"

4.4.1.2.- Gráfica de barra

ggplot(data = tabla1, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) + 
  geom_bar(stat="identity")

4.4.1.3.- Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla1, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

4.4.2.- Para directivos de nivel medio

¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho?

discretas <- 1:5
#n <- '?'

casos <- c(4, 10, 12, 46, 28)

n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   


tabla2 <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla2

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 1     4     0.04     0.04
## 2 2    10     0.10     0.14
## 3 3    12     0.12     0.26
## 4 4    46     0.46     0.72
## 5 5    28     0.28     1.00

paste(" La probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho es:", round(tabla2$f.prob.x[5] * 100, 2), "%")

## [1] " La probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho es: 28 %"

4.4.2.1.- Gráfica de barra

ggplot(data = tabla2, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) + 
  geom_bar(stat="identity")

4.4.2.2.- Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla2, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

Observando las gráficas de barras y las tablas de probabilidad, los directivos de alto nivel están más satisfechos con el trabajo comparado con directivos de nivel bajo.

4.5.- Prueba de componentes electrónicos

La prueba de un número de componentes electrónicos se prueban tres componentes electrónicos, el espacio muestral que ofrece una descripción detallada de cada posible resultado se escribe como ‘N’ No Defectuoso y ‘D’ Defectuoso:

S <- c("NNN", "NND", "NDN", "DNN", 
        "NDD", "DND", "DDN", "DDD")
S

## [1] "NNN" "NND" "NDN" "DNN" "NDD" "DND" "DDN" "DDD"

• Se define N como No defectuoso y D como defectuoso.

• Se identifican las variables discretas como:

  • 0 defectos, no hay D en el espacio muestral
  • 1 defecto existe, existe una D en el espacio muestral
  • 2 defectos hay dos D en el espacio muestral y
  • 3 defectos hay tres D en el espacio muestral

Los variables aleatorias \(x_0,x_1,x_2,x_3\) tiene valores de cero a tres defectos determinadas por el resultado del experimento. Se determina como valores que toma la variable aleatoria \(x\), es decir, el número de artículos defectuosos cuando se prueban tres componentes electrónicos.

¿Cuál es la probabilidad de que haya 1 defecto?

discretas <- 0:3
#n <- '?'

casos <- c(1,3,3,1)

n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acumulada)
tabla

##   x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0     1    0.125    0.125
## 2 1     3    0.375    0.500
## 3 2     3    0.375    0.875
## 4 3     1    0.125    1.000

Se utiliza la variable \(x\) dado que el valor de la variable aleatoria \(x\) empieza en \(0\) y los vectores en \(R\) comienzan en, \(1\).

x <- 1  
paste("La probabilidad de que haya 1 defecto es: ",round(tabla$f.prob.x[x+1] * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que haya 1 defecto es:  37.5 %"

¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 defectos o mas?

x <- 2 
paste("La probabilidad de que haya 2 defectos o mas es: ",round(sum(tabla$f.prob.x[x+1], tabla$f.prob.x[x+2]) * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que haya 2 defectos o mas es:  50 %"

4.5.1.- Gráfica de barras

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
  #geom_bar(stat="identity")
  geom_bar(stat="identity")

4.5.2.- Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point() + 
  geom_line() 

5.- Interpretación

Responder descriptivamente a las siguientes preguntas:

1.- ¿Cuál es la variable aleatoria y su significado en cada contexto?

• Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento; éstas deben tomar valores numéricos asociando este valor a cada resultado que tenga un experimento, dependiendo del resultado experimental.

En cualquier experimento el resultado se presenta al azar, por lo que este será denominado como variable aleatoria. Y esta variable es una función que asocia a un número real con cada elemento del espacio muestral.

2.- ¿Qué valores puede tomar una variable aleatoria discreta?

• Los valores de una variable aleatoria discreta X, para cada resultado x posible, depende de lo sigueinte (según Walpole, Myers, and Myers 2012):

1. Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual a 0.

$$f(x) \geq 0$$

2. La suma de las probabilidades de todas las variables \(x\) debe ser igual a 1 o la suma de los valores de cada función de probabilidad con respecto a \(x\) debe ser 1.

$$\sum _xf(x) = 1$$

3. La probabilidad de cada variable \(x\) es igual a la función de probabilidad con respecto a \(x\).

\[P(X=x) = f(x)\]

3.- ¿Cuál es el espacio muestral en cada contexto?, todos los elementos.

• Un espacio muestral es todos los posibles resultados y/o combinaciones de resultados que tiene un experimento; a partir de este se puede obtener la probabilidad y de este dependen las variables aleatorias.

En el problema de “Prueba de componentes electrónicos” se tienen como posibles resultados N(No defectuoso) y D(Defectuoso), probándose en tres componentes, por lo que el espacio muestral queda de la siguiente manera:

NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD.

4.- ¿Que significado tiene el gráfico de barra?

• El gráfico de barra interpreta de forma visual la probabilidad del resultado de un experimento, mostrando con barras la variable aleatoria y que probabilidad es más alta entre variables.

5.- ¿Qué significado tiene el gráfico lineal acumulado?

• El gráfico lineal acumulado muestra la variación de la variable aleatoria, mostrando con puntos los intérvalos de cariación entre una variable y otra, uniendolos con líneas para mostrar si es una variación constante o si es inconstante.

6.- ¿Qué les deja el caso?

• El caso me ensenó a cómo interpretar gráficos de barra, lineal acumulado y a acomodar las proabilidades en una tabla de probabilidades, también a entender mejor lo que es una variable aleatoria discreta y cómo se obtiene en los resultados de un experimento.

Referencias bibliogáficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008a. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. ———. 2008b. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Course Hero. n.d. “Variables Aleatorias - Variables Aleatorias Problemas…” https://www.coursehero.com/file/14618142/Variables-aleatorias/. Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.