Caso 13. Variables aleatorias discretas
Kevin Mark Garcia
27/4/2021
1 Objetivo
Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad, funciones acumuladas y visualización gráficas relacionados con variables discretas.
2 Descripción
Identificar casos relacionados con variables discretas para elaborar mediante programación R y markdown las variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada y su visualización gráfica para su adecuada interpretación.
3 Fundamento teórico
Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).
Las variables aleatorias deben tomar valores numéricos. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.
El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, depende del tipo de valores numéricos que asuma. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a). Para este documento se tratan únicamente variables del tipo discreto.
En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a este se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis resultados posibles. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado(Lind, Marchal, and Wathen 2015)
En su libro (Walpole, Myers, and Myers 2012) define que una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.
Una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible.
Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que 00
\(f(x)≥0\)
La suma de las probabilidad de todas las variables xx debe ser igual a 11 o la suma de los valores de cada función de probabildiad con respecto a xx debe ser 1
\(∑xf(x)=1\)
La probabilidad de cada variable xx es igual a la función de probabilidad con respeto a x
\(P(X=x)=f(x)\)
(Walpole, Myers, and Myers 2012)
Por otra parte, la función de la distribución acumulativa F(x) ó probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta XX con distribución de probabilidad f(x)f(x) está dada por la suma de sus probabilidades de tt siendo tt menor o igual a xx. Es decir, la probabilidad acumulada suma los valores de las funciones de probabilidad a partir del valor inicia de xx. El valor final con respecto a valor final de xx debe ser igual a 1.
\(F(x)=P(X≤x)=∑t≤xf(t)\)
(Walpole, Myers, and Myers 2012)
Ejemplo 1:
Se hace un estudio a personas para conocer preguntarles ¿cuántas personas viven en su casa?, la variable aleatoria es discreta porque son valores hay valores entre uno y seis.
Se muestra una tabla de distribución de probabilidad.
Variable aleatoria Cuántas personas viven en casa |
Frecuencia relativa = Probabilidad | Probabilidad Acumulada |
|---|---|---|
| 1 | 0.10 | 0.10 |
| 2 | 0.14 | 0.24 |
| 3 | 0.16 | 0.40 |
| 4 | 0.30 | 0.70 |
| 5 | 0.20 | 0.90 |
| 6 | 0.10 | 1.00 |
¿Cuál es la probabilidad de que viva una persona en casa?. R. 0.10
¿Cuál es la probabilidad de elegir a una persona al azar y que responda que viven 4 personas en casa?. R. 0.30
Es posible encontrar o calcular probabilidades conjuntas o que se tenga que sumar (unir) probabilidad de acuerdo las variables aleatorias.
¿Cuál es la probabilidad de que se le pregunte a una persona y mencione de que en casa viven de 1 a 3 personas. Hay que sumar probabilidades P(1)+P(2)+P(3)=0.10+0.14+0.16=0.40P(1)+P(2)+P(3)=0.10+0.14+0.16=0.40 o lo que es lo mismo es la probabilidad acumulada para cuando la variable aleatoria esté entre uno y tres. 0.400.40.
Existe cuestionamientos de probabilidad de que al menos se tenga un valor en la variable aleatoria. Es necesario apoyarse de la probabilidad acumulada.
Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al menos hay 5 personas que viven en casa? Se calcula a partir de la probabilidad de P(5)+P(6)=0.20+0.10=0.30P(5)+P(6)=0.20+0.10=0.30 o también se pudo haber encontrado el complemento de la probabilidad acumulada de P(4)P(4) es decir 1−P(4)=1−0.70=0.301−P(4)=1−0.70=0.30.
En R se presenta una variable llamada variables que almacena los valores de las variables aleatorias discretas entre uno y seis.
Algunas librerías necesarias para el caso. Se debe recordar que las librerías deberán estar previamente instaladas con install.packages()
library(ggplot2)
library(stringr) # String
library(stringi) # String
library(gtools)
library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(knitr)variables <- c(1,2,3,4,5,6)
prob <- c(0.10, 0.14, 0.16, 0.30, 0.20, 0.10)
prob.acumulada <- cumsum(prob)
datos <- data.frame(variables, prob, prob.acumulada)
kable(datos, caption = "Variables aleatorias discretas y su probabilidad. Personas ue vien en casa")| variables | prob | prob.acumulada |
|---|---|---|
| 1 | 0.10 | 0.10 |
| 2 | 0.14 | 0.24 |
| 3 | 0.16 | 0.40 |
| 4 | 0.30 | 0.70 |
| 5 | 0.20 | 0.90 |
| 6 | 0.10 | 1.00 |
Respondiendo a las preguntas del ejemplo de personas que viven en casa.
¿Cuál es la probabilidad de que viva una persona en casa?
datos$prob[1]## [1] 0.1¿Cuál es la probabilidad de elegir a una persona al azar y que responda que viven 4 personas en casa?
datos$prob[4]## [1] 0.3
¿Cuál es la probabilidad de que se le pregunte a una persona y mencione de que en casa viven de 1 a 3 personas?
datos$prob[1] + datos$prob[2] + datos$prob[3]## [1] 0.4datos$prob.acumulada[3]## [1] 0.4¿Cuál es la probabilidad de que al menos hay 5 personas que viven en casa?. Se puede utilizar la fórmula de complemento o sumar a partir de la variable aleatoria 5
1 - datos$prob.acumulada[4]## [1] 0.3datos$prob[5] + datos$prob[6]## [1] 0.3Ejemplo 2:
Se hace un estudio de N personas en una institución educativa y se les pregunta a los alumnos en qué semestre estudian?, puede haber respuestas desde cero hasta doce, entonces la variable aleatoria semestre es discreta y las probabilidades asociadas a cada una de ellas.
variables <- c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
prob <- c(0.05,0.18, 0.16, 0.12, 0.10, 0.08, 0.08, 0.06, 0.04,0.02,0.01, 0.05, 0.05)
prob.acumulada <- cumsum(prob)
datos <- data.frame(variables, prob, prob.acumulada)
kable(datos, caption = "Variables aleatorias discretas y su probabilidad. Semestre en que estudia un alumno")| variables | prob | prob.acumulada |
|---|---|---|
| 0 | 0.05 | 0.05 |
| 1 | 0.18 | 0.23 |
| 2 | 0.16 | 0.39 |
| 3 | 0.12 | 0.51 |
| 4 | 0.10 | 0.61 |
| 5 | 0.08 | 0.69 |
| 6 | 0.08 | 0.77 |
| 7 | 0.06 | 0.83 |
| 8 | 0.04 | 0.87 |
| 9 | 0.02 | 0.89 |
| 10 | 0.01 | 0.90 |
| 11 | 0.05 | 0.95 |
| 12 | 0.05 | 1.00 |
¿ Cuál es la probabilidad de encontrar a un alumno de quinto semestre?. R 0.08
El valor de las posiciones en R como son arreglos las columnas del conjunto de datos comienzan en 1, el valor de la variable aleatoria comienza en 0. Para efectos de encontrar los valores se agrega 1 a la posición. Se utiliza el valor de posición “i” para acceder al valor.
i=5 # Variable aleatoria de 5 semestre
datos$prob[i+1]## [1] 0.08¿ Cuál es la probabilidad de encontrar a un alumno de quinto doceavo semestre?. R 0.05
i=12 # Variable aleatoria de 12 semestre
datos$prob[i+1]## [1] 0.05¿Cuál es la probabilidad de encontrar a un alumno que esté cursando de primero a sexto semestre. Se suman sus probabilidades. R. 0.18+0.16+0.12+0.10+0.08+0.08=0.720.18+0.16+0.12+0.10+0.08+0.08=0.72 Se necesita acceder a los renglones o posiciones del 1 al 7 del conjunto de datos. Se agrega 1 a cada valor inicial y final.
iinicial <- 1
ifinal <- 6
sum(datos$prob[c((iinicial+1): (ifinal+1))])## [1] 0.72¿Cuál es la probabilidad de encontrar a un alumno de al menos séptimo semestre. Se suman las probabilidad de 7, 8 9 10, 11 y 12 o el complemento de la probabilidad acumulada a partir de la variable aleatoria 6.
i <- 7
sum(datos$prob[(i+1):nrow(datos)])## [1] 0.231 - sum(datos$prob.acumulada[i])## [1] 0.234 Desarrollo
Se presentan ejercicios relacionadas con variables aleatorias y su probabilidad, para cada ejercicio, se describe y define el contexto, se construye la tabla de probabilidad que contiene los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.
4.1 Billetes de rifa
Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere tres billetes. (Course Hero, n.d.).
4.1.1 Tabla de probabilidad
discretas <- c(0,1) # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000
casos <- c(4997,3)
probabilidades <- casos / n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0 4997 0.9994 0.9994
## 2 1 3 0.0006 1.00004.1.2 Gráfica de barras
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
geom_bar(stat="identity")
4.1.3 Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point() +
geom_line()
4.2 Venta de automóviles
Las ventas de automóviles de una empresa durante los últimos 300 días de operación, los datos de ventas muestran que hubo:
54 días en los que no se vendió ningún automóvil,
117 días en los que se vendió 1 automóvil,
72 días en los que se vendieron 2 automóviles,
42 días en los que se vendieron 3 automóviles,
12 días en los que se vendieron 4 automóviles y
3 días en los que se vendieron 5 automóviles.
4.2.1 Tabla de probabilidades
discretas <- 0:5 # c(0,1,2,3,4,5)
n <- 300
casos <- c(54, 117, 72, 42, 12, 3)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0 54 0.18 0.18
## 2 1 117 0.39 0.57
## 3 2 72 0.24 0.81
## 4 3 42 0.14 0.95
## 5 4 12 0.04 0.99
## 6 5 3 0.01 1.00¿Cuál es la probabilidad de que se venda exactamente un automóvil?\(prob=117300=prob=117300= 0.39\)
¿Cuál es la la probabilidad de que se venda al menos 2 automóviles?.
\(prob=∑P(x1,x2)=0.63\)
¿Cuál es la la probabilidad de que se venda al menos dos automóviles?.
\(prob=∑P(x2,x3,x4,x5)=1−Prob.Acum(x1)=0.43\)
4.2.2 Gráfica de barras
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
#geom_bar(stat="identity")
geom_bar(stat="identity")
4.2.3 Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point() +
geom_line()
4.3 Niños de cuarto grado
En Estados Unidos un porcentaje de los niños de cuarto grado no pueden leer un libro adecuado a su edad.
La tabla muestra, de acuerdo con las edades de entre 6 y 14 años, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y corregidos antes del tercer grado(Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).
4.3.1 Tabla de probabilidad
discretas <- 6:14
#n <- '?'
casos <- c(37369, 87436, 160840,239719,286719,306533,310787,302604,289168)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 6 37369 0.01848875 0.01848875
## 2 7 87436 0.04325998 0.06174874
## 3 8 160840 0.07957747 0.14132621
## 4 9 239719 0.11860378 0.25992999
## 5 10 286719 0.14185758 0.40178757
## 6 11 306533 0.15166079 0.55344837
## 7 12 310787 0.15376551 0.70721387
## 8 13 302604 0.14971687 0.85693075
## 9 14 289168 0.14306925 1.00000000¿Cuál es la probabilidad de elegir alumnos que tienen problemas de exactamente 10 años?. \(prob=P(x10)=286719n=0.1418\)
¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos de 11 años o menos?.
\(prob=∑Prob(x6,x7,x8,x9,x10,x11)=Prob.Acum(x11)=0.5534\)
4.4 Satisfacción en el trabajo
Se muestra la distribución de frecuencias porcentuales para las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos en sistemas de información de nivel alto y de nivel medio. Las puntuaciones van de 1 (muy insatisfecho) a 5 (muy satisfecho).(Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).
include_graphics("../Imagenes/satisfaccion en el trabajo ejecutivos.jpg")
4.4.1 Para directivos de nivel alto
4.4.1.1 Tabla de probabilidad
Para este ejercicio se utiliza tabla1 y tabla2 como variables para identificar los valores de acuerdo al tipo de ejecutivo.
¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto tenga una puntuación de 4 o 5 en satisfacción con el trabajo?
discretas <- 1:5
#n <- '?'
casos <- c(5,9,3,42,41)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades)
tabla1 <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla1## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 1 5 0.05 0.05
## 2 2 9 0.09 0.14
## 3 3 3 0.03 0.17
## 4 4 42 0.42 0.59
## 5 5 41 0.41 1.00paste("La probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo es:", round(sum(tabla1$f.prob.x[4], tabla1$f.prob.x[5]) * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo es: 83 %"4.4.1.2 Gráfica de barra
ggplot(data = tabla1, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity")
4.4.1.3 Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla1, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
4.4.2 Para directivos de nivel medio
¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho?
discretas <- 1:5
#n <- '?'
casos <- c(4, 10, 12, 46, 28)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades)
tabla2 <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla2## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 1 4 0.04 0.04
## 2 2 10 0.10 0.14
## 3 3 12 0.12 0.26
## 4 4 46 0.46 0.72
## 5 5 28 0.28 1.00paste(" La probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho es:", round(tabla2$f.prob.x[5] * 100, 2), "%")## [1] " La probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho es: 28 %"4.4.2.1 Gráfica de barras
ggplot(data = tabla2, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity")
4.4.2.2 Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla2, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Observando las gráficas de barras y las tablas de probabilidad, los directivos de alto nivel están más satisfechos con el trabajo comparado con directivos de nivel bajo.
4.5 Prueba de componentes electrónicos
La prueba de un número de componentes electrónicos se prueban tres componentes electrónicos, el espacio muestral que ofrece una descripción detallada de cada posible resultado se escribe como ‘N’ No Defectuoso y ‘D’ Defectuoso:
S <- c("NNN", "NND", "NDN", "DNN",
"NDD", "DND", "DDN", "DDD")
S## [1] "NNN" "NND" "NDN" "DNN" "NDD" "DND" "DDN" "DDD"Se define N como No defectuoso y D como defectuoso.
Se identifican las variables discretas como:
0 defectos, no hay D en el espacio muestral
1 defecto existe, existe una D en el espacio muestral
2 defectos hay dos D en el espacio muestral y
3 defectos hay tres D en el espacio muestral
Los variables aleatorias x0,x1,x2,x3x0,x1,x2,x3 tiene valores de cero a tres defectos determinadas por el resultado del experimento. Se determina como valores que toma la variable aleatoria xx, es decir, el número de artículos defectuosos cuando se prueban tres componentes electrónicos.
¿Cuál es la probabilidad de que haya 1 defecto?
discretas <- 0:3
#n <- '?'
casos <- c(1,3,3,1)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos /n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada)
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x
## 1 0 1 0.125 0.125
## 2 1 3 0.375 0.500
## 3 2 3 0.375 0.875
## 4 3 1 0.125 1.000Se utiliza la variable xx dado que el valor de la variable aleatoria xx empieza en 00 y los vectores en R comienzan en, 11.
x <- 1
paste("La probabilidad de que haya 1 defecto es: ",round(tabla$f.prob.x[x+1] * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que haya 1 defecto es: 37.5 %"x <- 2
paste("La probabilidad de que haya 2 defectos o mas es: ",round(sum(tabla$f.prob.x[x+1], tabla$f.prob.x[x+2]) * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que haya 2 defectos o mas es: 50 %"4.5.1 Gráfica de barras
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x)) +
#geom_bar(stat="identity")
geom_bar(stat="identity")
4.5.2 Gráfica de probabilidad acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point() +
geom_line() 
5 Interpretación
Responder descriptivamente a las siguientes preguntas:
¿Cuál es la variable aleatoria y su significado en cada contexto?
Se trata de un valor que es el resultado de un experimento aleatorio y precisamente de allí es de donde toma su nombre ya que los resultados son al azar pero a la vez, estos dependen de los resultado de un experimento realizado.
En el contexto de los billetes de la rifa, la variable aleatoria puede tomar únicamente dos valores: ganar o no ganar, siendo aleatoria porque al momento de comprar el boleto no se sabe si este es ganador o no y siendo discreta porque toma solo un valor de dos posibles.
Para la venta de automóviles tenemos que la variable aleatoria nos indicará la cantidad de coches que se venden en tal día, ya que nadie puede saber cuántos auto se van a vender en tal día.
En el ejemplo de los niños de cuarto grado, podemos deducir que la variable aleatoria toma el valor de la cantidad de niños que tienen dificultades para leer según el rango de edades, ya que no se puede saber con exactitud cuántos niños tienen estos problemas.
Después, en el caso de los trabajadores, la variable aleatoria toma un valor de entre los 5 posibles, de acuerdo a la satisfacción que el usuario o cliente haya tenido en base al desempeño del trabajador, es aleatoria porque es un valor que no puedes saber con exactitud su valor debido a que esto depende de la conformidad que el usuario exprese.
Y por último, la variable aleatoria en el experimento de los componentes electrónicos puede tomar forma dependiendo de la cantidad de defectos que se presenten en un aparato, esto dependiendo del funcionamiento del aparato que se pruebe, es aleatoria porque no puedes saber con total certeza si un aparato fallará o no, y si lo hace, tampoco puedes saber con seguridad cuántos fallos tendrá.
¿Qué valores puede tomar una variable aleatoria discreta?
Dado que su valor depende del resultado de un experimento, la variable aleatoria discreta es aquella cuyo intervalo de posibles valores es finito o numerable.
¿Cuál es el espacio muestral en cada contexto?, todos los elementos.
R: El espacio muestral en general se refiere a cada posible resultado que pueda producirse, o en otras palabras, todas las posibles opciones.
En el caso de los billetes de la rifa de los billetes, el espacio muestral es básicamente la cantidad de billetes de rifa, es decir, 5000 posibilidades, siendo un total de 4997 situaciones para no ganar y 3 para si ganar, dando un total de 5000.
En el caso de la venta de automóviles, el espacio muestral se refiere a los 300 días en los que se pudieron registrar ventas de vehículos.
En el tercer caso, el espacio muestral se refiere básicamente a la cantidad total de niños que encontró, tenían dificultades para leer, esto es la suma de todos los niños con problemas de entre los 6 a los 14 años.
En el caso de los trabajadores, cada uno de ellos podía ser calificado en un rango de 1 a 5 y en total, cada trabajador sumaba era una posibilidad más en la cantidad de posibles resultados del experimento, por lo que el número de trabajadores corresponde al valor del espacio muestral.
Finalmente en el caso de los componentes electrónicos, es muy parecido a los anteriores ya que se tenían 8 aparatos electrónicos, lo cual representa todas las posibilidades en cada objeto, por lo tanto, podemos deducir que el número de aparatos (8) es el espacio muestral.
¿Que significado tiene el gráfico de barra?
R: Es una representación visual de los resultados que se ven en cada caso, es decir, el espacio muestral por un lado y sus respectivas frecuencias convertidas en probabilidades de ocurrir, así, damos un mayor entendimiento a la información presentada.
¿Qué significado tiene el gráfico lineal acumulado?
R: Al igual que el gráfico de barra, el gráfico lineal significa un método de representación visual, de la misma forma representa en su eje Y las frecuencias convertidas en probabilidades que cada evento tiene de ocurrir y en el eje X podemos ver todas los posibles resultados del experimento, también llamado, espacio muestral.
¿Qué les deja el caso?
R: Bueno, como tal el caso habla sobre un tema sencillo de entender, son conceptos básicos pero muy útiles en la probabilidad, aprendimos sobre la aplicación de conceptos como variable aleatoria, espacio muestra, etc. Y a realizar gráficas para representar los resultados de una forma más agradable a la vista y que da mayor entendimiento.
6 Referencias bibliográficas
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008a. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
———. 2008b. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Course Hero. n.d. “Variables Aleatorias - Variables Aleatorias Problemas…” https://www.coursehero.com/file/14618142/Variables-aleatorias/.
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.