Cálculo da probabilidade

Como \(X\sim U(0,a)\) e \(Y\sim U(0,b)\), com \(0<a\leq b\); seque que

$$\[\begin{align} F_Y(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\ \frac{x}{b}, & 0\leq x <b,\\ 1, & x\geq b. \end{cases} \qquad \wedge \qquad f_X(x)=\begin{cases} \frac{1}{a}, & x\in(0,a),\\ 0, & x\not\in (0,a). \end{cases} \end{align}\]$$

Desse modo, temos que

\[ \begin{align} P(X<Y)&=P\big(X<Y;X\in \mathbb{R}\big)\\ &=\int\limits_{-\infty}^{\infty}P(X<Y|X=x)f_X(x)\,dx\\ &\overset{(p.subs)}{=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}P(x<Y|X=x)f_X(x)\,dx\\ &\overset{(indep)}{=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}P(Y>x)f_X(x)\,dx\\ &\overset{(compl)}{=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\big[1-P(Y\leq x)\big]f_X(x)\,dx\\ &\overset{(def)}{=}\int\limits_{0}^{a}\bigg(1-\frac{x}{b}\bigg)\frac{1}{a}\,dx\\ &=\bigg(\frac{x}{a}-\frac{x^2}{2ab}\bigg)\bigg|_{x\to 0}^{x \to a}\\ &=\frac{a}{a}-\frac{a^2}{2ab}\\ &=1-\frac{a}{2b}; \quad 0<a\leq b. \end{align} \]

Simulação no R

###  Probabilidade Simulada
prob.sim<-function(a,b,n) {
  if(a<0 || a>b || b<0){
    stop("a e b devem ser maiores que zero;
          além disso, a deve ser menor ou igual a b")
  }else{
     set.seed(123)
     X<-runif(n,min=0,max=a)
     Y<-runif(n,min=0,max=b)
  }
 return(mean(X<Y))    
}

### Probabilidade Teorica
prob.teorica<-function(a,b){1-a/(2*b)}

setNames(c(prob.sim(2,3,1e7),prob.teorica(2,3)),c("Prob. Simulada ", " Prob. Teórica"))
## Prob. Simulada    Prob. Teórica 
##       0.6665185       0.6666667