PREGUNTA 1

La duración en minutos de las conversaciones telefónica es una variable aleatoria X con función distribución

\[F_X(x)= \begin{cases} & 0 \text{ si } x \leq 0 \\ & 1 - \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{3} } -\frac{1}{2}e^{-[\frac{x}{3}]} \text{ si } x > 0 \end{cases}\]

1. Determine la probabilidad que una conversación dure exactamente 3 minutos

Definiremos un vector de pre imagen x \(\in\) [0, 12], y otro “y” de imagen según las restricciones especificadas

# función para calcular imagen
F_X <- function(x) {
  return(
   case_when(
     x <= 0 ~ 0,
     x > 0 ~ 1-((1/2)*exp(-x/3))-((1/2)*exp(-trunc(x/3)))
   )
  )
}

# pre imagen
x <- seq(0, 12, .01)

# imagen
y <- F_X(x)

Esto se visualiza así.

Con esto, para estimar la probabilidad cuando \(X = 3\), tenemos que calcular \(P(X=3) = F_X(3) - \lim_{x \to 3}F_X(x)\), lo que hacemos así

\[F_X(3) - \lim_{x \to 3}F_X(x) =\\ \text{ } \\ 1- \frac{1}{2}e^{-\frac{3}{3}} - \frac{1}{2}e^{-[\frac{3}{3}]} -(1- \frac{1}{2}e^{-\frac{3}{3}} - \frac{1}{2}e^{-[\frac{2.\bar{9}}{3}]}) =\\ \text{ } \\ 1- \frac{1}{2}e^{-1} - \frac{1}{2}e^{-1} -(1- \frac{1}{2}e^{-1} - \frac{1}{2}e^{0}) =\\ \text{ } \\ \frac{1}{2}(1-e^{-1})\]

Así tenemos que la probabilidad de que una llamada dure exactamente 3 minutos es de 31.61%

2. Determine la probabilidad que una conversación dure exactamente 6 minutos

Para 6 minutos hacemos un ejercicio similar per esta vez calculando \(P(X=6) = F_X(6) - \lim_{x \to 6}F_X(x)\), de esta forma

\[F_X(6) - \lim_{x \to 6}F_X(x) =\\ \text{ } \\ 1- \frac{1}{2}e^{-\frac{6}{3}} - \frac{1}{2}e^{-[\frac{6}{3}]} -(1- \frac{1}{2}e^{-\frac{6}{3}} - \frac{1}{2}e^{-[\frac{5.\bar{9}}{3}]}) =\\ \text{ } \\ 1- \frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-2} -(1- \frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-1}) =\\ \text{ } \\ \frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-2})\]

Así tenemos que la probabilidad de que una llamada dure exactamente 6 minutos es de 11.63%

PREGUNTA 2

Sea \(X\) una variable aleatoria tal que

\[f_X(x)= \begin{cases} & \frac{2}{15}x \text{ si } 1 \leq x \leq 4 \\ & 0 \text{, e.o.c} \end{cases}\]

Encontrar \(f_Y\) si existen cuando

\[Y = 5x+2\] Partiremos por obtener la función de distribución \(F_Y(y)\), ver si existe y es derivable, donde \[ \text{sea } y \in \mathbb{R} \\ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(5x+2 \leq y) = P(x \leq \frac{y-2}{5})= F_X(\frac{y-2}{5})\]

\(\frac{y-2}{5}\) es contínua y derivable en c.t.p. Luego, si derivamos \(F_X(\frac{y-2}{5})\)

D(expression((y-2)/5), "y")
## 1/5

Lo que nos deja la función \(f_Y(y)=\frac{1}{5}*f_X(\frac{y-2}{5})\), donde

\[1 \leq \frac{y-2}{5} \leq 4 \text{ } /*5 \\ \text{ } \\ 5 \leq y-2 \leq 20 \text{ }/+2 \\ \text{ } \\ 7 \leq y \leq 22\] Obteniendo \(F_Y(y)=\frac{2}{15}(\frac{y-2}{5})\frac{1}{5}\), que podemos simplificar de esta forma \(F_Y(y)=\frac{2(y-2)}{375}\) la cual es contínua y derivable c.t.p., así la función de densidad queda en

\[f_Y(y)=\begin{cases} & \frac{2(y-2)}{375} \text{ si } 7 \leq y \leq 22 \\ & 0 \text{, e.o.c} \end{cases}\]

PREGUNTA 3

\(\Omega = [-2, 3] \text{x} [-1, 3]\)

U: Número de coordenadas del punto positivas

En la siguiente gráfica se visualiza el caso, con las áreas sombreadas identifican las zonas donde \(U\) toma valores 0 o 1.

Con esto tenemos que el \(Rec(U) = \{0, 1, 2\}\), donde \(P(A) = \frac{area(A)}{area(\Omega)}=\frac{area(A)}{4*5}\)

Luego parametrizaremos \(U\) en 0, 1, y 2.

Partiremos por el caso en que \(U=0\), esto es, el área que cuyas coordenadas no viven en X ni en Y, es decir

Esto nos da \(P(U=0)= \frac{2*1}{20}\).

Respecto a \(U=1\), este cubre las áreas de los puntos de \(X\) que no viven en \(Y\) y viceversa, lo que se visualiza así

Con esto tenemos que \(P(U=1) = \frac{2*3 + 3*1}{20}\)

Finalmente, en el caso de \(U=2\), tomamos los puntos que viven en X e Y marcado con el área roja.

Esto nos da \(P(U=2) = \frac{3*3}{20}\).

Con todos estos antecedentes quedamos con que \[F_U(u)= \begin{cases} & 0 \text{ si } u < 0 \\ & \frac{2}{20} \text{ si } 0 \leq u < 1 \\ & \frac{11}{20} \text{ si } 1 \leq u < 2 \\ & \frac{20}{20} \text{ si } 2 \leq u \end{cases}\]

Finalmente, podemos graficar \(F_U(u)\) como

# generamos nuestra función calculada de F_U(u)
F_U <- function(u){
  return(
    case_when(
      u < 0 ~ 0,
      u < 1 ~ 2/20,
      u < 2 ~ 11/20,
      u >=2 ~ 1
    )
  )
}

# generamos una serie de valores de u entre -2 a 3
u <- seq(-2, 3, .01)

# graficamos
ggplot() +
  # geom_line(aes(u, F_U(u))) +
  geom_point(aes(u, F_U(u))) +
  labs(y = parse(text = "F[U](u)"))