Inferência para duas populações

Cálculo e visualização da probabilidade exata para a estatística de Wilcoxon-Mann-Whitney

Distribuição exata da estatística Ws

Considera-se para as simulações a seguir a veracidade da hipótese nula, qual seja:

\[\begin{equation} \begin{cases} H_0: F(x) = G(x), para \space todo \space x\\ H_1:F(x) \neq G(x), para \space algum \space x\\ \end{cases} \end{equation}\]

Em que \(G(x)\) representa a função de distribuição de \(Y\) e \(F(x)\) representa a função de distribuição de \(X\). Os tamanhos amostrais de \(Y\) e \(X\) serão representados por \(m\) e \(n\) respectivamente, de modo que o tamanho total das amostra é \(N = n + m\).

Dessa forma, há \(\binom{N}{m}\) possibilidades para os postos dos elementos de Y com probabilidade de ocorrência igual a \(\frac{1}{\binom{N}{M}}\).

Serão analisados os seguintes casos:

1. n = 4 e m = 3;
2. n = 3 e m = 4;

De tal sorte que há iguais possibilidades de postos para ambos os casos, sendo \(\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35\)

A distribuição que se busca calcular é a soma dos postos de Y, ou seja \(Ws = \sum R(Y_j)\).

Caso a

Os possíveis postos para o caso a) e sua estatística W correspondente são expostos na tabela 1 a seguir:

Tabela 1: Possíveis postos para m = 3 e estatística W correspondente

Postos	Probabilidade	W	n
{1,2,3}	0.03	6	1
{1,2,4}	0.03	7	1
{1,2,5}	0.06	8	2
{1,2,6}	0.09	9	3
{1,2,7}	0.11	10	4
{1,3,4}	0.06	8	2
{1,3,5}	0.09	9	3
{1,3,6}	0.11	10	4
{1,3,7}	0.11	11	4
{1,4,5}	0.11	10	4
{1,4,6}	0.11	11	4
{1,4,7}	0.14	12	5
{1,5,6}	0.14	12	5
{1,5,7}	0.11	13	4
{1,6,7}	0.11	14	4
{2,3,4}	0.09	9	3
{2,3,5}	0.11	10	4
{2,3,6}	0.11	11	4
{2,3,7}	0.14	12	5
{2,4,5}	0.11	11	4
{2,4,6}	0.14	12	5
{2,4,7}	0.11	13	4
{2,5,6}	0.11	13	4
{2,5,7}	0.11	14	4
{2,6,7}	0.09	15	3
{3,4,5}	0.14	12	5
{3,4,6}	0.11	13	4
{3,4,7}	0.11	14	4
{3,5,6}	0.11	14	4
{3,5,7}	0.09	15	3
{3,6,7}	0.06	16	2
{4,5,6}	0.09	15	3
{4,5,7}	0.06	16	2
{4,6,7}	0.03	17	1
{5,6,7}	0.03	18	1
Fonte: elaboração própria

A distribuição da estatística W no caso em que m = 3 está exposta na tabela 2 a seguir:

Tabela 2: Distribuição de frequências da estatística W para m = 3

W	n	Probabilidade
6	1	0.03
7	1	0.03
8	2	0.06
9	3	0.09
10	4	0.11
11	4	0.11
12	5	0.14
13	4	0.11
14	4	0.11
15	3	0.09
16	2	0.06
17	1	0.03
18	1	0.03
Fonte: elaboração própria

É possível observar que A estatística W varia de 6 a 18 e sua distribuição de probabilidades é simétrica com maior ocorrência em seu centro, de valor 0.14.

Em seguida, a Figura 1 expõe o histograma para a estatística W que, apesar das legendas ausentes no eixo das abscissas, varia de 6 a 18.

Figura 1: Distribuição de frequências da estatística W para m = 3

Caso b

Os possíveis postos para o caso b) e sua estatística W correspondente são expostos na tabela 3 a seguir:

Tabela 3: Possíveis postos para m = 3 e estatística W correspondente

Postos	Probabilidade	W	n
{1,2,3,4}	0.03	10	1
{1,2,3,5}	0.03	11	1
{1,2,3,6}	0.06	12	2
{1,2,3,7}	0.09	13	3
{1,2,4,5}	0.06	12	2
{1,2,4,6}	0.09	13	3
{1,2,4,7}	0.11	14	4
{1,2,5,6}	0.11	14	4
{1,2,5,7}	0.11	15	4
{1,2,6,7}	0.14	16	5
{1,3,4,5}	0.09	13	3
{1,3,4,6}	0.11	14	4
{1,3,4,7}	0.11	15	4
{1,3,5,6}	0.11	15	4
{1,3,5,7}	0.14	16	5
{1,3,6,7}	0.11	17	4
{1,4,5,6}	0.14	16	5
{1,4,5,7}	0.11	17	4
{1,4,6,7}	0.11	18	4
{1,5,6,7}	0.09	19	3
{2,3,4,5}	0.11	14	4
{2,3,4,6}	0.11	15	4
{2,3,4,7}	0.14	16	5
{2,3,5,6}	0.14	16	5
{2,3,5,7}	0.11	17	4
{2,3,6,7}	0.11	18	4
{2,4,5,6}	0.11	17	4
{2,4,5,7}	0.11	18	4
{2,4,6,7}	0.09	19	3
{2,5,6,7}	0.06	20	2
{3,4,5,6}	0.11	18	4
{3,4,5,7}	0.09	19	3
{3,4,6,7}	0.06	20	2
{3,5,6,7}	0.03	21	1
{4,5,6,7}	0.03	22	1
Fonte: elaboração própria

A distribuição da estatística W no caso em que m = 4 está exposta na tabela 4 a seguir:

Tabela 4: Distribuição de frequências da estatística W para m = 4

W	n	Probabilidade
10	1	0.03
11	1	0.03
12	2	0.06
13	3	0.09
14	4	0.11
15	4	0.11
16	5	0.14
17	4	0.11
18	4	0.11
19	3	0.09
20	2	0.06
21	1	0.03
22	1	0.03
Fonte: elaboração própria

É possível observar que A estatística W varia de 10 a 22 e sua distribuição de probabilidades é simétrica com maior ocorrência em seu centro, de valor 0.14.

Em seguida, a Figura 2 expõe o histograma para a estatística W que, apesar das legendas ausentes no eixo das abscissas, varia de 10 a 22.

Figura 2: Distribuição de frequências da estatística W para m = 4

Distribuição da estatística U

Em uma última análise, foi aplicada a transformação U sobre a estatística W da seguinte forma:

\[U = Ws - \frac{m(m+1)}{2}\]

Aplicada em ambos os casos, a e b, obteve-se a mesma distribuição da estatística U, que é exibida na tabela 5 a seguir.

Tabela 5: Distribuição de frequências da estatística U

U	n	Probabilidade
0	1	0.03
1	1	0.03
2	2	0.06
3	3	0.09
4	4	0.11
5	4	0.11
6	5	0.14
7	4	0.11
8	4	0.11
9	3	0.09
10	2	0.06
11	1	0.03
12	1	0.03
Fonte: elaboração própria