Objetivo

Determinar probabilidades para eventos independientes.

Descripción

Realizar y determinar probabilidades a partir de la probabilidad que se tienen en eventos independientes.

Sustento teórico

Pendiente.

Desarrollo

Cargar librerías

Se cargan librerías necesarias para los ejercicios del caso.

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library(gtools)

Ejemplo:

El siguiente ejemplo demuestra la existencia de eventos independientes.

Considere el caso de la baraja:

include_graphics("../imagenes/baraja-poker.jpg")

Suceden dos eventos sacar dos cartas y reemplazarlas (voler a colocar en la baraja):

  • Al sacar una primera carta, este es un As. Evento A
  • En la segunda carta se sacó un trebol Evento T

En la segunda carta se sacó un trebol Evento T Si se toma como probabilidad condicional entonces: La probabilidad de que sea trebol dado que fue As:

\[P(T | A) = \frac{P(T \cap A)}{P(A)}\]

\[\therefore\]

baraja <- c("AC","2C","3C","4C","5C","6C","7C","8C","9C","10C","JC","QC","KC","AP","2P","3P","4P","5P","6P","7P","8P","9P","10P","JP","QP","KP","AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT","AD","2D","3D","4D","5D","6D","7D","8D","9D","10D","JD","QD","KD")
n <- length(baraja) # Total de barajas

ases <- c('AC', 'AP', 'AT', 'AD') 
n.ases <- length(ases) # Número de ases
prob.as <- n.ases/n    # Probabilidad de que sea As

paste("La probabilida de que sea As es: ", prob.as, ". Es el denominador en la fórmula")
## [1] "La probabilida de que sea As es:  0.0769230769230769 . Es el denominador en la fórmula"
treboles <- c("AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT")
n.treboles <- length(treboles)
prob.trebol <- n.treboles / n

paste("La probabilida de que sea trébol es: ", prob.trebol )
## [1] "La probabilida de que sea trébol es:  0.25"
ases.inter.treboles <- intersect(ases, treboles)
n.ases.treboles <- length(ases.inter.treboles)
prob.ases.inter.treboles <- n.ases.treboles / n # P (T∩A)
paste("La probabilidad de evento As interseccion con trebol es: ", prob.ases.inter.treboles, ". Es el numerador en la fórmula")
## [1] "La probabilidad de evento As interseccion con trebol es:  0.0192307692307692 . Es el numerador en la fórmula"
P.trebol.dado.as <- prob.ases.inter.treboles / prob.as
paste("La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As'", P.trebol.dado.as)
## [1] "La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As' 0.25"

La probabilidad de sacar un trébol dado que se conoce la probabilidad de un A es:

\[P(T|A) = \frac{1}{4} = 0.25\]

y la probabilidad de sacar un trébol es:

\[P(T) = \frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25\]

entonces se cumpla la igualdad para determinar que son eventos independientes:

\[P(B|A) = P(B)\]

\[P(T|A) = P(A)\]

Cuando se tiene la certeza que los eventos son independientes y se tiene que determina la probabilidad de dos o mas eventos, entonces, se aplica la fórmula siguiente:

\[P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)\]

ó

\[P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)\]

Casos de probabilidad para eventos independientes

Se presentan ejercicios que se sabe que son eventos independientes, es decir que no están relacionados uno con el otro.

Ambulancia y carro de bomberos

Una pequeña ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos esté disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia esté disponible cuando se le requiera es 0.92.

En el evento de un herido en un incendio, calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles, suponiendo que operan de forma independiente. (Walpole, Myers, and Myers 2012)

Aplicando la fórmula para eventos que se tiene la certeza de que son independientes.

\[P(carro \cap ambulancia) = P(carro) \cdot P(ambulancia)\]

p.carro.bomberos <- 0.98
p.ambulancia <- 0.92

paste("La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de: ", round(p.carro.bomberos * p.ambulancia * 100,2), "%" )
## [1] "La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de:  90.16 %"

Canicas

include_graphics("../imagenes/canicas.jpg")

Sacar una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Se anota el color, regresas la canica a la bolsa, y extrae otra canica.

¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces? (content.nroc.org, n.d.)

El espacio muestral para el primer evento tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}.

Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda extracción es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles. Entonces son eventos independientes.

canicas <- c("R1","R2", "B1", "B2", "V1")
espacio.muestral <- permutations(n = 5, r = 2, canicas, repeats.allowed = TRUE)
espacio.muestral
##       [,1] [,2]
##  [1,] "B1" "B1"
##  [2,] "B1" "B2"
##  [3,] "B1" "R1"
##  [4,] "B1" "R2"
##  [5,] "B1" "V1"
##  [6,] "B2" "B1"
##  [7,] "B2" "B2"
##  [8,] "B2" "R1"
##  [9,] "B2" "R2"
## [10,] "B2" "V1"
## [11,] "R1" "B1"
## [12,] "R1" "B2"
## [13,] "R1" "R1"
## [14,] "R1" "R2"
## [15,] "R1" "V1"
## [16,] "R2" "B1"
## [17,] "R2" "B2"
## [18,] "R2" "R1"
## [19,] "R2" "R2"
## [20,] "R2" "V1"
## [21,] "V1" "B1"
## [22,] "V1" "B2"
## [23,] "V1" "R1"
## [24,] "V1" "R2"
## [25,] "V1" "V1"
n <- nrow(espacio.muestral)
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales
##      [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"
casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo
## [1] 0.16

El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden elegir en la segunda extracción. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos:

Espacio de eventos:

\[{(R1,R1), (R1,R2), (R2,R1), (R2,R2)}\]

cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales
##      [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"
casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo
## [1] 0.16

Otra forma de determinar y resolver el caso mediante la fórmula de eventos independientes y determinar la la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces?

\[P(roja \cap roja) = P(roja) \cdot P(roja)\]

canicas <- c('R', 'R', 'B', 'B', 'V')
n <- length(canicas)

prob.R <- 2/n
prob.B <- 2/n
prob.V <- 1/n

prob.R
## [1] 0.4
prob.B
## [1] 0.4
prob.V
## [1] 0.2
prob.R.y.R <- prob.R * prob.R
prob.R.y.R
## [1] 0.16

Canicas (Otro)

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules.

Una canica es extraída de la caja y luego reemplazada o devuelta a la misma caja. En un segundo evento, otra canica se saca de la caja.

Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? (HotMath, n.d.)

canicas <- c('R', 'R', 'R', 'R', 'V', 'V', 'V', 'A', 'A')
n <- length(canicas)

# Revolver las canicas
canicas <- sample(canicas, size = n )
canicas
## [1] "V" "V" "A" "A" "R" "R" "R" "V" "R"
prob.R <- length(which(canicas == 'R')) / n
prob.V <- length(which(canicas == 'V')) / n
prob.A <- length(which(canicas == 'A')) / n

prob.R
## [1] 0.4444444
prob.V
## [1] 0.3333333
prob.A
## [1] 0.2222222
paste("La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es:", round(prob.A * prob.V * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es: 7.41 %"

Fallas en Software

Anteriormente con la distribución de cierto software estadístico en los extintos CD, se probaban los discos para ver su taza de fallos. El proceso consistía en en correr los programas en los CD independientes y verificar los resultados. (content.nroc.org, n.d.c).

El ejercicio tiene 4 tipos de SW.

La tasa de falla para los 4 programas de prueba son 0.01,0.03,0.02 y 0.01, respectivamente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los CD que se pruebe no pase la prueba?

La probabilidad de que FALLE cada disco es la que se indica y la probabilidad de que NO PASE LA PRUEBA es el complemento de cada uno, es decir: 0.99,0.97,0.98,0.99

Como son eventos independientes, la probabilidad de que no pase la prueba un disco es la multiplicación de todas las probabilidades de que NO PASE, es decir su complemento.

\[Prob = P(CD1')\cdot P(CD2')\cdot P(CD3')\cdot P(CD4') = \\ 0.99 \times 0.97 \times 0.98 \times 0.99 = 0.0683\]

prob = 1 - (0.99)*(0.97)*(0.98)*(0.99)
prob 
## [1] 0.06831694

Pares de calcetines

Rubén tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar a la escuela, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo devolverá al cajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blanco en su tercer intento? (content.nroc.org, n.d.c).

Hay 10 pares de calcetines es el espacio muestral y son eventos independientes porque hay reemplazo.

Evento A: Primer intento, un par de calcetines que no son blancos \((3/10)′=7/10=0.7\)

Evento B: Segundo intento, un par de calcetines que no son blancos \((3/10)′=7/10=0.7\)

Evento C: Tercer intento un par de calcetines que son blancos. \((3/10)=0.3\)

Entonces:

\[prob(NoBlanco \cap NoBlanco \cap Blanco) = P(NoBlanco) \cdot P(NoBlanco) \cdot P(Blanco) = 0.147\]

prob <- 7/10 * 7/10 * 3/10
prob
## [1] 0.147

Apuestas deportivas

¿Cual es la probabilidad de que el fin de semana gane un equipo en un partido de fútbol y que también gane otro equipo en partidos y rivales diferentes?

Son eventos independiente porque el evento de un partido no interfiere con el evento del otro partido o la probabilidad de uno no tiene nada que ver con la probabilidad de otro.

El domingo juegan Atlas vs Chivas; América Vs Toluca y Querétaro y Juárez.

La probabilidad de que gane Atlas es del 0.30 o 30% La probabilidad de que gane América es del 0.90 o 90% La probabilidad de que gane Querétaro es de 0.50 o 50%

¿Cuál es la probabilidad de que gane Atlas, América y Querétaro?

\[prob(Atlas \cap América \cap Querétaro) = P(Atlas) \cdot P(América) \cdot P(Querétaro) = 0.30 \times 0.90 \times 0.50 = 0.135 = 13.5%\]

Interpretación

A diferencia de la probabilidad con eventos condicionales (que un resultado de un evento depende o se relacióna con el que el segundo evento haya sucedido), los eventos independientes no nesecitan de un segundo evento para obtener su probabilidad. Para saber si un evento es independiente o no, se debe cumplir la siguiente igualdad:

\[P(B|A)=P(B)\] o bien:

\[P(A|B)=P(A)\]

Si no se cumple con esta igualdad se asume que ambos eventos son independientes, en el caso contrario se dice que son dependientes. Después de que se cumple la igualdad y saber si son eventos independientes, para determinar su probabilidad se utiliza la siguiente fórmula:

\[P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)\]

Para la interpretación de los resultados, primero se debe saber si las probabilidades de los eventos presentados en los problemas cumplen con la igualdad, después se multiplican las probabilidades entre sí y el resultado es la probabilidad que tiene cada evento independiente por sí mismo en total, por ejemplo en el ejercicio de Fallas en Software, presentado en este caso, se pide saber cual es la probabilidad de que un disco NO pase la prueba, pero se dan cuatro probabilidades de FALLA, por lo que para saber las probabilidades de que NO PASE se obtiene el complemento de las probabilidades de FALLA; al obtenerse el complemento se multiplican los cuatro resultados y así se obtiene la probabilidad de que falle cada disco.

Referencias bibliogáficas

content.nroc.org. n.d.b. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html. ———. n.d.a. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html. ———. n.d.c. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. ———. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.