Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabilidad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.
Se presentan ejercicios probabilidad condicional
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)Extraído de (matemovil, n.d.)
\(P(A)=0.60\)
\(P(B)=0.40\)
\(P(A∩B)=0.18\)
Calcular:
\(P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{0.18}{0.40}=0.45\)
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: \(P(A|B)\)
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"P(B|A)
\(P(B|A)=\frac{P(B∩A)}{P(A)}=\frac{0.18}{0.60}=0.3\)
Entonces: P(B|A)
Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)Construir un conjunto de datos con los totales usando funcion apply() que genera los márgenes totales por renglón y por columna.
La funciones cbind() agrega una nueva columna al conjunto de datos.
La función rbind() agrega un nuevo renglón al conjunto de datos.
datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
se elige a un hombre y el elegido tiene empleo o trabajo. Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):
\(P(hombres.y.trabajan)=P(hombres∩trabajan)=n(hombres.trabajan)/n.personas ∴ P(hombres∩trabajan)=460/900=0.51\)
La probabilidad de que que trabaje es: \(P(trabajan)=n.trabajan/n.personas=600/900=0.66\)
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?:
\(P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)
\(P(hombres|trabajan)=\frac{P(hombres∩trabajan)}{P(trabajan)}=0.51/0.66=0.76\)
El siguiente bloque de código realiza las operaciones:
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es \(P(S)=0.83\), la probabilidad de que llegue a tiempo es \(P(L)=0.82\) y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es \(P(S∩L)=0.78\).
\(P(L|S)=\frac{P(L∩S)}{P(S)}=\frac{0.78}{0.83}=0.94\)
prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"\(P(S|L)=\frac{P(S∩L)}{P(L)}=\frac{0.78}{0.82}=0.95\)
prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.
El 30% de la clase paso ambos exámenes,
El 45% de la clase paso el primer examen.
¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
\(P(Ex1∩Ex2)=0.30\)
\(P(Ex1)=0.45\)
\(∴\)
\(P(Ex2|Ex1)=\frac{P(Ex1∩Ex2)}{P(Ex1)}=\frac{0.30}{0.45}=0.66\)
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
\(P(Hombre|Secundaria)=\frac{P(Hombre∩Secundaria)}{P(Secundaria)}=\frac{0.14}{0.34}=0.41\)
\(P(Universidad|Mujer)=\frac{P(Universidad)∩P(Mujer)}{P(Mujer)}=\frac{0.11}{0.535}=0.20\)
En esta práctica se analizaron los conceptos de Axioma y Probabilidad Condicional. Un Axioma consiste en una regla dentro de un sistema de normas y condiciones, que debe cumplirse para poder determinar la probabilidad de un sistema de acuerdo a las funciones que se le apliquen. La probabilidad condicional es, en resumidas cuentas, la probabilidad de que un suceso ocurra siendo conscientes de que ocurre junto a otro suceso. Se considera que se de un suceso a la vez que otro, y la forma de determinar la probabilidad de ello es dividiendo la probabilidad de la intersección de ambos sucesos entre la probabilidad de que ocurra el segundo suceso. La fórmula de esto anterior queda denotada de la siguiente manera:
\(P(Suceso A | Suceso B)=\frac{P(Intersección de A y B)}{P(Suceso B)}\)
Los ejercicios anteriores revisaron este concepto, considerando sucesos no excluyentes el uno del otro denominadas como A y B. Además, también se puso en práctica la determinación de la misma Intersección que hay entre los dos sucesos, la cual se requiere para determinar la probabilidad condicional del suceso que nos interesa. En cada ejercicio, la probabilidad condicional obtenida representa su mismo concepto: Qué probabilidad de 0 a 1 hay de que un suceso A ocurra al mismo tiempo que uno B.
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html.
Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil.
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Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.