Caso 12. Eventos Independientes
Anahy Borjas Garcia
22/4/2021
1 Objetivo
Determinar probabilidades para eventos independientes.
2 Descripción
Realizar y determinar probabilidades a partir de la probabilidad que se tienen en eventos independientes.
3 Sustento teórico
Se conoce la fórmula de la probabilidad condicional:
\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
ó bien por el contrario
\[ P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \]
Se entiende que para ambos casos los eventos están relacionados o lo que es lo mismo son eventos dependientes, uno depende del otro.
Ahora bien, se describe la regla para eventos independientes. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si existen las siguientes igualdades:
\[ P(B|A) = P(B) \]
\[ P(A|B) = P(A) \]
Si se asume la existencia de probabilidad condicional son eventos independientes.
Si no se da esa igualdad entonces, A y B son dependientes. (Walpole, Myers, and Myers 2012a)
Asegurándose de que son eventos independientes y para determinar la probabilidad de eventos independientes es necesario aplicar la fórmula siguiente
\[ P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \]
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
Se cargan librerías necesarias para los ejercicios del caso.
library(knitr)
library(gtools)Ejemplo:
El siguiente ejemplo demuestra la existencia de eventos independientes.
Considere el caso de la baraja:
Suceden dos eventos sacar dos cartas y reemplazarlas (voler a colocar en la baraja):
Al sacar una primera carta, este es un As. Evento A
En la segunda carta se sacó un trebol Evento T
Si se toma como probabilidad condicional entonces: La probabilidad de que sea trebol dado que fue As:
\[ P(T | A) = \frac{P(T \cap A)}{P(A)} \]
\[ ∴ \]
baraja <- c("AC","2C","3C","4C","5C","6C","7C","8C","9C","10C","JC","QC","KC","AP","2P","3P","4P","5P","6P","7P","8P","9P","10P","JP","QP","KP","AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT","AD","2D","3D","4D","5D","6D","7D","8D","9D","10D","JD","QD","KD")
n <- length(baraja) # Total de barajas
ases <- c('AC', 'AP', 'AT', 'AD')
n.ases <- length(ases) # Número de ases
prob.as <- n.ases/n # Probabilidad de que sea As
paste("La probabilida de que sea As es: ", prob.as, ". Es el denominador en la fórmula")## [1] "La probabilida de que sea As es: 0.0769230769230769 . Es el denominador en la fórmula"treboles <- c("AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT")
n.treboles <- length(treboles)
prob.trebol <- n.treboles / n
paste("La probabilida de que sea trébol es: ", prob.trebol )## [1] "La probabilida de que sea trébol es: 0.25"ases.inter.treboles <- intersect(ases, treboles)
n.ases.treboles <- length(ases.inter.treboles)
prob.ases.inter.treboles <- n.ases.treboles / n # P (T∩A)
paste("La probabilidad de evento As interseccion con trebol es: ", prob.ases.inter.treboles, ". Es el numerador en la fórmula")## [1] "La probabilidad de evento As interseccion con trebol es: 0.0192307692307692 . Es el numerador en la fórmula"P.trebol.dado.as <- prob.ases.inter.treboles / prob.as
paste("La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As'", P.trebol.dado.as)## [1] "La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As' 0.25"La probabilidad de sacar un trébol dado que se conoce la probabilidad de un A es:
\[P(T|A) = \frac{1}{4} = 0.25 \]
y la probabilidad de sacar un trébol es:
\[ P(T) = \frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25 \]
entonces se cumpla la igualdad para determinar que son eventos independientes:
\[P(B|A) = P(B) \]
\[ P(T|A) = P(A) \]
La ocurrencia de B no influye en las probabilidades de ocurrencia de A. Aquí la ocurrencia de A es independiente de la ocurrencia de B.(Walpole, Myers, and Myers 2012b) o lo que es lo mismo los eventos anteriores no cambian las probabilidades de eventos posteriores (content.nroc.org, n.d.a)
Cuando se tiene la certeza que los eventos son independientes y se tiene que determina la probabilidad de dos o mas eventos, entonces, se aplica la fórmula siguiente:
\[ P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \]
ó
\[ P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \]
4.2 Casos de probabilidad para eventos independientes
Se presentan ejercicios que se sabe que son eventos independientes, es decir que no están relacionados uno con el otro.
4.2.1 Ambulancia y Carro de bomberos
Una pequeña ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos esté disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia esté disponible cuando se le requiera es 0.92.
En el evento de un herido en un incendio, calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles, suponiendo que operan de forma independiente. (Walpole, Myers, and Myers 2012a)
Aplicando la fórmula para eventos que se tiene la certeza de que son independientes
\[ (carro \cap ambulancia) = P(carro) \cdot P(ambulancia) \]
p.carro.bomberos <- 0.98
p.ambulancia <- 0.92
paste("La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de: ", round(p.carro.bomberos * p.ambulancia * 100,2), "%" )## [1] "La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de: 90.16 %"4.2.2 Canicas
Sacar una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Se anota el color, regresas la canica a la bolsa, y extrae otra canica.
¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces? (content.nroc.org, n.d.b)
El espacio muestral para el primer evento tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}.
Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda extracción es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles. Entonces son eventos independientes.
canicas <- c("R1","R2", "B1", "B2", "V1")
espacio.muestral <- permutations(n = 5, r = 2, canicas, repeats.allowed = TRUE)
espacio.muestral## [,1] [,2]
## [1,] "B1" "B1"
## [2,] "B1" "B2"
## [3,] "B1" "R1"
## [4,] "B1" "R2"
## [5,] "B1" "V1"
## [6,] "B2" "B1"
## [7,] "B2" "B2"
## [8,] "B2" "R1"
## [9,] "B2" "R2"
## [10,] "B2" "V1"
## [11,] "R1" "B1"
## [12,] "R1" "B2"
## [13,] "R1" "R1"
## [14,] "R1" "R2"
## [15,] "R1" "V1"
## [16,] "R2" "B1"
## [17,] "R2" "B2"
## [18,] "R2" "R1"
## [19,] "R2" "R2"
## [20,] "R2" "V1"
## [21,] "V1" "B1"
## [22,] "V1" "B2"
## [23,] "V1" "R1"
## [24,] "V1" "R2"
## [25,] "V1" "V1"n <- nrow(espacio.muestral)
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales## [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo## [1] 0.16El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden elegir en la segunda extracción. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos:
Espacio de eventos:
\[{(R1,R1), (R1,R2), (R2,R1), (R2,R2)} \]
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales## [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo## [1] 0.16Otra forma de determinar y resolver el caso mediante la fórmula de eventos independientes y determinar la la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces?
\[P(roja \cap roja) = P(roja) \cdot P(roja) \]
canicas <- c('R', 'R', 'B', 'B', 'V')
n <- length(canicas)
prob.R <- 2/n
prob.B <- 2/n
prob.V <- 1/n
prob.R## [1] 0.4prob.B## [1] 0.4prob.V## [1] 0.2prob.R.y.R <- prob.R * prob.R
prob.R.y.R## [1] 0.164.2.3 Canicas (otro caso)
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules.
Una canica es extraída de la caja y luego reemplazada o devuelta a la misma caja. En un segundo evento, otra canica se saca de la caja.
Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? (HotMath, n.d.)
canicas <- c('R', 'R', 'R', 'R', 'V', 'V', 'V', 'A', 'A')
n <- length(canicas)
# Revolver las canicas
canicas <- sample(canicas, size = n )
canicas## [1] "R" "V" "R" "A" "V" "A" "V" "R" "R"prob.R <- length(which(canicas == 'R')) / n
prob.V <- length(which(canicas == 'V')) / n
prob.A <- length(which(canicas == 'A')) / n
prob.R## [1] 0.4444444prob.V## [1] 0.3333333prob.A## [1] 0.2222222paste("La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es:", round(prob.A * prob.V * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es: 7.41 %"4.3 Fallas en Software
Anteriormente con la distribución de cierto software estadístico en los extintos CD, se probaban los discos para ver su taza de fallos. El proceso consistía en en correr los programas en los CD independientes y verificar los resultados. (content.nroc.org, n.d.c).
El ejercicio tiene 4 tipos de SW.
La tasa de falla para los 4 programas de prueba son 0.01,0.03,0.02 y 0.01, respectivamente.
- ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los CD que se pruebe no pase la prueba? 0.06831694
La probabilidad de que FALLE cada disco es la que se indica y la probabilidad de que NO PASE LA PRUEBA es el complemento de cada uno, es decir: 0.99,0.97,0.98,0.99
Como son eventos independientes, la probabilidad de que no pase la prueba un disco es la multiplicación de todas las probabilidades de que NO PASE, es decir su complemento.
\[ Prob = P(CD1')\cdot P(CD2')\cdot P(CD3')\cdot P(CD4') = \\ 0.99 \times 0.97 \times 0.98 \times 0.99 = 0.0683 \]
prob = 1 − (0.99)*(0.97)*(0.98)*(0.99)
prob ## [1] 0.068316944.4 Pares de calcetines
Rubén tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar a la escuela, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo devolverá al cajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blanco en su tercer intento? (content.nroc.org, n.d.c).
Hay 10 pares de calcetines es el espacio muestral y son eventos independientes porque hay reemplazo.
Evento A: Primer intento, un par de calcetines que no son blancos (3/10)′=7/10=0.7
Evento B: Segundo intento, un par de calcetines que no son blancos (3/10)′=7/10=0.7
Evento C: Tercer intento un par de calcetines que son blancos. (3/10)=0.3
Entonces:
\[ prob(NoBlanco \cap NoBlanco \cap Blanco) = P(NoBlanco) \cdot P(NoBlanco) \cdot P(Blanco) = 0.147 \]
prob <- 7/10 * 7/10 * 3/10
prob## [1] 0.1474.5 Apuestas deportivas
¿Cual es la probabilidad de que el fin de semana gane un equipo en un partido de fútbol y que también gane otro equipo en partidos y rivales diferentes?
Son eventos independiente porque el evento de un partido no interfiere con el evento del otro partido o la probabilidad de uno no tiene nada que ver con la probabilidad de otro.
El domingo juegan Atlas vs Chivas; América Vs Toluca y Querétaro y Juárez.
La probabilidad de que gane Atlas es del 0.30 o 30% La probabilidad de que gane América es del 0.90 o 90% La probabilidad de que gane Querétaro es de 0.50 o 50%
¿Cuál es la probabilidad de que gane Atlas, América y Querétaro?
\[ prob(Atlas \cap América \cap Querétaro) = P(Atlas) \cdot P(América) \cdot P(Querétaro) = 0.30 \times 0.90 \times 0.50 = 0.135 = 13.5% \]
5 Interpretación
Al menos 200 palabras
¿Qué es la probabilidad para eventos independientes? ¿Cómo se utiliza?, en eventos que no están relacionados o independientes…. ¿Cual es la fórmula? Algunas ideas de los ejercicios y el significado de su probabilidad de cada ejercicio?
En algunas situaciones de probabilidad implican más de un evento. Cuando los eventos no se afectan entre si, se les conoce omo eventos independientes. Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Muchas otras situaciones pueden incluir eventos independientes. Para calcular correctamente las probabilidades, necesitamos sabes si un evento influye en el resultado de otros eventos, para poder cerciorarnos de que podemos llevar a cabo el cálculo de la probabilidad.
Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que amobos eventos ocurran en el producto de las probabilidades de los eventos individuales.
Fomula: \(P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
o bien: \(P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}\)
Son las mismas que probabilidad condicional, ya que para ambos casos los eventos estan relacionados o pues por lo mismo que son eventos dependientes.
Fue un caso en lo que a mi respecta interesante, fue un tanto similar al caso anterios, pero claro con sus notorias diferencias, en este caso se buscaba encontrar las probabilidades de ciertos eventos ocurridos: como el caso 1, donde se tenía una baraja de la cual se buscaba la probabilidaad de sacar cierta carta como un As o en otro caso un trebol. Caso 2, este consta de una ambulancia y un carro de bomberos, y en este se quiere saber cuanta es la probabilidad de que ambos esten disponibles. Caso 3 y 4 trata sobre canicas en una bolza y la probabilidad de sacar una canica de dicho color. Caso 5, es sobre las fallas en un software donde se probaban CD para comprobar su falla, ya que se pusieron a prueba 4 programas, con sus respectivas tasas de probabilidad. Caso 6. Trata sobre la probabilidad de que una persona saque los pares de calcetices de un determinado color si agarra al azar. Caso 7, trata sobre apuestas deportivas, precisamente en futbol en donde se quiere conocer las probabilidades de ganar de diversos equipos.
Referencias bibliográficas
content.nroc.org. n.d.b. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html.
———. n.d.a. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html.
———. n.d.c. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html.
HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
———. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.