Detrminar probabilidades para eventos independientes.
Realizar y determinar probabilidades a partir de la probabilidad que se tienen en eventos independientes.
Se conoce la fórmula de la probabilidad condicional: \[P(A|B)=P(A∩B)P(B)\]
ó bien por el contrario
\[P(B|A)=P(B∩A)P(A)\]
Se entiende que para ambos casos los eventos están relacionados o lo que es lo mismo son eventos dependientes, uno depende del otro.
Ahora bien, se describe la regla para eventos independientes. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si existen las siguientes igualdades:
\[P(B|A)=P(B)\] o \[P(A|B)=P(A)\]
Si se asume la existencia de probabilidad condicional son eventos independientes.
Si no se da esa igualdad entonces, A y B son dependientes. (Walpole, Myers, and Myers 2012a)
Asegurándose de que son eventos independientes y para determinar la probabilidad de eventos independientes es necesario aplicar la fórmula siguiente:
\[P(A∩B)=P(A)⋅P(B)\]
Se cargan las librerias necesarias para los ejercicios delcaso
library(knitr)
library(gtools)Ejemplo:
El siguiente ejemplo demuestra la existencia de eventos independientes.
Considere el caso de la baraja:
Suceden dos eventos sacar dos cartas y reemplazarlas (voler a colocar en la baraja):
\[∴\]
baraja <- c("AC","2C","3C","4C","5C","6C","7C","8C","9C","10C","JC","QC","KC","AP","2P","3P","4P","5P","6P","7P","8P","9P","10P","JP","QP","KP","AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT","AD","2D","3D","4D","5D","6D","7D","8D","9D","10D","JD","QD","KD")
n <- length(baraja) # Total de barajas
ases <- c('AC', 'AP', 'AT', 'AD')
n.ases <- length(ases) # Número de ases
prob.as <- n.ases/n # Probabilidad de que sea As
paste("La probabilida de que sea As es: ", prob.as, ". Es el denominador en la fórmula")## [1] "La probabilida de que sea As es: 0.0769230769230769 . Es el denominador en la fórmula"treboles <- c("AT","2T","3T","4T","5T","6T","7T","8T","9T","10T","JT","QT","KT")
n.treboles <- length(treboles)
prob.trebol <- n.treboles / n
paste("La probabilida de que sea trébol es: ", prob.trebol )## [1] "La probabilida de que sea trébol es: 0.25"ases.inter.treboles <- intersect(ases, treboles)
n.ases.treboles <- length(ases.inter.treboles)
prob.ases.inter.treboles <- n.ases.treboles / n # P (T∩A)
paste("La probabilidad de evento As interseccion con trebol es: ", prob.ases.inter.treboles, ". Es el numerador en la fórmula")## [1] "La probabilidad de evento As interseccion con trebol es: 0.0192307692307692 . Es el numerador en la fórmula"P.trebol.dado.as <- prob.ases.inter.treboles / prob.as
paste("La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As'", P.trebol.dado.as)## [1] "La probabilidad de sacar un trebol si se sabe que se sacó un 'As' 0.25"La probabilidad de sacar un trébol dado que se conoce la probabilidad de un A es: \[P(T|A)=14=0.25\]
y la probabilidad de sacar un trébol es:
\[P(T)=1352=14=0.25\]
entonces se cumpla la igualdad para determinar que son eventos independientes:
\[P(B|A)=P(B)\]
\[P(T|A)=P(A)\]
La ocurrencia de B no influye en las probabilidades de ocurrencia de A. Aquí la ocurrencia de A es independiente de la ocurrencia de B.(Walpole, Myers, and Myers 2012b) o lo que es lo mismo los eventos anteriores no cambian las probabilidades de eventos posteriores (content.nroc.org, n.d.a)
Cuando se tiene la certeza que los eventos son independientes y se tiene que determina la probabilidad de dos o mas eventos, entonces, se aplica la fórmula siguiente:
P\[(A∩B)=P(A)⋅P(B)\]
ó
\[P(A∩B∩C)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)\]
Se presentan ejercicios que se sabe que son eventos independientes, es decir que no están relacionados uno con el otro.
Una pequeña ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos esté disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia esté disponible cuando se le requiera es 0.92.
En el evento de un herido en un incendio, calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles, suponiendo que operan de forma independiente. (Walpole, Myers, and Myers 2012a)
Aplicando la fórmula para eventos que se tiene la certeza de que son independientes \[P(carro∩ambulancia)=P(carro)⋅P(ambulancia)\]
p.carro.bomberos <- 0.98
p.ambulancia <- 0.92
paste("La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de: ", round(p.carro.bomberos * p.ambulancia * 100,2), "%" )## [1] "La probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles es de: 90.16 %"Sacar una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Se anota el color, regresas la canica a la bolsa, y extrae otra canica.
¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces? (content.nroc.org, n.d.b)
El espacio muestral para el primer evento tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}.
Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda extracción es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles. Entonces son eventos independientes.
canicas <- c("R1","R2", "B1", "B2", "V1")
espacio.muestral <- permutations(n = 5, r = 2, canicas, repeats.allowed = TRUE)
espacio.muestral## [,1] [,2]
## [1,] "B1" "B1"
## [2,] "B1" "B2"
## [3,] "B1" "R1"
## [4,] "B1" "R2"
## [5,] "B1" "V1"
## [6,] "B2" "B1"
## [7,] "B2" "B2"
## [8,] "B2" "R1"
## [9,] "B2" "R2"
## [10,] "B2" "V1"
## [11,] "R1" "B1"
## [12,] "R1" "B2"
## [13,] "R1" "R1"
## [14,] "R1" "R2"
## [15,] "R1" "V1"
## [16,] "R2" "B1"
## [17,] "R2" "B2"
## [18,] "R2" "R1"
## [19,] "R2" "R2"
## [20,] "R2" "V1"
## [21,] "V1" "B1"
## [22,] "V1" "B2"
## [23,] "V1" "R1"
## [24,] "V1" "R2"
## [25,] "V1" "V1"n <- nrow(espacio.muestral)
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales## [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo## [1] 0.16El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden elegir en la segunda extracción. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos:
Espacio de eventos: \[(R1,R1),(R1,R2),(R2,R1),(R2,R2)\]
cuales <- espacio.muestral[which(substr(espacio.muestral[,1], 1, 1) == 'R' & substr(espacio.muestral[,2], 1, 1) == 'R'),]
cuales## [,1] [,2]
## [1,] "R1" "R1"
## [2,] "R1" "R2"
## [3,] "R2" "R1"
## [4,] "R2" "R2"casos <- nrow(cuales)
p.rojo <- casos / n
p.rojo## [1] 0.16Otra forma de determinar y resolver el caso mediante la fórmula de eventos independientes y determinar la la probabilidad de sacar canica roja en ambas veces?
\[P(roja∩roja)=P(roja)⋅P(roja)\]
canicas <- c('R', 'R', 'B', 'B', 'V')
n <- length(canicas)
prob.R <- 2/n
prob.B <- 2/n
prob.V <- 1/n
prob.R## [1] 0.4prob.B## [1] 0.4prob.V## [1] 0.2prob.R.y.R <- prob.R * prob.R
prob.R.y.R## [1] 0.16Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules.
Una canica es extraída de la caja y luego reemplazada o devuelta a la misma caja. En un segundo evento, otra canica se saca de la caja.
Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? (HotMath, n.d.)
canicas <- c('R', 'R', 'R', 'R', 'V', 'V', 'V', 'A', 'A')
n <- length(canicas)
# Revolver las canicas
canicas <- sample(canicas, size = n )
canicas## [1] "V" "A" "R" "R" "V" "R" "R" "A" "V"prob.R <- length(which(canicas == 'R')) / n
prob.V <- length(which(canicas == 'V')) / n
prob.A <- length(which(canicas == 'A')) / n
prob.R## [1] 0.4444444prob.V## [1] 0.3333333prob.A## [1] 0.2222222paste("La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es:", round(prob.A * prob.V * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde es: 7.41 %"Anteriormente con la distribución de cierto software estadístico en los extintos CD, se probaban los discos para ver su taza de fallos. El proceso consistía en en correr los programas en los CD independientes y verificar los resultados. (content.nroc.org, n.d.c).
El ejercicio tiene 4 tipos de SW.
La tasa de falla para los 4 programas de prueba son 0.01,0.03,0.02 y 0.01 , respectivamente.
Como son eventos independientes, la probabilidad de que no pase la prueba un disco es la multiplicación de todas las probabilidades de que NO PASE, es decir su complemento.
\[Prob=P(CD1′)⋅P(CD2′)⋅P(CD3′)⋅P(CD4′)=0.99×0.97×0.98×0.99=0.0683\]
prob = 1- (0.99)*(0.97)*(0.98)*(0.99)
prob## [1] 0.06831694Rubén tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar a la escuela, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo devolverá al cajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blanco en su tercer intento? (content.nroc.org, n.d.c).
Hay 10 pares de calcetines es el espacio muestral y son eventos independientes porque hay reemplazo.
Evento A: Primer intento, un par de calcetines que no son blancos (3/10)′=7/10=0.7
Evento B: Segundo intento, un par de calcetines que no son blancos (3/10)′=7/10=0.7
Evento C: Tercer intento un par de calcetines que son blancos. (3/10)=0.3
Entonces:
\[prob(NoBlanco∩NoBlanco∩Blanco)=P(NoBlanco)⋅P(NoBlanco)⋅P(Blanco)=0.147\]
prob <- 7/10 * 7/10 * 3/10
prob## [1] 0.147¿Cual es la probabilidad de que el fin de semana gane un equipo en un partido de fútbol y que también gane otro equipo en partidos y rivales diferentes?
Son eventos independiente porque el evento de un partido no interfiere con el evento del otro partido o la probabilidad de uno no tiene nada que ver con la probabilidad de otro.
El domingo juegan Atlas vs Chivas; América Vs Toluca y Querétaro y Juárez.
La probabilidad de que gane Atlas es del 0.30 o 30% La probabilidad de que gane América es del 0.90 o 90% La probabilidad de que gane Querétaro es de 0.50 o 50%
¿Cuál es la probabilidad de que gane Atlas, América y Querétaro?
\[prob(Atlas∩América∩Querétaro)=P(Atlas)⋅P(América)⋅P(Querétaro)=0.30×0.90×0.50=0.135=13.5\]
La probabilidad para eventos independientes no son afectados por eventos previos. Por ejemplo, una moneda no sabe que cayó cara previamente, y cada lanzamiento de la moneda es una cosa aislada. La fórmula para eventos independientes multiplica las probabilidades de cada evento. Por ejemplo, la probabilidad de que una moneda caiga cara 3 veces seguidas se calcula multiplicando la probabilidad de que caiga cara en cada lanzamiento (0.5), entonces queda (0.5)(0.5)(0.5), lo cual resulta en 0.125. En el ejemplo de la ambulancia y carro de bomberos se busca la probabilidad de que ak ser necesitados, ambos vehículos están disponibles, esto se consigue multiplicando las probabilidades de que cada uno esté disponible (.98*.92), el resultado da .901, esto significa que la probabilidad de que estos estén disponibles es del 90.16%. En el ejercicio de las canicas se busca la probabilidad de que salga una canica roja las dos veces, para esto se multiplican las probabilidades independientes de que cada vez se saque una canica roja, el resultado indica que la probabilidad de que salga una canica roja ambas veces es del 16%. En el ejercicio de apuestas deportivas se busca la probabilidad de que dos equipos en diferentes partidos ganen, un equipo tiene probabilidad de ganar de Atlas es de 30%. de que gane América es de 90%. y de que gane querétaro es de 50%. Para obtener la probabilidad de que los tres ganen se multiplican las probabilidades de cada uno, El resultado muestra que la probabilidad de que ganen los 3 equipos es del 13.5%.
content.nroc.org. n.d.b. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html. ———. n.d.a. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html. ———. n.d.c. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. ———. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.