Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.
La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral (mendenhall2010?).
Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario, además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.(Benítez Morales, n.d.)
Un axioma de probabilidad es el componente principal de un sistema de condiciones que deben cumplirse y junto con las pautas de inferencia especifican un sistema deductivo, para que una función determinada sobre un conjunto de eventos determine sus probabilidades.
Existe un conjunto de axiomas que fueron formulados por el matemático ruso Kolmogórov. Por lo que se les denomina axiomas de Kolmogórov.(Cevallos et al. 2018)
La probabilidad de un evento E no es negativa y debe ser menor o igua a 1 \[0<p(E)<1\]
Significa que al determinar una probabilidad sobre cualquier evento siempre es cero o superior y menor o gual a uno.
Ejemplo: Pensar en la probabilidad de que llueva el dia de hoy: es probable que no llueva, probabilidad igual a cero; es probable que llueva en 0.50 o del 50%; y de que sea seguro que llueva 1 o 100%.
La probabilidad de un evento seguro es igual a 1 y se denota \[P(EventoSeguro)=1\]
Ejemplo: En la mano cerrada se tienen dos monedas de a peso Mexicano, si es abre el puño y se extrae una moneda, ¿que tan probable es que sea de a un peso?. La probabilidad es de 1 o del 100% porque es indudable que al sacar la moneda sea de a un peso y únicamente sea a 1 un peso .
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.
\[P(A∪B)=P(A)+P(B)\]
Ejemplo. si se lanz una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila o sello?. en ambos casos 1/2 o 0.5 o el 50% de que al caer la moneda, la cara arriba sea sello o águila. \[P(sello)=1/2\] \[P(aguila)=1/2\]
\[∴\] \[P(sello∪aguila)=P(sello)+P(aguila)=1/2+1/2=1\]
En general se puede decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1. \[∑i=1nP(E)=P(E1)+P(E2)+P(E3)+....P(En)=1)\]
Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:
\[P(A)=X\] \[∴\] \[P(A)′=1−P(A)=1−X\]
o también senpuede expresar matemáticamente como: \[P(A)∁=1−P(A)=1−X\]
Ejemplo: Si de un total de personas existen un \(60%\) del género femenino, ¿cuál es el complemento de ese subconjunto? y ¿su probabilidad?. \[P(mujeres)=0.60\]
\[P(mujeres)′=1−0.60=0.40\]
o el \(40%\) es el complemento del subconjunto mujeres.
Suponiendo que \(P(A)\) y \(P(B)\) representan las probabilidades para los dos eventos \(A\) y \(B\), entonces \(P(A∪B)\) significa la probabilidad de que ocurran \(A\) o \(B\). Entonces la \(P(A∪B)≠0\)
Si no hay elementos en común entre un conjunto \(A\) y \(B\) entonces se dice que la probabilidad de la intesección entre ambos es cero \(P(A∩B)=0\)
En dado caso de que si existan elementos en común entre un subconjunto \(A\) y \(B\) \(∴\) \[P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\]
El cálculo de las probabilidades se determina en el entendido de que si se conoce el número de casos de un subconjunto y el número total de casos del universo, la probabilidad es determinando la frecuencia relativa.
\[P(conjunto)=casos/n\]
siendo casos la frecuencia y n el total de elementos de un universo.
Ejemplo: En el caso del ejemplo de las 100 personas y existen 40 hombres, ¿Cuál es la probabilidad de elegir a una persona y que ésta se del género masculino?: n=100
\[casos=40\]
\[∴\]
\[P(hombres)=casosn=40n=0.40\]
La probabilidad de elegir a una persona del género masculino dentro de un conjunto de 100 personas es del \(40%\)
De acuerdo a (Benítez Morales, n.d.) se conoce como probabilidad condicional a la probabilidad de que se dé un suceso \(A\), conociendo, que también se da un suceso \(B\)
En el libro de (mendenhall_introduccion_2010?) se menciona que la probabilidad de un evento A, dado que el evento \(B\) ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de \(A\), dado que B ha ocurrido, denotada por \[P(A|B)\]
La fórmula de la probabilidad condicional está dada por la división de la probabilidad de la intersección de dos conjuntos o eventos entre la probabilidad del segundo evento o del segundo conjunto; se muestra de la siguiente manera:
\[P(A|B)=P(A∩B)P(B)\]
ó bien por el contrario \[P(B|A)=P(B∩A)P(A)\]
Siempre y cuando en ambos casos la \(P(B)≠0\) y \(P(A)≠0\)
Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un hipertenso sea fumador? o ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea hipertensa dado que es fumador?, se entiende que dado que sea fumador.(Anderson, Sweeney, and Williams 2008)
\[A={hipertensos}\]
\[B={fumadores}\]
Se busca encontrar: \[P(A | B) = \text{hipertenso dado que sea fumador\}\therefore P(A | B) = ?\]
\[B={fumadores}∴P(B)=0.50\]
\[P(A∩B)={hipertenso.y.fumador}=0.10\]
\[∴\]
\[P(A|B)=P(B∩A)P(A)=0.100.50=0.20∴\]
La probabilidad de que se elija a una persona que sea hipertensa dado que es fumador es de 0.20 o del \(20%\)
Se presentan ejercicios probabilidad condicional
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)Extraído de (matemovil, n.d.)
\[P(A)=0.60\] \[P(B)=0.40\]
\[P(A∩B)=0.18\]
Calcular:
\[P(A|B)\] \[P(A|B)=P(A∩B)P(B)=0.180.40=0.45\]
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: \(P(A|B)\)
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
se elige a un hombre y el elegido tiene empleo o trabajo. Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):
\[P(hombres.y.trabajan)=P(hombres∩trabajan)=n(hombres.trabajan)/n.personas∴\]
\[P(hombres∩trabajan)=460/900=0.51\]
La probabilidad de que que trabaje es: \[P(trabajan)=n.trabajan/n.personas=600/900=0.66\]
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?: \[P(A|B)=P(A∩B)P(B)\]
\[P(hombres|trabajan)=P(hombres∩trabajan)P(trabajan)=0.51/0.66=0.76\]
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"4.4 Ejercicio 3. Probabilidad de vuelo La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es \(P(S)=0.83\), la probabilidad de que llegue a tiempo es \(P(L)=0.82\) y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es \(P(S∩L)=0.78\)
La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: \[P(L | S) = \frac{P(L \cap S)}{P(S)} = \frac {0.78}{0.83} = 0.94\]
prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.
El 30% de la clase paso ambos exámenes,
El 45% de la clase paso el primer examen.
¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
\[P(Ex1 \cap Ex2) = 0.30\] \[P(Ex1) = 0.45\] \[therefore\] \[P(Ex2|Ex1) = \frac{P(Ex1 \cap Ex2)}{P(Ex1)} = \frac {0.30}{0.45} = 0.66\]
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
\[P(Hombre | Secundaria ) = \frac{P(Hombre \cap Secundaria)}{P(Secundaria)} = \frac{0.14}{0.34}=0.41\]
\[P(Universidad | Mujer) = \frac{P(Universidad) \cap P(Mujer) }{P(Mujer)}= \frac{0.11}{0.535}=0.20\]
Al menos 200 palabras
¿Qué es la probabilidad condicional? ¿Cómo se utiliza?, en eventos relacionados ¿Cual es la fórmula? Algunas ideas de los ejercicios y el significado de su probabilidad de cada ejercicio?
\(Respuesta:\) La probabilidad Condicional es la probabilidad de que dos sucesos sucedan a la vez sin que estos esten relacionados por prevamente, es decir que el la divicion en tre un suceso A entre el suceso B y esto nos diria la probabilidad de que estos dos sucedan a la vez.
La formula que se utiliza para la probabilidad Condicvional nos dice que el evento A dado al evento es igual a la divicion de la probabilidad de la interseccion de dos eventos entre la probabilidad del segundo evento y tambien se pueden invertir estos valores, se podra utilizar simpre cuando la probabilidad de los dos eventos sea diferente a 0.
En el primer ejercicio podemos ver un ejemplo simple de como seria sacar la probabilidad condicional, donde nos dan P(A) y P(B), se calculo la interseccion P(A∩B) donde pasamos a dividir la interseccion por el valor del segundo evento que es P(B), lo cual nos da como resultado .45 y despues aplicamos la misma formula pero ahora por el evento P(A) donde nos da como resultado .3
En los siguientes ejercicio aplicamos la formula de la probabilidad condicional pero esta vez en casos donde involucra daots reales, dond el segundo ejercicio nos pide saber la pobabilidad de elegir un hombre que trabaja dentro de un grupo formado por hombre y mujeres donde aplicamos que la probabilidad de interseccion es en numero de trabajadores y el evento secundario seria el numero de hombre que trabajan.
Y los demas ejercios seguimos la misma formula donde sacamos nuestra probabilidad de interseccion de un grupo donde los dos eventos son unidos y luego dependiendo de lo que se pide sacaremos el segundo evento como en el ejercio 5 donde tenemos varios eventos como saber la probabilidad de hombre que terminaron la secundario, tambien las mujeres que terminarion la universidad, donde nuestra probabilidad de interseccion es hombres dado Secundaria y divide a el numero total de personas que terminaron la secundario y esto mismo con las mujeres que terminarion la universidad.
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html. Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.