Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se determina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabilidad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.
La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral (mendenhall2010?).
Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario, además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.(Benítez Morales, n.d.)
Un axioma de probabilidad es el componente principal de un sistema de condiciones que deben cumplirse y junto con las pautas de inferencia especifican un sistema deductivo, para que una función determinada sobre un conjunto de eventos determine sus probabilidades.
Existe un conjunto de axiomas que fueron formulados por el matemático ruso Kolmogórov. Por lo que se les denomina axiomas de Kolmogórov.(Cevallos et al. 2018)
La probabilidad de un evento E no es negativa y debe ser menor o igual a 1 \[0<p(E)<1\]
Significa que al determinar una probabilidad sobre cualquier evento siempre es cero o superior y menor o igual a uno.
Ejemplo: Pensar en la probabilidad de que llueva el día de hoy: es probable que no llueva, probabilidad igual a cero; es probable que llueva en 0.50 o del 50%; y de que sea seguro que llueva 1 o 100%.
La probabilidad de un evento seguro es igual a 1 y se denota \[P(EventoSeguro)=1\]
Ejemplo: En la mano cerrada se tienen dos monedas de a peso Mexicano, si es abre el puño y se extrae una moneda, ¿que tan probable es que sea de a un peso?. La probabilidad es de 1 o del 100% porque es indudable que al sacar la moneda sea de a un peso y únicamente sea a 1 un peso .
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B. \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
Ejemplo. Si se lanza una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila o sello?. en ambos casos 1/2 o 0.5 o el 50% de que al caer la moneda, la cara arriba sea sello o águila. \[P(sello)=1/2\] \[P(aguila)=1/2\] \[\therefore\] \[P(sello\cup aguila) = P(sello) + P(aguila) = 1/2+1/2 = 1\]
En general se puede decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1. \[\sum _{i=1}^{n}P(E) = P(E_{1})+P(E_{2})+P(E_{3})+....P(E_{n}) = 1)\]
Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:
\[P(A)=X\] \[\therefore\] \[P(A)′=1−P(A)=1−X\]
o también se puede expresar matemáticamente como: \[P(A)\complement = 1 - P(A) = 1 - X\]
Ejemplo: Si de un total de personas existen un \(60\%\) del género femenino, ¿cuál es el complemento de ese subconjunto? y ¿su probabilidad?. \[P(mujeres)=0.60\] \[P(mujeres)′=1−0.60=0.40\]
o el \(40\%\) es el complemento del subconjunto mujeres.
Suponiendo que \(P(A)\) y \(P(B)\) representan las probabilidades para los dos eventos \(A\) y \(B\), entonces \(P(A \cup B)\) significa la probabilidad de que ocurran A o B. Entonces la \(P(A \cup B) \neq 0\)
Si no hay elementos en común entre un conjunto A y B entonces se dice que la probabilidad de la intersección entre ambos es cero \(P(A\cap B) = 0\)
En dado caso de que si existan elementos en común entre un subconjunto \(A\) y \(B ∴\) \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]
El cálculo de las probabilidades se determina en el entendido de que si se conoce el número de casos de un subconjunto y el número total de casos del universo, la probabilidad es determinando la frecuencia relativa.
\[P(conjunto)=casos/n\]
siendo casos la frecuencia y \(n\) el total de elementos de un universo.
Ejemplo: En el caso del ejemplo de las 100 personas y existen 40 hombres, ¿Cuál es la probabilidad de elegir a una persona y que ésta se del género masculino?: \[n=100\] \[casos=40\] \[\therefore\] \[P(hombres) = \frac{casos}{n} = \frac{40}{n} = 0.40\]
La probabilidad de elegir a una persona del género masculino dentro de un conjunto de 100 personas es del \(40\%\)
De acuerdo a (Benítez Morales, n.d.) se conoce como probabilidad condicional a la probabilidad de que se dé un suceso \(A\), conociendo, que también se da un suceso \(B\)
En el libro de (mendenhall_introduccion_2010?) se menciona que la probabilidad de un evento \(A\), dado que el evento \(B\) ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de \(A\), dado que \(B\) ha ocurrido, denotada por \[P(A|B)\]
La fórmula de la probabilidad condicional está dada por la división de la probabilidad de la intersección de dos conjuntos o eventos entre la probabilidad del segundo evento o del segundo conjunto; se muestra de la siguiente manera: \[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
ó bien por el contrario \[P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}\]
Siempre y cuando en ambos casos la \(P(B)\ne0\) y \(P(A) \ne0\)
Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un hipertenso sea fumador? o ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea hipertensa dado que es fumador?, se entiende que dado que sea fumador.(Anderson, Sweeney, and Williams 2008) \[A={hipertensos}\] \[B={fumadores}\]
Se busca encontrar:
\[P(A | B) = \text{hipertenso dado que sea fumador}\therefore P(A | B) = ?\] \[B = \{fumadores\}\therefore P(B) = 0.50\] \[P(A \cap B) = \{hipertenso.y.fumador\} = 0.10\] \[\therefore\] \[P(A | B) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.10}{0.50} = 0.20 \therefore\]
La probabilidad de que se elija a una persona que sea hipertensa dado que es fumador es de \(0.20\) o del \(20\%\)
Se presentan ejercicios probabilidad condicional
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)Extraído de (matemovil, n.d.) \[P(A)=0.60\] \[P(B)=0.40\] \[P(A∩B) = 0.18\]
Calcular:
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: \(P(A|B)\)
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"Entonces: \(P(B|A)\)
Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La probabilidad de que se dé A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que se dé A dado B es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
\[P(hombres.y.trabajan) = P(hombres \cap trabajan)=n(hombres.trabajan) / n.personas \therefore\] \[P(hombres \cap trabajan) = 460/900 = 0.51\]
La probabilidad de que trabaje es: \[P(trabajan) = n.trabajan / n.personas = 600/900 = 0.66\]
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?: \[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\] \[P(hombres | trabajan) = \frac{P(hombres \cap trabajan)}{P(trabajan)} = 0.51 / 0.66 = 0.76\]
El siguiente bloque de código realiza las operaciones
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es \(P(S)=0.83\), la probabilidad de que llegue a tiempo es \(P(L)=0.82\) y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es \(P(S ∩ L) = 0.78\)
prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes. - El 30% de la clase paso ambos exámenes, - El 45% de la clase paso el primer examen. - ¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.) \[P(Ex1 \cap Ex2) = 0.30\] \[P(Ex1) = 0.45\] \[\therefore\] \[P(Ex2|Ex1) = \frac{P(Ex1 \cap Ex2)}{P(Ex1)} = \frac {0.30}{0.45} = 0.66\]
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que… - la persona sea hombre, dado que su escolaridad es de secundaria?; \[P(Hombre | Secundaria ) = \frac{P(Hombre \cap Secundaria)}{P(Secundaria)} = \frac{0.14}{0.34}=0.41\] - la persona tenga un grado universitario, dado que es mujer?; \[P(Universidad | Mujer) = \frac{P(Universidad) \cap P(Mujer) }{P(Mujer)}= \frac{0.11}{0.535}=0.20\]
Al menos 200 palabras
¿Qué es la probabilidad condicional? ¿Cómo se utiliza?, en eventos relacionados ¿Cual es la fórmula? Algunas ideas de los ejercicios y el significado de su probabilidad de cada ejercicio?
La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B) o P(A/B), y se lee “la probabilidad de A dado B”.
Se utiliza en el ámbito estadístico con una división de la probabilidad de la intersección de 2 eventos entre la probabilidad del segundo evento.
La fórmula se obtiene dividiendo la intersección de los sucesos entre el suceso que ocurrió primero, la cual es la siguiente: \[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
Los ejercicios abordados en el caso nos muestran como como podemos implementar en nuestra vida cotidiana la probabilidad condicional, los ejercicios en si no eran complicado pero el ejercicio dos en mi opinión esta aún más completo que los otros caso ya que se desarrolla con tablas que dan a entenderlo mejor.
En el ejercicio 1 asignamos la probabilidad de A(0.60) en la variable prob.A y el valor de B(0.40) en prob.B y la operación de la fórmula en la variable prob.A.dado.B dando así como resultado la probabilidad de que se dé A(0.60) dado B(0.40) es del \(45\%\)
En el ejercicio 2 colocamos la probabilidad de A(460) en la variable hombre.trabajan y el valor de B(40) en hombre.no.trabajan y la operación de la fórmula en la variable hombre.dado.trabaja dando así como resultado la probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es del \(76.67\%\)
En el ejercicio 3 colocamos la probabilidad de A(0.83) en la variable prob.S y el valor de B(0.82) en la variable prob.L y la operación de la fórmula en la variable prob.L.dado.S dando así como resultado la probabilidad de que un avión llegue a tiempo(0.82), dado que salió a tiempo(0.83) es del \(93.98\%\)
En el ejercicio 4 colocamos la probabilidad de A(0.45) en la variable P.Ex1 y el valor de B(0.30) en la variable P.Es1.inter.Ex2 y la operación de la fórmula en la variable P.Ex2.dado.Ex1 dando así como resultado el porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen(0.45) también pasaron el segundo(0.30) es del \(66.67\%\)
En el ejercicio 5 una tabla de personas (hombres y mujeres) con escolaridad primaria, secundaria, universidad se preguntó la probabilidad de que un hombre tuviera escolaridad secundaria, se sacó mediante la probabilidad hombre con la intersección de secundaria la cual dio 0.14 y esto se dividió entre la probabilidad de secundario la cual era 0.34 y el resultado final fue de \(0.41\), por último se preguntó la probabilidad de que una mujer tuviera grado universitario, entonces se sacó con la probabilidad de universidad con la intersección de la probabilidad de mujer que dio 0.11 entre la probabilidad de la mujer 0.535 y el resultado de esta división fue de \(0.20\).
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html. Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.