Objetivo

Determinar la probabilidad condicional

Descripción

De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.

Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.

Fundamento teórico

Pendiente.

Desarrollo

Se presentan ejercicios probabilidad condicional

Las librerías

Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.

library(knitr)

Ejercicio 1. Probabilidad A|B y probabilidad B|A

Extraído de (matemovil, n.d.)

\[P(A) = 0.60\] \[P(B) = 0.40\] \[P(A∩B) = 0.18\]

Calcular:

  • P(A|B)

\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.18}{0.40}=0.45\]

prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La misma

Entonces: \(P(A | B)\)

Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")
## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es:  45 %"
  • P(B|A)

\[P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.18}{0.60}=0.3\]

Entonces: \(P(B | A)\)

Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")
## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es:  30 %"

Ejercicio 2. Hombres y mujeres, trabajan y desempleados

Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)

Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:

hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260

n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)

n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)
  • Construir un conjunto de datos con los totales usando funcion apply() que genera los márgenes totales por renglón y por columna.
  • La funciones cbind() agrega una nueva columna al conjunto de datos
  • La función rbind() agrega un nuevo renglón al conjunto de datos
datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))

kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")
Personas que trabajan y no trabajan
Empleado Desempleado
460 40
140 260 
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))

rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")

kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")
Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan
Empleado Desempleado Total
Hombre 460 40 500
Mujer 140 260 400
Total 600 300 900

Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:

  • se elige a un hombre y el elegido tiene empleo o trabajo.

Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):

\[P(hombres.y.trabajan) = P(hombres \cap trabajan)=n(hombres.trabajan) / n.personas \therefore\] \[P(hombres \cap trabajan) = 460/900 = 0.51\]

La probabilidad de que que trabaje es:

\[P(trabajan) = n.trabajan / n.personas = 600/900 = 0.66\]

y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?:

\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

\[P(hombres | trabajan) = \frac{P(hombres \cap trabajan)}{P(trabajan)} = 0.51 / 0.66 = 0.76\]

El siguiente bloque de código realiza las operaciones:

p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas

p.trabaja <- n.trabajan / n.personas

p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja


paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")
## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es:  76.67 %"

Ejercicio 3. Probabilidad de vuelo

La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(S)=0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es P(L)=0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(S∩L)=0.78

  1. La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es:

\[P(L | S) = \frac{P(L \cap S)}{P(S)} = \frac {0.78}{0.83} = 0.94\]

  • Se inicializan variables:
prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78
  • Se determina la probabilidad condicional:
prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es:  93.98 %"
  1. La probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo es:

\[P(S | L) = \frac{P(S \cap L)}{P(L)} = \frac {0.78}{0.82} = 0.95\]

  • Determinamos la probabilidad condicional:
prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es:  95.12 %"

Ejercicio 4. Primer y segundo examen

Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.

  • El 30% de la clase paso ambos exámenes,

  • El 45% de la clase paso el primer examen.

  • ¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de:(HotMath, n.d.).

\[P(Ex1 \cap Ex2) = 0.30\]

\[P(Ex1) = 0.45\]

\[therefore\]

\[P(Ex2|Ex1) = \frac{P(Ex1 \cap Ex2)}{P(Ex1)} = \frac {0.30}{0.45} = 0.66\]

P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30

P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1

paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")
## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"
paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")
## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."

Ejercicio 5. Personas. Hombres y mujeres, escolaridad

La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).

Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…

  • la persona sea hombre, dado que su escolaridad es de secundaria?;

\[P(Hombre | Secundaria ) = \frac{P(Hombre \cap Secundaria)}{P(Secundaria)} = \frac{0.14}{0.34}=0.41\]

prob<-0.41*100
paste("La probabilidad de que la persona sea hombre y que su escolaridad es de secundaria es de:", prob,"%.")
## [1] "La probabilidad de que la persona sea hombre y que su escolaridad es de secundaria es de: 41 %."
  • la persona tenga un grado universitario,dado que es mujer?;

\[P(Universidad | Mujer) = \frac{P(Universidad) \cap P(Mujer) }{P(Mujer)}= \frac{0.11}{0.535}=0.20\]

prob<-0.20*100
paste("La probabilidad de que la persona sea mujer y que tenga un grado universitario es de:", prob,"%.")
## [1] "La probabilidad de que la persona sea mujer y que tenga un grado universitario es de: 20 %."

Interpretación

La probabilidad condicional es la probabilidad de de que ocurra un evento mientras se sabe que sucede un segundo evento, cumpliendo los axiomas de probabilidad.

Los axiomas de probabilidad son los componentes principales de un sistema de condiciones que deben cumplirse junto con pautas de inferencias especifican un sistema deductivo para que un conjunto de eventos determine sus probabilidades.

La fórmula que se utiliza es la siguiente:

\(P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) si \(P(B)≠0\)

Esta se utiliza cuando un evento A sucede, cuando se sabe que sucedió un evento B, dividiendose la probabilidad de ambos eventos entre la probabilidad del primer evento.

Me parece interesante que se pueda calcular una probabilidad a partir de eventos distintos y que puedan depender y no al mismo tiempo entre sí, sacando los distintos porcentajes de las probabilidades de sacar un sujeto al azar con los datos de ambos eventos de una forma más rápida y fácil de comprender, organizando estos resultados con una fórmula.

En cada ejercicio se calcula la probabilidad específica de lo que se pide, por lo que se puede saber con más facilidad el porcentaje de probabilidad que se puede tener al sacar un dato u objeto al azar con dichas características, la probabilidad sale con punto decimal, por lo que después se tiene que multiplicar por cien para obtener el porcentaje.

Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html. Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.