Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.
Pendiente
Se presentan ejercicios probabilidad condicional
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)Extraído de (matemovil, n.d.)
\[P(A)=0.60\]
\[P(B)=0.40\]
\[P(A∩B)=0.18\]
Calcular:
\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.18}{0.40}=0.45\]
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: \(P(A|B)\)
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"\[ P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.18}{0.60}=0.3\]
Entonces: \(P(B|A)\)
Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)Construir un conjunto de datos con los totales usando funcion apply() que genera los márgenes totales por renglón y por columna.
La funciones cbind() agrega una nueva columna al conjunto de datos
La función rbind() agrega un nuevo renglón al conjunto de datos.
datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):
\[P(hombres.y.trabajan)=P(hombres∩trabajan)=n(hombres.trabajan)/n.personas∴\]
\[ P(hombres∩trabajan)=460/900=0.51 \]
La probabilidad de que que trabaje es:
\[ P(trabajan)=n.trabajan/n.personas=600/900=0.66 \]
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?:
\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
\[ P(hombres | trabajan) = \frac{P(hombres \cap trabajan)}{P(trabajan)} = 0.51 / 0.66 = 0.76 \]
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es \(P(D)=0.83\), la probabilidad de que llegue a tiempo es \(P(A)=0.82\) y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es \(P(D∩A)=0.78\)
a.La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es:
\[P(A | D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac {0.78}{0.83} = 0.94\]
prob.D <- 0.83
prob.A <- 0.82
prob.A.inter.D <- 0.78prob.A.dado.D <- prob.A.inter.D / prob.D
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.A.dado.D * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"b.La probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo es: \[P(D | A) = \frac{P(D \cap A)}{P(A)} = \frac {0.78}{0.82} = 0.95\]
prob.D.dado.A <- prob.A.inter.D / prob.A
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.D.dado.A * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.
El 30% de la clase paso ambos exámenes,
El 45% de la clase paso el primer examen.
¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
\[P(Ex1 \cap Ex2) = 0.30\]
\[P(Ex1) = 0.45\]
\[therefore\]
\[P(Ex2|Ex1) = \frac{P(Ex1 \cap Ex2)}{P(Ex1)} = \frac {0.30}{0.45} = 0.66\]
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
\[ P(Hombre | Secundaria ) = \frac{P(Hombre \cap Secundaria)}{P(Secundaria)} = \frac{0.14}{0.34}=0.41 \]
\[P(Universidad | Mujer) = \frac{P(Universidad) \cap P(Mujer) )}{P(Mujer)}= \frac{0.11}{0.535}=0.20\]
Al menos 200 palabras
La probabilidad condicional es una propiedad de la probabilidad la cual se refiere al momento en que se da un suceso “A”, cuando se da, de igual forma, un suceso “B”. En la probabilidad condicional las dos probabilidades de los sucesos pueden variar en cuanto a la forma de utilizarse, ya que, aunque no cambie mucho, la formula puede llegar a variar el lugar de las variables dependiendo de que sucedió primero. Con la probabilidad condicional va a haber una probabilidad que ocurrirá primero, que para ilustrar la formula va a ser “B”, luego sucede otra probabilidad, la cual se va a denominar como probabilidad condicional, que para ilustrar la formula va a ser “A”. La formula se obtiene dividiendo la intersección de los sucesos entre el suceso que ocurrió primero, la cual es la siguiente:
\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
Los ejercicios que se vieron durante este caso representaron de buena forma esta propiedad de la probabilidad. Aunque algunos de los ejercicios no eran tan “realistas” representaban muy bien lo que se presentaba en el fundamento teórico. Algunos de los ejercicios como el 3, el 4 o el 5 aunque no eran tan complicados se podía observar como se aplicaban las probabilidades para obtener la propiedad condicional. El ejercicio que yo considero que estuvo más completo fue el segundo, aunque tampoco es que haya una diferencia abismal con los demás, solo que al haber más datos puede llegar a tornarse más complicado.
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html.
Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil.
HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability.
matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.