Taller Estimación por Intervalos de Confianza

En una muestra aleatoria simple de 50 artículos de una población en la que σ = 6 la media muestral fue 32.

Proporcione un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional.

qnorm(0.05, lower.tail = FALSE)

## [1] 1.644854

x_barra <- 32
sigma <- 6
n <-  50
ee <- sigma/sqrt(n)
z_90 <- 1.64
me_90 <- z_90*ee

lb_90 <- x_barra - me_90
la_90 <- x_barra + me_90

intervalo_90 <- c(lb_90, la_90)
intervalo_90

## [1] 30.60841 33.39159

Establezca un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional.

qnorm(0.025, lower.tail = FALSE)

## [1] 1.959964

x_barra <- 32
sigma <- 6
n <-  50
ee <- sigma/sqrt(n)
z_95 <- 1.96
me_95 <- z_95*ee

lb_95 <- x_barra - me_95
la_95 <- x_barra + me_95

intervalo_95 <- c(lb_95, la_95)
intervalo_95

## [1] 30.33688 33.66312

Proporcione un intervalo de confianza de 99% para la media poblacional

qnorm(0.005, lower.tail = FALSE)

## [1] 2.575829

x_barra <- 32
sigma <- 6
n <-  50
ee <- sigma/sqrt(n)
z_99 <- 2.58
me_99 <- z_99*ee

lb_99 <- x_barra - me_99
la_99 <- x_barra + me_99

intervalo_99 <- c(lb_99, la_99)
intervalo_99

## [1] 29.8108 34.1892

Una importante revista reportó que el ingreso familiar mensual medio de sus suscriptores es 3’500.000. Suponga que la estimación del ingreso familiar anual medio está basada en una muestra de 80 familias y que por datos de estudios anteriores la desviación estándar poblacional es conocida y es σ = 875.000.

Desarrolle un intervalo de estimación de 90% de confianza para la media poblacional.

qnorm(0.05, lower.tail = FALSE)

## [1] 1.644854

x_barra <- 3500000
sigma <- 875000
n <-  80
ee <- sigma/sqrt(n)
z_90 <- 1.64
me_90 <- z_90*ee

lb_90 <- x_barra - me_90
la_90 <- x_barra + me_90

intervalo_90 <- c(lb_90, la_90)
intervalo_90

## [1] 3339562 3660438

Dé un intervalo de estimación de 95% de confianza para la media poblacional.

qnorm(0.025, lower.tail = FALSE)

## [1] 1.959964

x_barra <- 3500000
sigma <- 875000
n <-  80
ee <- sigma/sqrt(n)
z_95 <- 1.96
me_95 <- z_95*ee

lb_95 <- x_barra - me_95
la_95 <- x_barra + me_95

intervalo_95 <- c(lb_95, la_95)
intervalo_95

## [1] 3308257 3691743

Dé un intervalo de estimación de 99% de confianza para la media poblacional.

qnorm(0.005, lower.tail = FALSE)

## [1] 2.575829

x_barra <- 3500000
sigma <- 875000
n <-  80
ee <- sigma/sqrt(n)
z_99 <- 2.58
me_99 <- z_99*ee

lb_99 <- x_barra - me_99
la_99 <- x_barra + me_99

intervalo_99 <- c(lb_95, la_99)
intervalo_99

## [1] 3308257 3752396

¿Qué le pasa a la amplitud del intervalo de confianza a medida que el nivel de confianza aumenta? ¿Parece esto razonable? Explique. R//: A medida que el intervalo de confianza aumenta, los intervalos de confianza son más amplios.

Para la media poblacional se dio el siguiente intervalo de confianza de 95%, de 152 a 160. Si σ = 15 , ¿cuál es el tamaño de la muestra que se usó en este estudio? R//:

intervalo_95 <- c(152, 160)
me <- 4
sigma <-15
alpha <- 1-0.95
z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
n <- (z_0.025^2* sigma ^2/ me^2)
n

## [1] 54.02051

En la distribución t con 16 grados de libertad, encuentre el área, o la probabilidad, de cada una de las regiones siguientes:

A la derecha de 2.120

pt(2.120,df=16 , lower.tail = FALSE)

## [1] 0.02499546

A la izquierda de 1.337

pt(q=1.337, df = 16)

## [1] 0.9000388

A la izquierda de -1.746

pt(q=-1.746, df = 16)

## [1] 0.04998962

A la derecha de 2.583

pt(2.583 ,df=16 , lower.tail = FALSE)

## [1] 0.01000989

Entre -2.120 y 2.120

pt(2.120 ,df=16 , lower.tail = FALSE)-pt(q=-2.120, df = 16)

## [1] 0

Entre -1.746 y 1.746

pt(1.746 ,df=16 , lower.tail = FALSE)-pt(q=-1.746, df = 16)

## [1] 0

Encuentre los valores de t para las situaciones siguientes.

Un área de 0.025 en la cola superior, con 12 grados de libertad

qt(0.025, 12,lower.tail = FALSE)

## [1] 2.178813

Un área de 0.05 en la cola inferior, con 50 grados de libertad

qt(0.05, 50)

## [1] -1.675905

Un área de 0.01 en la cola superior, con 30 grados de libertad

qt(0.01, 30,lower.tail = FALSE)

## [1] 2.457262

Entre los que queda 90% del área, con 25 grados de libertad

qt(0.9,df=25, lower.tail = FALSE)

## [1] -1.316345

Entre los que queda 95% del área, con 45 grados de libertad

qt(0.9,df=45, lower.tail = FALSE)

## [1] -1.300649

Los datos muestrales siguientes provienen de una población normal: 10, 8, 12, 15, 13, 11, 6, 5.

¿Cuál es la estimación puntual de la media poblacional?

poblacion <- c(10, 8, 12, 15, 13,
11, 6, 5)

mean(poblacion)

## [1] 10

¿Cuál es la estimación puntual de la desviación estándar poblacional?

sd(poblacion)

## [1] 3.464102

Con 95% de confianza, ¿cuál es el margen de error para la estimación de la media poblacional?

qnorm(0.025, lower.tail = FALSE)

## [1] 1.959964

¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media poblacional? Interprete el intervalo.

x_barra <- 10
sigma <- 3.46
n <-  8
ee <- sigma/sqrt(n)
z_95 <- 1.96
me_95 <- z_95*ee

lb_95 <- x_barra - me_95
la_95 <- x_barra + me_95

intervalo_95 <- c(lb_95, la_95)
intervalo_95

## [1]  7.602342 12.397658

R//: Con un nivel de confianza del 95%, la media poblacional se encuentra entre 7.60 y 12.39

En una muestra aleatoria simple con n = 54 la media muestral fue 22.5 y la desviación estándar muestral 4.4.

Encuentre e interprete un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional.

x_barra <- 22.5
s <- 4.4
n <- 54
ee <- s/sqrt(n)
alpha <- 1-0.90
t_0.05 <- qt(alpha/2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
ME_90 <- t_0.05*ee
ME_90

## [1] 1.002401

lb_90 <- x_barra-ME_90
la_90 <- x_barra+ME_90
intervalo_90 <- c(lb_90, la_90)
intervalo_90

## [1] 21.4976 23.5024

R// Con un nivel de confianza del 90%, la media poblacional se encuentra entre 21,50 y 23,50.

Dé e interprete un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional.

x_barra <- 22.5
s <- 4.4
n <- 54
ee <- s/sqrt(n)
alpha <- 1-0.95
t_0.025 <- qt(alpha/2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
ME_95 <- t_0.025*ee
ME_95

## [1] 1.200969

lb_95 <- x_barra-ME_95
la_95 <- x_barra+ME_95
intervalo_95 <- c(lb_95, la_95)
intervalo_95

## [1] 21.29903 23.70097

R//: Con un nivel de confianza del 95%, la media poblacional se encuentra entre 21,29 y 23,70

Dé e interprete un intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.

x_barra <- 22.5
s <- 4.4
n <- 54
ee <- s/sqrt(n)
alpha <- 1-0.99
t_0.005 <- qt(alpha/2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
ME_99 <- t_0.005*ee
ME_99

## [1] 1.599792

lb_99 <- x_barra-ME_99
la_99 <- x_barra+ME_99
intervalo_99 <- c(lb_99, la_99)
intervalo_99

## [1] 20.90021 24.09979

R//: Con un nivel de confianza del 99%, la media poblacional se encuentra entre 20,90 y 24,099

¿Qué pasa con el margen de error y con el intervalo de confianza a medida que aumenta el nivel de confianza? R//: A medida que se incrementa el nivel de confianza, se hace evidente que los intervalos obtienen valores cada vez más amplios. Asi mismo, se puede observar que el margen error también aumenta.

Los agentes de un call center de una EPS encargado de agendar los turnos para las vacunas contra el Covid 19, presentan un informe semanal que enumera los usuarios de la EPS contactados durante la semana. En una muestra de 30 informes semanales la media muestral es 19,5 usuarios por semana. La desviación estándar de esta muestra es 5,2. Dé intervalos de confianza de 90% y 95% para la media poblacional del número de usuarios contactados semanalmente por los agentes.

Intervalo de confianza del 90%

x_barra <- 19.5
s <- 5.2
n <- 30
ee <- s/sqrt(n)
alpha <- 1-0.90
t_0.05 <- qt(alpha/2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
ME_90 <- t_0.05*ee
ME_90

## [1] 1.613127

lb_90 <- x_barra-ME_90
la_90 <- x_barra+ME_90
intervalo_90 <- c(lb_90, la_90)
intervalo_90

## [1] 17.88687 21.11313

R//Con un nivel de confianza del 90%, la media poblacional se encuentra entre 17,89 y 21,11

Intervalo de confianza del 95%

x_barra <- 19.5
s <- 5.2
n <- 30
ee <- s/sqrt(n)
alpha <- 1-0.95
t_0.025 <- qt(alpha/2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
ME_95 <- t_0.025*ee
ME_95

## [1] 1.941712

lb_95 <- x_barra-ME_95
la_95 <- x_barra+ME_95
intervalo_95 <- c(lb_95, la_95)
intervalo_95

## [1] 17.55829 21.44171

R//: Con un nivel de confianza del 95%, la media poblacional se encuentra entre 17,56 y 21,44

La Aeronáutica Civil realiza encuestas entre los viajeros de negocios en las que se califica la calidad de los aeropuertos internacionales. La calificación máxima es 10. Se seleccionó una muestra aleatoria simple de viajeros de negocios y a cada uno se le pidió su calificación para el Aeropuerto El Dorado en Bogotá D.C. Las calificaciones que dieron estos viajeros fueron las que se muestran a continuación. 6 4 6 8 7 7 6 3 3 8 10 4 8 7 8 7 5 9 5 8 4 3 8 5 5 4 4 4 8 4 5 6 2 5 9 9 8 4 8 9 9 5 9 7 8 3 10 8 9 6 Calcule e interprete el intervalo de confianza de 95%, 98% y 99% para la media poblacional de las calificaciones del aeropuerto.Repita

calificacion <- c(6, 4, 6, 8, 7, 7, 6, 3, 3, 8, 10, 4, 8, 7, 8, 7, 5, 9,
5, 8, 4, 3, 8, 5, 5, 4, 4, 4, 8, 4, 5, 6, 2, 5, 9, 9,
8, 4, 8, 9, 9, 5, 9, 7, 8, 3, 10, 8, 9, 6)

length(calificacion)

## [1] 50

mean(calificacion)

## [1] 6.34

sd(calificacion)

## [1] 2.162859

Intervalo de confianza de 95%

x_barra <- 6.34
s <- 2.16
n <- 50
ee <- s/sqrt(n)
alpha <- 1-0.95
t_0.025 <- qt(alpha/2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
ME_95 <- t_0.025*ee
ME_95

## [1] 0.6138652

lb_95 <- x_barra-ME_95
la_95 <- x_barra+ME_95
intervalo_95 <- c(lb_95, la_95)
intervalo_95

## [1] 5.726135 6.953865

R//: Con un nivel de confianza del 95%, la media poblacional de las calificaciones del aeropuerto se encuentra entre 5.73 y 6.95

Intervalo de confianza en 98%

x_barra <- 6.34
s <- 2.16
n <- 50
ee <- s/sqrt(n)
alpha <- 1-0.98
t_0.01 <- qt(alpha/2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
ME_98 <- t_0.01*ee
ME_98

## [1] 0.7346226

lb_98 <- x_barra-ME_98
la_98 <- x_barra+ME_98
intervalo_98 <- c(lb_98, la_98)
intervalo_98

## [1] 5.605377 7.074623

R//: Con un nivel de confianza del 98%, la media poblacional de las calificaciones del aeropuerto se encuentra entre 5.61 y 7.07

Intervlo de confianza en 99%

x_barra <- 6.34
s <- 2.16
n <- 50
ee <- s/sqrt(n)
alpha <- 1-0.99
t_0.005 <- qt(alpha/2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
ME_99 <- t_0.005*ee
ME_99

## [1] 0.8186453

lb_99 <- x_barra-ME_99
la_99 <- x_barra+ME_99
intervalo_99 <- c(lb_99, la_99)
intervalo_99

## [1] 5.521355 7.158645

R//: Con un nivel de confianza del 99%, la media poblacional de las calificaciones del aeropuerto se encuentra entre 5.52 y 7.15

¿Qué tan grande debe seleccionarse una muestra para tener un intervalo de confianza de 95% con un margen de error de 10? Suponga que la desviación estándar poblacional es 40. (Revise la sección 8.3 si es necesario.)

me <- 10
sigma <- 40
alpha <- 1-0.95

z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)

n <- (z_0.025^2 * sigma ^ 2) / me^2
n

## [1] 61.46334

11.Los salarios anuales iniciales de estudiantes que acaban de terminar una un proceso de formación en el SENA se espera que estén entre $900.000 y $1’350.000. Suponga que quiere dar un intervalo de confianza de 95% para estimar la media poblacional de los salarios iniciales. ¿Cuál es el valor planeado de la desviación estándar poblacional? ¿Cuán grande deberá ser la muestra si quiere que el margen de error sea

Rango para sigma-> valor planeado desviación estandar poblacional

rango <-(1350000-900000)
rango

## [1] 450000

¿$100.000?

intervalo_95 <- c(1350000, 900000)
me <- 100000
sigma <-450000
alpha <- 1-0.95
z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
n <- (z_0.025^2* sigma ^2/ me^2)
n

## [1] 77.78954

¿$50.000?

intervalo_95 <- c(1350000, 900000)
me <- 50000
sigma <-450000
alpha <- 1-0.95
z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
n <- (z_0.025^2* sigma ^2/ me^2)
n

## [1] 311.1582

¿$10.000?

intervalo_95 <- c(1350000, 900000)
me <- 10000
sigma <-450000
alpha <- 1-0.95
z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
n <- (z_0.025^2* sigma ^2/ me^2)
n

## [1] 7778.954

¿Recomendaría usted tratar de tener $10.000 como margen de error? R//:Sí, porque me da el margen de error más alto de los tres que se analizaron, lo que implica que se esta acercando a el tamaño maximo del margen de error, por lo que se puede analizar con mayor determinación, que tan factible puede ser el intervalo de confianza.

12.En una muestra aleatoria simple de 400 individuos, 100 de las respuestas fueron Sí. a. Dé la estimación puntual de la proporción poblacional de individuos cuya respuesta será Sí.

Si <- 100
n <- 400

p_barra <- Si/n
p_barra

## [1] 0.25

Dé la estimación del error estándar de la proporción σp¯.

ee <- sqrt((p_barra*(1-p_barra))/n)
ee

## [1] 0.02165064

Calcule e interprete el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional.

alpha <- 1-0.95
z <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)

me <- z*ee
me

## [1] 0.04243447

lb <- p_barra - me
la <- p_barra + me
intervalo <- c(lb, la)
intervalo

## [1] 0.2075655 0.2924345

R//: Con un nivel de confianza del 95%, la proporción poblacional se encuentra entre 0.20 y 0.29.

Calcule e interprete el intervalo de confianza de 99% para la proporción poblacional.

alpha <- 1-0.99
z <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)

me <- z*ee
me

## [1] 0.05576834

lb <- p_barra - me
la <- p_barra + me
intervalo <- c(lb, la)
intervalo

## [1] 0.1942317 0.3057683

R//: Con un nivel de confianza del 99%, la proporción poblacional se encuentra ente 0.34 y 0.41.

De acuerdo con estadísticas publicadas por un importante medio de comunicación, la cantidad de vehículos que no tienen SOAT vigente es muy grande. Los resultados muestrales que uso el medio indican que 46 de 200 vehículos no tenían SOAT vigente.

¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de vehículos no tenían SOAT vigente?

No <- 46
n <- 200

p_barra <- No/n
p_barra

## [1] 0.23

Dé e interprete un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional.

ee <- sqrt((p_barra*(1-p_barra))/n)
ee

## [1] 0.02975735

alpha <- 1-0.95
z <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)

me <- z*ee
me

## [1] 0.05832334

lb <- p_barra - me
la <- p_barra + me
intervalo <- c(lb, la)
intervalo

## [1] 0.1716767 0.2883233

R//: Con un nivel de confianza del 95%, la proporción de vehiculos que no tienen Soat se encuentra entre 0.17 y 0.29.

Dé e interprete un intervalo de confianza de 99% para la proporción poblacional.

ee <- sqrt((p_barra*(1-p_barra))/n)
ee

## [1] 0.02975735

alpha <- 1-0.99
z <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)

me <- z*ee
me

## [1] 0.07664986

lb <- p_barra - me
la <- p_barra + me
intervalo <- c(lb, la)
intervalo

## [1] 0.1533501 0.3066499

R//: Con un nivel de confianza del 99%, la proporción de vehiculos que no tienen Soat se encuentra entre 0.15 y 0.31.

Una encuesta realizada por USA Today/CNN/Gallup durante la campaña presidencial tomó en junio una muestra de 491 votantes potenciales. El objetivo de esta encuesta era estimar la proporción de votantes potenciales a favor de cada candidato. Suponga que el valor planeado es p∗ = 0, 50 con un nivel de confianza de 95%.

Si p∗ = 0, 50. ¿Cuál fue el margen de error planeado en la encuesta de junio?

p_barra <- 0.50
n <- 491
ee <- sqrt((p_barra*(1-p_barra))/n)
ee

## [1] 0.02256468

Al acercarse la elección de noviembre se busca una mejor precisión y un menor margen de error. Suponga que los márgenes de error que se piden son los que se muestran en la tabla siguiente. Calcule el tamaño de muestra que se recomienda para cada estudio.

Para Septiembre

p_barra <- 0.50
me <- 0.04
alpha <- 1-0.95
z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
n <- (z_0.025^2*p_barra*(1-p_barra) / me^2)
n

## [1] 600.2279

Para Octubre

p_barra <- 0.50
me <- 0.03
alpha <- 1-0.95
z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
n <- (z_0.025^2*p_barra*(1-p_barra) / me^2)
n

## [1] 1067.072

Para comienzos de noviembre

p_barra <- 0.50
me <- 0.02
alpha <- 1-0.95
z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
n <- (z_0.025^2*p_barra*(1-p_barra) / me^2)
n

## [1] 2400.912

Un dia antes de la elección

p_barra <- 0.50
me <- 0.01
alpha <- 1-0.95
z_0.025 <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
n <- (z_0.025^2*p_barra*(1-p_barra) / me^2)
n

## [1] 9603.647

Phoenix Wealth Management/Harris realizó un estudio con 1500 individuos cuyo patrimonio era de un millón o más de dólares, obtuvo diversos estadísticos sobre la gente rica. Los tres años anteriores habían sido malos para el mercado de acciones, lo que motivó algunas de las preguntas realizadas.

En este estudio se encontró que 53% de los encuestados perdió 25% o más del valor de su portafolio en los últimos tres años. Dé e interprete un intervalo de confianza de 95% para la proporción de gente rica que perdió 25% o más del valor de su portafolio en los últimos tres años.

Error estándar

p_barra <- 0.53
n <- 1500
ee <- sqrt((p_barra*(1-p_barra))/n)
ee

## [1] 0.01288669

Margén de Error

alpha <- 1-0.95
z <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)

me <- z*ee
me

## [1] 0.02525744

lb <- p_barra - me
la <- p_barra + me
intervalo <- c(lb, la)
intervalo

## [1] 0.5047426 0.5552574

R// Con un nivel de confianza del 95%, la proporción de personas que perdieron el 25% o más de su portafolio se encuentra entre 0.15 y 0.31.

El estudio indicó que 31% de los encuestados siente que deberá ahorrar más para su retiro para compensar lo perdido. Dé e interprete un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional.

Error Estandar

p_barra <- 0.31
n <- 1500
ee <- sqrt((p_barra*(1-p_barra))/n)
ee

## [1] 0.01194152

Margen de error

alpha <- 1-0.95
z <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)

me <- z*ee
me

## [1] 0.02340496

lb <- p_barra - me
la <- p_barra + me
intervalo <- c(lb, la)
intervalo

## [1] 0.286595 0.333405

R//:Con un nivel de confianza del 95%, la proporción de personas que siente que debe ahorrar más para compensar lo perdido se encuentra entre 0.15 y 0.31.

Cinco por ciento de los encuestados hicieron una donación de $25 000 o más para obras de caridad el año anterior. Dé e interprete un intervalo de confianza de 95% para la proporción de quienes hicieron una donación de $25 000 o más para obras de caridad.

error estandar

p_barra <- 0.05
n <- 1500
ee <- sqrt((p_barra*(1-p_barra))/n)
ee

## [1] 0.005627314

Margen de error

alpha <- 1-0.95
z <- qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)

me <- z*ee
me

## [1] 0.01102933

lb <- p_barra - me
la <- p_barra + me
intervalo <- c(lb, la)
intervalo

## [1] 0.03897067 0.06102933

R//: Con un nivel de confianza del 95%, la proporción de personas que realizaron una donación se encuentra entre 0.15 y 0.31. d. Compare los márgenes de error de las estimaciones por intervalo de los incisos a, b y c. ¿Cuál es la relación entre margen de error y p¯? R//: El margen de error del inciso a, es el más elevado, esto se debe a que p_barra de este incicso, es el mas grande, por lo que puede deducir, que entre más grande es p_barra, más grande es el margén de error.

Si usa la misma muestra para obtener varias proporciones, ¿cuál de las proporciones debe usarse para estimar el valor planeado p∗? ¿Por qué considera que en estos casos suela usarse p∗ = 0.50? R//: Debe usarse la proporción del inciso A, ya que esta es la más cerca a 0.50, que es la que me da el tamaño maximo del márgen de error.

Taller Estimación por Intervalos de Confianza

Valentina Díaz Hernández

20/4/2021