Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.
Pendiente
Se presentan ejercicios probabilidad condicional
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)## Warning: package 'knitr' was built under R version 4.0.4Extraído de (matemovil, n.d.)
\[P(A)=0.60\] \[P(B)=0.40\]
\[P(A∩B)=0.18\]
Calcular:
\[P(A|B)=P(A∩B)P(B)=0.180.40=0.45\]
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: P(A|B)
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"P(B|A)
\[P(B|A)=P(B∩A)P(A)=0.180.60=0.3\]
Entonces: P(B|A)
Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)Construir un conjunto de datos con los totales usando funcion apply() que genera los márgenes totales por renglón y por columna.
La funciones cbind() agrega una nueva columna al conjunto de datos
La función rbind() agrega un nuevo renglón al conjunto de datos
datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional:
\[P(hombres.y.trabajan)=P(hombres∩trabajan)=n(hombres.trabajan)/n.personas∴P(hombres.y.trabajan)=P(hombres∩trabajan)=n(hombres.trabajan)/n.personas∴\]
\[P(hombres∩trabajan)=460/900=0.51P(hombres∩trabajan)=460/900=0.51\]
La probabilidad de que que trabaje es:
\[P(trabajan)=n.trabajan/n.personas=600/900=0.66P(trabajan)=n.trabajan/n.personas=600/900=0.66\]
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?:
\[P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A\|B)=P(A∩B)P(B)\]
\[P(hombres|trabajan)=P(hombres∩trabajan)P(trabajan)=0.51/0.66=0.76P(hombres\|trabajan)=P(hombres∩trabajan)P(trabajan)=0.51/0.66=0.76\]
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(S)=0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es P(L)=0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(S∩L)=0.78
La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: \[P(L|S)=P(L∩S)P(S)=0.780.83=0.94\] Se inicializan variables
prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78Se determina la probabilidad condicional
prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"La probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo es:
\[P(S|L)=P(S∩L)P(L)=0.780.82=0.95\]
Determinamos la probabilidad condicional
prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.
El 30% de la clase paso ambos exámenes,
El 45% de la clase paso el primer examen.
¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
\[P(Ex1∩Ex2)=0.30P(Ex1∩Ex2)=0.30\]
\[P(Ex1)=0.45P(Ex1)=0.45\]
therefore
\[P(Ex2|Ex1)=P(Ex1∩Ex2)P(Ex1)=0.300.45=0.66\]
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
la persona sea hombre, dado que su escolaridad es de secundaria?;
\[P(Hombre\|Secundaria)=P(Hombre∩Secundaria)P(Secundaria)=0.140.34=0.41\\]
la persona tenga un grado universitario,dado que es mujer?;
\[P(Universidad|Mujer)=P(Universidad)∩P(Mujer)P(Mujer)=0.110.535=0.20\]
Luego de haber realizado este caso, he podido conseguir aclarar algunos nuevos conceptos referentas a la rama de la probabilidad y la estadística. Por ejemplo, el concepto de la probabilidad condicional, cosa que no es más que la probabilidad de que sucedan ciertos casos luego de que se hayan presentado otros con anterioridad.
A su vez, también pude descubrir que para su aplicación, existen diversos fundamentos y/o leyes por los cuales se rige la probabilidad condicional, dichas reglas han sido de utilidad para que, mediante diversos estudios y análisis, se haya podido llegar a una fórmula que define de forma universal el cómo calcular la probabilidad condicional, la cual es la siguiente: \[P(A|B)=P(A∩B)P(B)\]
Además, dentro de la teoría como tal, logré entender que para poder calcular la probabilidad condicional se necesitan al menos dos fenómenos de estudio, pues dado que la fórmula estudia la intersección de los mismos, si tan sólo tuviéramos un único evento con posibilidades matemáticas y estadísticas de ocurrir, dicha fórmula no podría ser aplicada correctamente.
Pasando a lo que fueron los problemas en sí, considero que me fueron de gran ayuda para poder terminar de comprender todo lo que esta sesión pretendía, pues en el primer ejercicio, se ve claramente cómo funciona la probabilidad condicional mediante la relación entre los exámenes de la clase, pues si se aprueba uno, hay más posibilidades de que se de el caso de haber acreditado ambos, cosa que también funciona a la inversa, pues si se reprueba un examen, automáticamente se descarta la posibilidad de haber aprobado ambos.
En conclusión, me ha parecido un caso muy educativo y muy útil para ir comprendiendo cada vez más cosas sobre la probabilidad y la estadística.
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html. Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.