Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.
Pendiente
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)## Warning: package 'knitr' was built under R version 4.0.4Extraído de (matemovil, n.d.)
\[P(A)=0.60\] \[P(B)=0.40\]
\[P(A∩B)=0.18\]
Calcular:
P(A|B)
\[P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{0.180}{.40}=0.45\]
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: \[P(A|B)\]
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"P(B|A)
\[P(B|A)=\frac{P(B∩A)}{P(A)}=\frac{0.180}{.60}=0.3\] Entonces: P(B|A)
Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de B dado A es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de B dado A es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
se elige a un hombre y el elegido tiene empleo o trabajo. Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):
$$P(hombres.y.trabajan)=P(hombres∩trabajan)=n(hombres.trabajan)/n.personas∴
P(hombres∩trabajan)=460/900=0.51$$
La probabilidad de que que trabaje es:
\[P(trabajan)=n.trabajan/n.personas=600/900=0.66\]
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?:
\[P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}\]
\[P(hombres|trabajan)=\frac{P(hombres∩trabajan)}{P(trabajan)}=0.51/0.66=0.76\]
El siguiente bloque de código realiza las operaciones
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es \[P(S)=0.83\], la probabilidad de que llegue a tiempo es\[ P(L)=0.82\] y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es \[P(S∩L)=0.78\]
La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: P(L|S)=P(L∩S)P(S)=0.780.83=0.94
prob.S <- 0.83
prob.L <- 0.82
prob.S.inter.L <- 0.78prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"La probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo es: \[P(S|L)=\frac{P(S∩L)}{P(L)}=\frac{0.780}{.82}=0.95\]
Determinamos la probabilidad condicional
prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión salga a tiempo, dado que llegó a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión salga a tiempo, dado que llegó a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.
El 30% de la clase paso ambos exámenes,
El 45% de la clase paso el primer examen.
¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
\[P(Ex1∩Ex2)=0.30\] \[P(Ex1)=0.45\] \[therefore\] \[P(Ex2|Ex1)=\frac{P(Ex1∩Ex2)}{P(Ex1)}=\frac{0.300}{.45}=0.66\]
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
la persona sea hombre, dado que su escolaridad es de secundaria?; \[P(Hombre|Secundaria)=\frac{P(Hombre∩Secundaria)}{P(Secundaria)}=\frac{0.140}{.34}=0.41\]
la persona tenga un grado universitario,dado que es mujer?;
\[P(Universidad|Mujer)=\frac{P(Universidad)∩P(Mujer)}{P(Mujer)}=0.110.535=0.20\]
Al menos 200 palabras
¿Qué es la probabilidad condicional? ¿Cómo se utiliza?, en eventos relacionados ¿Cual es la fórmula? Algunas ideas de los ejercicios y el significado de su probabilidad de cada ejercicio
La probabilidad condicional es la probabilidad de que suceda un suceso A, teniendo en cuenta también un suceso B. Esta se calcula partiendo de dos eventos A y B, indicando la probabilidad de que ocurra el evento A dado el evento B. Se escribe :
\[ P(A|B) \]
leyéndose como “probabilidad de A dado B”.
La formula que se utiliza para calcular la probabilidad condicional es la siguiente: \[P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}\]o bien \[P(B|A)=\frac{P(B∩A)}{P(A)}\]
Durante este caso número 10 se pudieron analizar 5 ejercicios donde aplicamos la probabilidad condicional, y de los cuales explicare a continuación:
Ejercicio 1. Probabilidad A|B y probabilidad B|A:
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de B dado A es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de B dado A es: 30 %"Ejercicio 2.Hombres y mujeres trabajan y desempleados :
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %" - Ejercicio 3. Probabilidad de vuelo:
- El ejercicio número 3 trato de la probabilidad de que un
vuelo saliera a tiempo, la probabilidad de que llegue a
tiempo, y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo.
Para esto se nos formularon las siguientes preguntas **
¿Cuál es la probabilidad de que un avión haya salido a
tiempo, dado que llegó a tiempo?,** y **¿cuál es la
probabilidad de que un avión haya salido a tiempo,
dado que llegó atiempo?** procedimos a acomodar nuestras
probabilidades de a cuerdo a la formula de probabilidad
condicional y resolvimos con código R.
Los resultados fueron los siguientes:prob.L.dado.S <- prob.S.inter.L / prob.S
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.L.dado.S * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"prob.S.dado.L <- prob.S.inter.L / prob.L
paste("La probabilidad de que un avión salga a tiempo, dado que llegó a tiempo es: ", round(prob.S.dado.L * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión salga a tiempo, dado que llegó a tiempo es: 95.12 %" - Ejercicio 4. *Primer y segundo examen:*
- El planteamiento del ejercicio 4 trata sobre la probabilidad
de los alumnos que realizaron dos exámenes de matemáticas
aplicados por un maestro y que pasaron uno u otro examen o
ambos exámenes. Para la solución de este ejercicio se nos
hizo la siguiente pregunta ***¿Qué porcentaje de aquellos
que pasaron el primer examen también pasaron el segundo?,***
posteriormente acomodamos las probabilidades de acuerdo a la
formula y resolvimos en código R. El resultado fue el siguiente:
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %" - Ejercicio 5. *Personas hombres y mujeres escolaridad*
- En este ejercicio se nos proporciono una tabla con datos de
las personas escolarizadas y las que no lo están, divididos
en hombres y mujeres, para esto se nos formulo la pregunta
***¿cuál es la probabilidad de que la persona sea hombre,
dado que su escolaridad es de secundaria?*** **,** para su
resolución primero se analizo como se debía acomodar las
probabilidades de a cuerdo a la formula de probabilidad
condicional, y procedimos a resolverlo en código R. El resultado fue:
\[P(Hombre|Secundaria)=\frac{P(Hombre∩Secundaria)}{P(Secundaria)}=\frac{0.140}{.34}=0.41\]
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html. Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.