Determinar la probabilidad condicional
De un conjunto de varios ejercicios extraídos de de la literatura de probabilidad de entre libros y sitios WEB se de termina la probabilidad condicional a partir de datos iniciales.
Lo datos iniciales pueden ser la frecuencias, las probabildiad de evento A y evento B así como la probabilidad de intersección entre ambos eventos o conjunto, con ello se determina la probabilidad condicional utilizando la fórmula que se cita más adelante.
Se presentan ejercicios probabilidad condicional
Se carga la librería knitr previa instalación con install.packages(“knitr”) que permite entre otras cosas, dar formato a las tablas de datos.
library(knitr)Extraído de (matemovil, n.d.)
\[P(A)=0.60\]
\[P(B)=0.40\]
\[P(A∩B) = 0.18\]
Calcular:
\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.18}{0.40}=0.45 \]
prob.A <- 0.60
prob.B <- 0.40
prob.A.Inter.B <- 0.18
prob.B.Inter.A <- prob.A.Inter.B # La mismaEntonces: \(P(A | B)\)
Prob.A.dado.B <- prob.A.Inter.B / prob.B
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.A.dado.B * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 45 %"P(B|A) \[P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.18}{0.60}=0.3 \]
Entonces \(P(B|A)\)
Prob.B.dado.A <- prob.B.Inter.A / prob.A
paste("La pobabilidad de que se de A dado B es: ", Prob.B.dado.A * 100, "%")## [1] "La pobabilidad de que se de A dado B es: 30 %"Ejercicio tomado del libro de (Walpole et al. 2007)
Se identifican las frecuencias de personas que trabajan y no trabajan hombre y mujeres en una ciudad pequeña X:
| Hombre | Empleado | Desempleado | Total |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
hombres.trabajan = 460
hombres.no.trabajan = 40
mujeres.trabajan = 140
mujeres.no.trabajan = 260
n.personas <- sum(hombres.trabajan, hombres.no.trabajan, mujeres.trabajan, mujeres.no.trabajan)
n.trabajan <- sum(hombres.trabajan, mujeres.trabajan)Construir un conjunto de datos con los totales usando funcion apply() que genera los márgenes totales por renglón y por columna.
La funciones cbind() agrega una nueva columna al conjunto de datos
La función rbind() agrega un nuevo renglón al conjunto de datos
datos <- data.frame(Empleado = c(hombres.trabajan, mujeres.trabajan), Desempleado = c(hombres.no.trabajan, mujeres.no.trabajan))
kable(datos, caption = "Personas que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
Personas que trabajan y no trabajan
| Empleado | Desempleado |
|---|---|
| 460 | 40 |
| 140 | 260 |
datos <- cbind(datos, Total = apply(datos, 1, sum))
datos <- rbind(datos, apply(datos, 2, sum))
rownames(datos) <- c("Hombre", "Mujer", "Total")
kable(datos, caption = "Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan")| Empleado | Desempleado | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
| Totales de personas (hombres y mujeres) que trabajan y no trabajan | |||
|---|---|---|---|
| Empleado | Desempleado | Total | |
| Hombre | 460 | 40 | 500 |
| Mujer | 140 | 260 | 400 |
| Total | 600 | 300 | 900 |
Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice viaje a través del país para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad (Durango, México). Nos interesaremos en los eventos siguientes:
Entonces se elige a un hombre que trabaja (numerador de la fórmula de probabilidad condicional):
\[P(hombres.y.trabajan) = P(hombres \cap trabajan)=n(hombres.trabajan) / n.personas \therefore \]
\[P(hombres \cap trabajan) = 460/900 = 0.51 \]
La probabilidad de que que trabaje es:
\[P(trabajan) = n.trabajan / n.personas = 600/900 = 0.66 \]
y finalmente conforme la fórmula ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?:
\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
\[P(hombres | trabajan) = \frac{P(hombres \cap trabajan)}{P(trabajan)} = 0.51 / 0.66 = 0.76 \] El siguiente bloque de código realiza las operaciones
p.hombre.inter.trabajan <- hombres.trabajan / n.personas
p.trabaja <- n.trabajan / n.personas
p.hombre.dado.trabaja <- p.hombre.inter.trabajan / p.trabaja
paste("La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: ", round(p.hombre.dado.trabaja * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja es: 76.67 %"La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es \(P(D)=0.83\) , la probabilidad de que llegue a tiempo es \(P(A)=0.82\) y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es \(P(D ∩ A) = 0.78\)
\[P(A | D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac {0.78}{0.83} = 0.94\]
prob.D <- 0.83
prob.A <- 0.82
prob.A.inter.D <- 0.78prob.A.dado.D <- prob.A.inter.D / prob.D
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.A.dado.D * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %"\[ P(D | A) = \frac{P(D \cap A)}{P(A)} = \frac {0.78}{0.82} = 0.95 \]
Determinamos la probabilidad condicional
prob.D.dado.A <- prob.A.inter.D / prob.A
paste("La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: ", round(prob.D.dado.A * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 95.12 %"Una maestra de matemáticas hizo en su clase dos exámenes.
El 30% de la clase paso ambos exámenes,
El 45% de la clase paso el primer examen.
¿Qué porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo? Caso extraído de : (HotMath, n.d.)
\[ P(Ex\cap Ex2)=0.30 \]
\[ P(Ex1)=0.45 \]
\[ therefore \]
\[ P(Ex2|Ex1) = \frac{P(Ex1 \cap Ex2)}{P(Ex1)} = \frac {0.30}{0.45} = 0.66 \]
P.Ex1 <- 0.45
P.Ex1.inter.Ex2 <- 0.30
P.Ex2.dado.Ex1 <- P.Ex1.inter.Ex2 / P.Ex1
paste("El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es:", round(P.Ex2.dado.Ex1 * 100, 2), "%")## [1] "El porcentaje de aquellos que pasaron el primer examen también pasaron el segundo es: 66.67 %"paste("Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen.")## [1] "Dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen."La siguiente es una clasificación, según el género y el nivel de escolaridad, de una muestra aleatoria de 200 adultos. ejercicio extraído de (Walpole, Myers, and Myers 2012).
| Escolaridad | Hombre | Mujer |
|---|---|---|
| Primaria | 38 | 45 |
| Secundaria | 28 | 40 |
| Universidad | 27 | 22 |
Si se elige una persona al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que…
\[ P(Hombre | Secundaria ) = \frac{P(Hombre \cap Secundaria)}{P(Secundaria)} = \frac{0.14}{0.34}=0.41 \]
la persona tenga un grado universitario,dado que es mujer?;
\[P(Universidad | Mujer) = \frac{P(Universidad) \cap P(Mujer) }{P(Mujer)}= \frac{0.11}{0.535}=0.20\]
En este caso, caso número 11, seguimos con el tema de la probabilidad, pero ahora conociendo un tema que es nuevo para mí, tal vez en algún momento pudiese haberme topado con este, pero no tenía noción de que se tratara de eso, de lo que hablamos en el presente caso es de la probabilidad condicional, la cual puede ser definida como la posibilidad de que ocurra cierto evento, podemos denominarlo como evento A, cuando se es sabido que también sucede otro evento, que lo denominaremos como B. La probabilidad se emplea como un tipo de herramienta, esta da paso a que se puedad evaluar la veracidad de las conclusiones sacadas sobre de la población cuando tenga sólo información muestral. La fórmula de la probabilidad condicional está denotada de las siguientes maneras:
\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
\[P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}\]
Siempre y cuando en ambos casos la \(P(B)\ne0\) \(P(A)\ne0\)
En este caso se realizaron 5 ejercicios, el primer ejercicio nos habla de cuál es la probabilidad de que suceda un evento A, siendo que A tenía una probabilidad del 60% aún sabiendo que ocurre el evento B, el cual tenía una probabilidad del 40%, el resultado fue el siguiente: Usando la primera fórmula, la probabilidad de que se dé A dado B es: 45 % y usando la segunda fórmula, la pobabilidad de que se dé A dado B es: 30 %. El segundo ejercicio nos planteaba la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que sea hombre dado que trabaja?, la respuesta fue el 76.67%. El tercer ejercicio nos planteaba la situación de que un avión llegase a tiempo si salía a cierta hora, en este caso, salir temprano: La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: 93.98 %. El cuarto ejercicio nos daba dos condiciones, una maestra realiza dos exámenes, el 30% pasó ambos exámenes, el 45% solo pasó el primero, ¿qué porcentaje de los que pasaron el primer examen también pasaron el segundo examen?: dos tercios o aproximadamente el 66.7% de la clase paso el segundo examen. Por último, el quinto ejercicio nos muestra una tabla que nos indica la escolaridad de las personas, clasificandolo por género. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea hombre, dado que su escolaridad es de secundaria?, la respuesta es del 41%. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga un grado universitario,dado que es mujer?, la respuesta es del 20%. Para llegar a estos resultados se tuvo que usar las fórmulas de la probabilidad condicional, las cuales las mencionamos anteriormente. Este caso me deja claro un nuevo término, la probabilidad condicional que puede ser usada en muchas situaciones, como las que se nos presentaron.
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
Benítez Morales, Alejandro. n.d. “Probabilidad y Estadística, Apuntes Digitales.” http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/index.html.
Cevallos, Lorenzo, Jorge Zambrano, Maikel Leyva, Yudelnabis, and Florentin Smarandache. 2018. Enfoque Didáctico de La Teoría de Conjuntos y Probabilidades. Guayaquil, Guayas, Ecuador: Asociación Latinoamericana de Ciencias Neutrosóficas Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas Universidad de Guayaquil.
HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability.
matemovil. n.d. “Probabilidad Condicional, Ejercicios Resueltos.” https://matemovil.com/probabilidad-condicional-ejercicios-resueltos/.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.