Relación de problemas Tema 5. Contraste de Hipótesis

Ejercicio 5.2.

Datos:

\(n=8\); \(\bar{X}=127\); \(\sum_{i=1}^8(X_i-\bar{X})=68\)

\(m=8\); \(\bar{Y}=109\); \(\sum_{i=1}^{10}(Y_i-\bar{Y})=58\)

Cálculo de las cuasivarianzas

\(\frac{\sum_{i=1}^8(X_i-\bar{X})}{n-1}=\frac{68}{8-1}=9.7143\)

\(\frac{\sum_{i=1}^10(Y_i-\bar{Y})}{m-1}=\frac{58}{10-1}=6.4444\)

X_VAR<-68/7;X_VAR

## [1] 9.714286

Y_VAR<-58/9;Y_VAR

## [1] 6.444444

Contraste 1. Paso 1. Planteamiento del contraste

\(H_{0}: \sigma^2_1=\sigma^2_2=>\frac{\sigma^2_1}{\sigma^2_2}= 1\)

\(H_{1}: \sigma^2_1 \neq \sigma^2_2=>\frac{\sigma^2_1}{\sigma^2_2}\neq 1\)

Paso 2:Cálculo del estadístico del contraste

\(F_{exp}=\frac{S^2_{n-1}}{S^2_{m-1}}·\frac{1}{r_0}\)

N<-8
M<-10
R0<-1

X_VAR/Y_VAR*1/R0

## [1] 1.507389

Paso 3. Regla de decisión

Si \(F_{exp}<F_{n-1,m-1;\frac{\alpha}{2}}\) ó \(F_{exp}>F_{n-1,m-1;1-\frac{\alpha}{2}}\) se rechaza \(H_0\)
Si \(F_{n-1,m-1;\frac{\alpha}{2}}<F_{exp}<F_{n-1,m-1;1-\frac{\alpha}{2}}\) no se rechaza \(H_0\)

\(F_{n-1,m-1;1-\frac{\alpha}{2}}=F_{7,9;0.975}=4.197047\)

\(F_{n-1,m-1;\frac{\alpha}{2}}=F_{7,9;0.025}=0.2073305\)

TABLAS:\(F_{7,9;0.025}=\frac{1}{F_{9,7;0.975}}=\frac{1}{4.83217}=0.2069464\)

qf(0.975,7,9)

## [1] 4.197047

qf(0.025,7,9)

## [1] 0.2073305

qf(0.975,9,7)

## [1] 4.823217

Paso 4. Decisión del contraste y solución al problema

Como \(F_{7,9;0.025}=0.2073305<F_{exp}=0.7074< F_{7,9;0.975}=4.197047\), no se rechaza la \(H_0\)

A tenor de los datos recogidos en la muestra y con un nivel de significación de 0.05, podemos afirmar que no existen diferencias significativas entre la variabilidad de los salarios de ambas empresas.

Contraste 2. Paso 1. Planteamiento del contraste

\(H_{0}: \mu_1=\mu_2=>\mu_1-\mu_2=0\)

\(H_{1}: \mu_1\neq \mu_2=>\mu_1-\mu_2 \neq 0\)

Paso 2. Cálculo del estadístico del contraste.

\(t_{exp}=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-d_0} {S_c\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}}\)

\(S_c=\sqrt{\frac{(n-1)*S^2_{n-1}+(m-1)*S^2_{m-1}}{n+m-2}}\)

X_MEDIA<-127
Y_MEDIA<-109
D0<-0

SC<-sqrt(((N-1)*X_VAR+(M-1)*Y_VAR)/(N+M-2))
(X_MEDIA-Y_MEDIA-D0)/(SC*sqrt(1/N+1/M))

## [1] 13.52247

Paso 3. Regla de decisión

Si \(|t_{exp}| > t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\), se rechaza \(H_{0}\)
Si \(|t_{exp}| \leq t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\), no se rechaza \(H_{0}\)

\(t_{n+m-2,1-\frac{\alpha}{2}}=t_{16,1-\frac{0.05}{2}=0.975}=2.1199\)

qt(0.975,16)

## [1] 2.119905

Paso 4. Decisión del contraste y solución al problema

Como \(|t_{exp}|=18.3898 > t_{16,0.975}=2.1199\), se rechaza \(H_{0}\).

A tenor de los datos recogidos en la muestra y con un nivel de significación del 0.05; podemos concluir afirmando que existen diferencias significativas entre los salarios de ambas empresas.

Ejercicio 5.6.

Datos:

\(X\): pagos semanales 2005

\(Y\): pagos semanales 2004

\(n=25\); \(S_{n-1}=750000\)

\(m=24\); \(S_{m-1}=600000\)

\(1-\alpha=0.95\)

Paso 1. Planteamiento del contraste

\(H_{0}: \sigma^2_1\leq\sigma^2_2=>\frac{\sigma^2_1}{\sigma^2_2}\leq 1\)

\(H_{1}: \sigma^2_1>\sigma^2_2=>\frac{\sigma^2_1}{\sigma^2_2}>1\)

Paso 2. Cálculo del estadístico del contraste

\(F_{exp}=\frac{S^2_{n-1}}{S^2_{m-1}}·\frac{1}{r_0}\)

C_DT1<-750000
C_DT2<-600000
N<-25
M<-24
R0<-1

C_DT1^2/C_DT2^2*1/R0

## [1] 1.5625

Paso 3. Regla de decisión

Si \(F_{exp}>F_{n-1,m-1;1-\alpha}\) se rechaza \(H_0\)
Si \(F_{exp}\leq F_{n-1,m-1;1-\alpha}\) no se rechaza \(H_0\)

\(F_{n-1,m-1;1-\alpha}=F_{24,23;0.95}=2.005\)

qf(0.95,24,23)

## [1] 2.005009

Paso 4. Decisión del contraste y solución al problema

Como \(F_{exp}=1.5625\leq F_{24,23;0.95}=2.005\), no se rechaza la \(H_0\)

A tenor de los datos recogidos en la muestra y con un nivel de significación de 0.05, podemos afirmar que no se rechaza la igualdad de variabilidad entre los pagos semanales de 2005 y 2004.

Ejercicio 5.7.

Datos:

\(n=12\); 3 no prosperan; \(\hat{p}=\frac{9}{12}=0.75\)

9/12

## [1] 0.75

Paso 1. Planteamiento del contraste.

\(H_{0}: p\leq0.8\)

\(H_{1}: p>0.8\)

Paso 2. Cálculo del estadístico del contraste.

\(Z_{exp}=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{\frac{\hat{p}·\hat{q}}{n}}}\)

p0<-0.8
p_est<-9/12
q_est<-1-9/12
n<-12

(p_est-p0)/(sqrt((p_est*q_est)/n))

## [1] -0.4

Paso 3. Regla de decisión

Si \(Z_{exp}>Z_{1-\alpha}\), se rechaza \(H_{0}\)
Si \(Z_{exp}\leq Z_{\alpha}\), no se rechaza \(H_{0}\)

\(Z_{\alpha}=Z_{1-0.05=0.95}=1.65\)

qnorm(0.95)

## [1] 1.644854

Paso 4. Decisión del contraste y solución al problema

Como \(Z_{exp}=-0.4 < Z_{0.95}=1.65\), se rechaza \(H_{0}\).

A tenor de los datos recogidos en la muestra y con un nivel de significación del 0.05; podemos concluir que no podemos rechazar que el porcentaje de plantas sea igual o inferior a 0.8, frente a que sea mayor de 0.8.

Ejercicio 5.8.

Datos:

\(n=518\); 233 favorables; \(\hat{p}=\frac{233}{518}=0.4498\)

233/518

## [1] 0.4498069

Paso 1. Planteamiento del contraste.

\(H_{0}: p\geq0.5\)

\(H_{1}: p<0.5\)

Paso 2. Cálculo del estadístico del contraste.

\(Z_{exp}=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{\frac{\hat{p}·\hat{q}}{n}}}\)

p0<-0.5
p_est<-233/518
q_est<-1-233/518
n<-518

(p_est-p0)/(sqrt((p_est*q_est)/n))

## [1] -2.296349

Paso 3. Regla de decisión

Si \(Z_{exp}<Z_{\alpha}\), se rechaza \(H_{0}\)
Si \(Z_{exp}\geq Z_{\alpha}\), no se rechaza \(H_{0}\)

\(Z_{\alpha}=Z_{0.05}=-1.65\)

qnorm(0.05)

## [1] -1.644854

Paso 4. Decisión del contraste y solución al problema

Como \(Z_{exp}=-2.2963 < Z_{0.95}=-1.65\), se rechaza \(H_{0}\).

A tenor de los datos recogidos en la muestra y con un nivel de significación del 0.05; podemos concluir que menos de la mitad de la población de Estados Unidos piensa que tiene honestidad e integridad de un presidente.

Ejercicio 5.9.

Datos:

\(n=40\); 5 con presencia de níquel; \(\hat{p}=\frac{5}{40}=0.125\)

5/40

## [1] 0.125

Paso 1. Planteamiento del contraste.

\(H_{0}: p\leq0.08\)

\(H_{1}: p>0.08\)

Paso 2. Cálculo del estadístico del contraste.

\(Z_{exp}=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{\frac{\hat{p}·\hat{q}}{n}}}\)

p0<-0.08
p_est<-5/40
q_est<-1-5/40
n<-40

(p_est-p0)/(sqrt((p_est*q_est)/n))

## [1] 0.8605646

Paso 3. Regla de decisión

Si \(Z_{exp}>Z_{1-\alpha}\), se rechaza \(H_{0}\)
Si \(Z_{exp}\leq Z_{1-\alpha}\), no se rechaza \(H_{0}\)

\(Z_{1-\alpha}=Z_{1-0.05=0.95}=1.65\)

qnorm(0.95)

## [1] 1.644854

Paso 4. Decisión del contraste y solución al problema

Como \(Z_{exp}=0.861 < Z_{0.95}=1.65\), no se rechaza \(H_{0}\).

A tenor de los datos recogidos en la muestra y con un nivel de significación del 0.05; podemos creer al proveedor.

Ejercicio 5.10

Datos:

\(n=42\); \(\bar{x}=7.2\); \(S_{n-1}=3.7\)

\(m=47\); \(\bar{y}=4\); \(S_{m-1}=3.9\)

Paso 1. Planteamiento del contraste.

\(H_{0}: \mu_1=\mu_2=>\mu_1-\mu_2=0\)

\(H_{1}: \mu_1\neq \mu_2=>\mu_1-\mu_2 \neq 0\)

Paso 2. Cálculo del estadístico del contraste.

\(Z_{exp}=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-d_0} {\sqrt{\frac{S^2_{n-1}}{n} + \frac{S^2_{m-1}}{m}}}\)

X_MEDIA<-7.2
Y_MEDIA<-4
N<-42
M<-47
C_DT1<-3.7
C_DT2<-3.9
D0<-0

(X_MEDIA-Y_MEDIA-D0)/sqrt(C_DT1^2/N+C_DT2^2/M)

## [1] 3.970427

Paso 3. Regla de decisión

Si \(|Z_{exp}| > Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\), se rechaza \(H_{0}\)
Si \(|Z_{exp}| \leq Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\), no se rechaza \(H_{0}\)

\(Z_{1-\frac{\alpha}{2}}=Z_{1-\frac{0.05}{2}=0.975}=1.96\)

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Paso 4. Decisión del contraste y solución al problema

Como \(|Z_{exp}|=3.97 > Z_{0.95}=1.96\), se rechaza \(H_{0}\).

A tenor de los datos recogidos en la muestra y con un nivel de significación del 0.05; podemos concluir que ambos métodos no son iguales de efectivos.

Ejercicio 5.11

Datos:

\(n=10\); \(x=\{3.5,4,5,5,5,6,6.5,7,9,9.5\}\)

\(m=47\); \(y=\{2,2,3,5,6,7,7,7,8,8\}\)

X<-c(3.5,4,5,5,5,6,6.5,7,9,9.5);length(X)

## [1] 10

Y<-c(2,2,3,5,6,7,7,7,8,8);length(Y)

## [1] 10

Paso 1. Planteamiento del contraste.

\(H_{0}: \mu_1=\mu_2=>\mu_1-\mu_2=0\)

\(H_{1}: \mu_1\neq \mu_2=>\mu_1-\mu_2 \neq 0\)

Paso 2. Cálculo del estadístico del contraste.

\(t_{exp}=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-d_0} {S_c\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}}\)

\(S_c=\sqrt{\frac{(n-1)*S^2_{n-1}+(m-1)*S^2_{m-1}}{n+m-2}}\)

X_MEDIA<-mean(X)
Y_MEDIA<-mean(Y)
N<-length(X)
M<-length(Y)
X_VAR<-var(X)
Y_VAR<-var(Y)
D0<-0

SC<-sqrt(((N-1)*X_VAR+(M-1)*Y_VAR)/(N+M-2))
(X_MEDIA-Y_MEDIA-D0)/(SC*sqrt(1/N+1/M))

## [1] 0.5619108

Paso 3. Regla de decisión

Si \(|t_{exp}| > t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\), se rechaza \(H_{0}\)
Si \(|t_{exp}| \leq t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\), no se rechaza \(H_{0}\)

\(t_{n+m-2,1-\frac{\alpha}{2}}=t_{18,1-\frac{0.05}{2}=0.975}=2.1009\)

qt(0.975,18)

## [1] 2.100922

Paso 4. Decisión del contraste y solución al problema

Como \(|t_{exp}|=0.5619 < t_{9,0.975}=2.1009\), no se rechaza \(H_{0}\).

A tenor de los datos recogidos en la muestra y con un nivel de significación del 0.05; podemos concluir que es indiferente el grupo en el que se matricule el alumno.

Relación de problemas Tema 5. Contraste de Hipótesis

Pablo J. Moya Fernández

21/4/2021

Ejercicio 5.2.

Ejercicio 5.6.

Ejercicio 5.7.

Ejercicio 5.8.

Ejercicio 5.9.

Ejercicio 5.10

Ejercicio 5.11