1 Muestreo

1.1 Estimación de la media poblacional

\[(\overline{x} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N}}, \overline{x} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N}}\]

Ejercicio 1. En un estudio médico sobre el consumo de tabaco, por la población adulta, en una ciudad de un millón de habitantes adultos, se consultó a 120 personas Los resultados de la investigación mostraron un consumo promedio diario de 3.8 cigarrillos, por persona, con una desviación estándar de 1.1.

Determinar el intervalo al 97% para el número promedio de cigarrillos que se consumen
¿A cuántos individuos ha de consultarse para que la estimación del número medio de cigarrillos quede a menos de 0.3 del valor verdadero?, si se considera un nivel de confianza del 95%.

Solución

Identificar los valores de: \(N,\overline{x},s,n\) y guardar en la variables x_barra, sigma, n respectivamente.

x_barra = 3.8
s = 1.1
n = 120
N = 1000000

Calcular el valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) y guardar en la variable z_alfa_2

alfa = 1 - 0.97
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))

Definir el Error y guardar en la variable E

E = z_alfa_2*(s/sqrt(n))*sqrt((N-n)/N)

Calcular los limites superiores e inferiores del intervalo de confianza y guardar en LSC y LIC respectivamente

LSC = x_barra + E
LIC = x_barra - E

Visulizar los resultados

LSC

## [1] 4.017898

LIC

## [1] 3.582102

1.1.1 Tamaño de muestra

\[n = \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}Ns^{2}}{NE^{2} + z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}s^{2}}\]

Ejemplo.

¿A cuántos individuos ha de consultarse para que la estimación del número medio de cigarrillos quede a menos de 0.3 del valor verdadero?, si se considera un nivel de confianza del 95%.

Solución

Indentificar E, sigma

s = 1.1
N = 1000000
alfa = 1 - 0.95
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))
E = 0.3

Calcular el tamaño de muestra

n =  round(z_alfa_2^2*N*s^2/(N*E^2 + z_alfa_2^2*s^2))
n

## [1] 52

1.2 Estimación de la media si la varianza es desconocida

\[(\overline{x} - t_{\frac{\alpha}{2}, n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\frac{\alpha}{2},n-1}\frac{s}{\sqrt{n}})\]

Ejemplo. La cotización diaria de una moneda frente al dólar sigue una distribución normal de media y varianza desconocidas. Se eligieron 9 días al azar, la cotización fue:

\[\begin{array} {r} 65.3 & 66.2 & 65.8 & 66.0 & 66.1 & 64.5 & 65.2 & 67.1 & 64.2 \end{array}\]

Determine un intervalo de confianza, al 99%, para la cotización media de la citada moneda;

Crear la variable con los datos

var = c(65.3,66.2,65.8,66.0,66.1,64.5,65.2,67.1,64.2)

Identificar los datos y calcular los estatisticos: media, desviación estandar y n con las funciones mean, sd y length respectivamente

x_barra = mean(var)
s = sd(var)
n = length(var)

Calcular el valor de \(t_{\frac{\alpha}{2}, n-1}\) y guardar en la variable t_alfa_2

alfa = 1 - 0.99
alfa_2 = alfa/2
t_alfa_2 = abs(qt(alfa/2, n - 1))
t_alfa_2

## [1] 3.355387

Definir el Error y guardar en la variable E

E = t_alfa_2*s/sqrt(n)

Calcular los limites superiores e inferiores del intervalo de confianza y guardar en LSC y LIC respectivamente

LSC = x_barra + E
LIC = x_barra - E

Visulizar los resultados

LSC

## [1] 66.60662

LIC

## [1] 64.59338

Ejercicio. Se desea estimar el tiempo medio de ejecución de un programa. Para ello se ejecutó dicho programa 8 veces utilizando conjuntos de datos elegidos aleatoriamente, obteniéndose que la media muestral y la desviación estándar muestral son, respectivamente, 230 ms y 14 ms. Obtenga un intervalo de confianza al 90% para la media (suponga normalidad) e interprételo.

Ejercicio. En una oficina se desea conocer el gasto semanal en fotocopias, para ello se eligió una muestra de las facturas por ese rubro en 9 semanas del último semestre, resultando los gastos:

\[\begin{array} {r} 208 & 251 & 196 & 77 & 112 & 216 & 304 & 88 & 72 \end{array}\]

Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida. Determine el intervalo de confianza del 95% para la media del gasto semanal en fotocopias e interprete dichos valores.

1.3 Estimación de la proporción poblacional

\[(\hat{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}})\]

Ejemplo. Con el objeto de estimar la proporción de televidentes que han visto el anuncio de un producto, se entrevistó a 400 telespectadores y resultó que 344 de ellos lo habían visto.

Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de todos los espectadores que han visto la publicidad del producto;

Identificar los valores de: \(\hat{p},n\) y guardar en la variables hat_p, n respectivamente.

hat_p = 344/400
n = 400

Calcular el valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) y guardar en la variable z_alfa_2

alfa = 1 - 0.90
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))

Definir el Error y guardar en la variable E

E = z_alfa_2*sqrt(hat_p*(1-hat_p)/n)

Calcular los limites superiores e inferiores del intervalo de confianza y guardar en LSC y LIC respectivamente

LSC = hat_p + E
LIC = hat_p - E

Visulizar los resultados

LSC

## [1] 0.8885371

LIC

## [1] 0.8314629

1.3.1 Tamaño de muestra

\[n = z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{E^{2}}\]

Obtenga el tamaño de muestra indispensable para que el intervalo del inciso a) tenga una longitud máxima de 6% con la misma confianza.

Solución

Identificar los valores de: \(\hat{p},E\) y guardar en la variables hat_p, E respectivamente.

hat_p = 344/400
E = 0.03
alfa = 1 - 0.90
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))

Calcular el tamaño de muestra

n =  round((z_alfa_2^2*hat_p*(1-hat_p)/E^2))
n

## [1] 362