Datos

Los datos del archivo Wisconsin18.RData proceden de un estudio sobre diagnóstico del cáncer de mama por imagen. Mediante una punción con aguja fina se extrae una muestra del tejido sospechoso de la paciente. La muestra se tiñe para resaltar los núcleos de las células y se determinan los límites exactos de los núcleos. Las variables consideradas corresponden a los valores medios de distintos aspectos de la forma de los núcleos de cada muestra.

Tinción de los núcelos celulares

El fichero contiene un data.frame, llamado Wisconsin cuyas variables son:

• Las 10 variables explicativas medidas en pacientes cuyos tumores fueron diagnosticados posteriormente.

• La variable tipo que contiene el tipo de tumor (benigno o maligno).

Los datos son de acceso libre y fueron obtenidos de la universidad UCI (http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Breast+Cancer+Wisconsin+%28Diagnostic%29 ), y son llamados “Wisconsin”, los datos consisten en:

Attribute Information:

1. ID number
2. Diagnosis (M = malignant, B = benign) 3-32)

Ten real-valued features are computed for each cell nucleus:

1. radius (mean of distances from center to points on the perimeter)
2. texture (standard deviation of gray-scale values)
3. perimeter
4. area
5. smoothness (local variation in radius lengths)
6. compactness (perimeter^2 / area - 1.0)
7. concavity (severity of concave portions of the contour)
8. concave points (number of concave portions of the contour)
9. symmetry
10. fractal dimension (“coastline approximation” - 1)

Importar datos

setwd("~/EA9")
library(pacman)
p_load("MASS", "class", "prettydoc")
load(url("http://verso.mat.uam.es/~joser.berrendero/datos/Wisconsin18.RData"))
head(Wisconsin)

##   radius texture perimeter  area smoothness compactness concavity concavepoints
## 1 13.540   14.36     87.46 566.3    0.09779     0.08129   0.06664      0.047810
## 2 13.080   15.71     85.63 520.0    0.10750     0.12700   0.04568      0.031100
## 3  9.504   12.44     60.34 273.9    0.10240     0.06492   0.02956      0.020760
## 4 13.030   18.42     82.61 523.8    0.08983     0.03766   0.02562      0.029230
## 5  8.196   16.84     51.71 201.9    0.08600     0.05943   0.01588      0.005917
## 6 12.050   14.63     78.04 449.3    0.10310     0.09092   0.06592      0.027490
##   symmetry fractal    tipo
## 1   0.1885 0.05766 benigno
## 2   0.1967 0.06811 benigno
## 3   0.1815 0.06905 benigno
## 4   0.1467 0.05863 benigno
## 5   0.1769 0.06503 benigno
## 6   0.1675 0.06043 benigno

¿Cuántos diagnósticos benignos y malignos tenemos?

table(Wisconsin$tipo)

## 
## benigno maligno 
##     357     212

Ahora, la forma en que se relacionan las variables por medio de una matriz de diagramas de dispersión

pairs(Wisconsin[,-11], col=Wisconsin$tipo)

Diagrama de estrellas

stars(Wisconsin[-11], col.stars=Wisconsin$tipo, labels=NULL)

Se dispone en total de 569 imágenes, de las cuáles 357 corresponden a tumores benignos y 212 a malignos. Vemos que algunas variables están estrechamente relacionadas (por ejemplo, el radio, el perímetro y el área). También se observa que en términos generales, los tumores malignos corresponden a valores más altos de las variables.

Regla de clasificación lineal de Fisher

El comando básico es lda del paquete MASS. Tiene tres argumentos principales:

• la expresión que determina la variable que queremos predecir (el tipo de tumor) y qué variables vamos a utilizar,

• el data frame que contiene los datos,

• el vector de probabilidades a priori de cada clase (por defecto, son las frecuencias relativas del vector que contiene las clases). Nosotros vamos a fijar probabilidades a priori iguales.

resultado.lda <-lda(tipo ~ ., data=Wisconsin, prior = c(0.5,0.5) )

El objeto resultado.lda es una lista con todos los resultados del análisis. Veamos sus elementos más importantes. El vector resultado.lda$means contiene los vectores de medias x¯0 y x¯1 correspondientes a cada grupo:

resultado.lda$means

##           radius  texture perimeter     area smoothness compactness  concavity
## benigno 12.14652 17.91476  78.07541 462.7902 0.09247765  0.08008462 0.04605762
## maligno 17.46283 21.60491 115.36538 978.3764 0.10289849  0.14518778 0.16077472
##         concavepoints symmetry    fractal
## benigno    0.02571741 0.174186 0.06286739
## maligno    0.08799000 0.192909 0.06268009

Como habíamos observado en las representaciones gráficas, los valores medios del grupo de tumores malignos son superiores a los del grupo de benignos. El vector resultado.lda$scaling contiene los coeficientes de la función discriminante lineal de Fisher:

resultado.lda$scaling

##                        LD1
## radius         2.173832578
## texture        0.097479319
## perimeter     -0.243883158
## area          -0.004235635
## smoothness     8.610211091
## compactness    0.431476344
## concavity      3.592356858
## concavepoints 28.529778564
## symmetry       4.489073661
## fractal       -0.529214778

teoría: Análisis Discriminante Lineal (ADL, o LDA por sus siglas en inglés) es una generalización del discriminante lineal de Fisher, un método utilizado en estadística, reconocimiento de patrones y aprendizaje de máquinas para encontrar una combinación lineal de rasgos que caracterizan o separan dos o más clases de objetos o eventos. La combinación resultante puede ser utilizada como un clasificador lineal, o, más comúnmente, para la reducción de dimensiones antes de la posterior clasificación.

Representando los datos de escalamiento de forma gráfica

barplot(as.vector(resultado.lda$scaling), names.arg = names(Wisconsin[-11]))

Si llamamos w al vector anterior, clasificamos una observación x en el grupo 1 siempre que

\[ w^\top \left(x-\frac{\bar{x}_0 + \bar{x}_1}{2}\right) > 0, \]

y en el grupo 0 en caso contrario. El valor del término de la izquierda de la desigualdad es la puntuación discriminante de x. Al aplicar plot a resultado.lda obtenemos histogramas de las puntuaciones discriminantes estandarizadas de las observaciones de cada grupo:

plot(resultado.lda)

Vemos que, efectivamente, las puntuaciones en el grupo 0 tienden a ser negativas y en el grupo 1 tienden a ser positivas. Sin embargo, hay una zona de solapamiento de las puntuaciones discriminantes que llevará a un cierto porcentaje de errores de clasificación. Con el fin de calcular la tasa de error aparente, usamos el comando predict para clasificar los datos de la muestra y luego contamos la proporción de veces que nos hemos equivocado:

n <- resultado.lda$N
tipo.prediccion <- predict(resultado.lda)$class
1 - sum(tipo.prediccion == Wisconsin$tipo)/n

## [1] 0.05975395

Esto significa que nos hemos equivocado para aproximadamente un 5.97 % de las observaciones. Para calcular la tasa de error por validación cruzada, seleccionamos CV=TRUE en el comando lda, de la siguiente forma:

tipo.prediccion.cv <-lda(tipo ~ ., data=Wisconsin, prior = c(0.5,0.5), CV =TRUE )$class
1 - sum(tipo.prediccion.cv == Wisconsin$tipo)/n

## [1] 0.06326889

Si queremos clasificar nuevos vectores de observaciones, tenemos que crear previamente un data frame que los contenga y luego usar de nuevo el comando predict. El siguiente código genera aleatoriamente dos vectores de observaciones y los clasifica. También permite obtener las dos puntuaciones discriminantes correspondientes:

x1 <- rnorm(10)
x2 <- rnorm(10)
nuevas.obs <- data.frame(rbind(x1,x2))
names(nuevas.obs)<- names(Wisconsin[1:10])
nuevas.obs

##        radius    texture  perimeter         area smoothness compactness
## x1  0.3920805 -1.5793984 -1.2833030 -0.804998211 -1.9427487  -1.8186171
## x2 -0.8592033  0.4712708  0.1499024  0.008094479  0.4078138   0.5793592
##     concavity concavepoints  symmetry    fractal
## x1 -2.4957826     1.0066637 0.0873933  0.6089448
## x2  0.6317878    -0.4032384 2.3726770 -2.2320883

• Resultado de la clasificación

predict(resultado.lda,nuevas.obs)$class

## [1] benigno benigno
## Levels: benigno maligno

• Puntuaciones discriminantes

predict(resultado.lda,nuevas.obs)$x

##          LD1
## x1 -7.815666
## x2 -6.641840

Ejercicios

1. Repite los cálculos utilizando únicamente las variables smoothness y concavepoints.

ejercicioWisconsin <- dplyr::select(Wisconsin,smoothness,concavepoints, tipo)

pairs(ejercicioWisconsin[-3], col=Wisconsin$tipo)

res.lda <- lda(tipo ~ ., data=ejercicioWisconsin, prior = c(0.5,0.5))

res.lda$means

##         smoothness concavepoints
## benigno 0.09247765    0.02571741
## maligno 0.10289849    0.08799000

res.lda$scaling

##                     LD1
## smoothness    -15.01049
## concavepoints  44.01965

barplot(as.vector(res.lda$scaling), names.arg = names(ejercicioWisconsin[-3]))

n <- res.lda$N
tipo.prediccion <- predict(res.lda)$class
1 - sum(tipo.prediccion == ejercicioWisconsin$tipo)/n

## [1] 0.08787346

x1 <- rnorm(2)
x2 <- rnorm(2)

nuevas.obs <- data.frame(rbind(x1,x2))
names(nuevas.obs) <- names(ejercicioWisconsin[-3])

nuevas.obs

##    smoothness concavepoints
## x1 -0.2001723    -1.0303449
## x2  1.4792018    -0.6265903

predict(res.lda,nuevas.obs)$class

## [1] benigno benigno
## Levels: benigno maligno

predict(res.lda,nuevas.obs)$x

##          LD1
## x1 -43.38707
## x2 -50.82217