Capitulo 3 - Pregunta 1

Suponga que X es una variable aleatoria binomial con n = 200 y p = 0.4. a) Aproxime la probabilidad de que X sea menor o igual a 70. b) Aproxime la probabilidad de que X sea mayor que 70 y menor que 90. Coloque los comandos en R para cada caso.

Solucion

Datos:

n = 200

p = 0.4

a)Aproxime la probabilidad de que X sea menor o igual que 70, P(X =< 70)

Sea:

X es una variable aleatoria binomial con p = 0.40 , n = 200 y X =< 70.

Esta probabilidad es dificil de calcular. Para ello utilizaremos la distribucion normal para proporcionar una aproximacion.

Existe una condicion para aproximar las probabilidades binomiales a distribuciones normales. Para ello utilizaremos la siguiente regla empirica:

np > 5

n(1 - p) > 5

De los datos:

np = 80

n(1-p) = 120

Por lo tanto utilizaremos la aproximacion de distribucion normal. Ademas utilizaremos el factor de correcion 0.5 para aumentar la probabilidad.

P(X =< x) = P(X =< x + 0.5) = P(Z =< ((x+0.5-np)/(np(1-p))^(0.5))

u = np = 80

sd = (np(1-p))^0.5 = 6.9282

Z=(x+0.5-np)/(np(1-p))^0.5

P(X =< 70)

Z=(70+0.5-80)/(80*0.6)^0.5

Z= -1.371206889

P(Z =< -1.371206889)

pnorm(x,u,sd)

x = 70+0.5

u = 80

sd = 6.9282

pnorm(70.5,80,6.9282)
## [1] 0.08515514

Respuesta: P(X =< 70) = 0.08515514

b) Aproxime la probabilidad de que X sea mayor que 70 y menor que 90. P(70 < X < 90)

Sea:

X una variable aleatoria binomial con p = 0.40 , n = 200 y 70 < X < 90.

Utilizaremos la misma aproximacion, que en la seccion anterior, utilizando el factor de correcion de 0.5.

P(70 < X < 90)

Z=(x+0.5-np)/(np(1-p))^0.5

Para: x = 70

Z=(70+0.5-80)/(80(0.6))^0.5

Z = -1.371206889

Para: x = 90

Z=(90+0.5-80)/(80(0.6))^0.5

Z = 1.515544457

Entonces:

P(70 < X < 90) = P(-1.371206889 < Z < 1.515544457)

Con:

u = np = 80

sd = (np(1-p))^0.5 = 6.9282

70 + 0.5 < X < 90 + 0.5

pnorm(x,u,sd)

pnorm(90.5,80,6.9282) - pnorm(70.5,80,6.9282)
## [1] 0.8500277

Respuesta: P( 70 < X < 90 ) = 0.8500277

Realizamos el grafico de la distribucion binomial aproximada a una distribucion normal

Especificando los parametros de la distribucion normal:

Para: P(X =< 70)

u<-80

varianza <- 48

sd <- varianza^0.5

curve(dnorm(x,u,sd),1,150,n=200)

x<- seq(0,70,0.01)

y<-dnorm(x,u,sd)

polygon(c(0,x,70),c(0,y,0), col = "blue")

Para: P(70 < X < 90)

u<-80

varianza <- 48

sd <- varianza^0.5

curve(dnorm(x,u,sd),1,150,n=200)

x<- seq(70,90,0.01)

y<-dnorm(x,u,sd)

polygon(c(70,x,90),c(0,y,0), col = "blue")