T test_visualizando la hipótesis nula

Si tenemos dos poblaciones con el mismo μ y con σ similares

mu1= 35.5; sigma1= 4.5    # Parámetros de N1
mu2= mu1; sigma2= 6.5    # Parámetros de N2

Y sacáramos muestras al azar de esas poblaciones

n1= 100
ns1= 10000                  # Simulando 10,000 muestras
mean1 <- numeric(ns1)     # Vector de medias de cada muestra
sd1 <- numeric(ns1)       # Vector para las de de c/muestra
#############################################################  
n2= 100
ns2= 10000                     # Simulando 10,000 muestras
sd2 <- numeric(ns2)       # Vector para las de de c/muestra
ee2 <- numeric(ns2)       # Vector para los errores típicos
### Simulando los muestreos aleatorios ############

for (i in 1:ns1) {
  x1 <- rnorm(n=n1, mean=mu1, sd= sigma1)  # muestra aleatoria de tamaño (n)
  mean1[i] <- mean(x1)
  sd1[i] <- sd(x1)
  }  
##################  
set.seed(1436)
for (i in 1:ns2) {
  x2 <- rnorm(n=n2, mean=mu2, sd= sigma2)  # muestra aleatoria de tamaño (n)
  mean2[i] <- mean(x2)
  sd2[i] <- sd(x2)
  ee2[i] <- sd(x2)/sqrt(n2)
    }

Aquí solo vemos los primeros seis pares de muestras de las 10,000

Vemos las 20,000 muestras (10mil de cada población, una en morado y otra en negro)

Vemos en el histograma de los 10,000 valores de t, que el 95% de todos los valores de t calculados (entre los límites de color verde), están entre:

quantile(a$t, prob=c(0.025, 0.975))

     2.5%     97.5% 
-1.970987  1.939622 

Estos son aproximádamente los límites de confianza que corresponden a la distribución teórica de t (en color rojo en el histograma)

qt(p=c(0.025, 0.975), df= (n1-1)+ (n2-1))

[1] -1.972017  1.972017

Podemos revisar el concepto de error estándar

La desv.estd de los promedios de las muestras (en este caso del grupo 2) es, aproximádamente el error estándar calculado a partir de una muestra aleatoria.

sd(a$mean2)

[1] 0.6486907

mean(a$ee2)    # error estándar (promedio de las 10,000)

[1] 0.6490108

Cuando existe evidencia para rechazar la Ho

Si ahora comparamos dos muestras. Una una salida de la N1, y otra, salida de otra población (N3). En esta ocasión no sabemos si N3 tiene una media poblacional similar a la N1.

n1

n1= 100
prom1 = 35.63
sd1 = 3.63
ee1 = 0.57

n3

n3 = 80
prom3 = 36.9586659
sd3 = 4.5218467
ee3 = 0.5055578

##### t test
t

[1] -2.134812

Entonces vemos cuál es la probabilidad de que este valor de t haya salido de un par de muestras sacadas de una misma población. Primero veamos las dos muestras en un gráfico de dispersión.

Evidentemente, el valor de t= -2.135, en rojo, nos muestra que la probabilidad de que n3 salió de N1, es P<0.05