1 Objetivo

Determinar probabilidad mediante operaciones de union intersección y complemento

2 Descripción

Determinar probabilidad mediante operaciones de union intersección y complemento con datos simulados.

En el marco de referencia se presentan tanto ejercicios simulados como ejercicios extraídos a partir de la literatura o bibliografía señalada de probabilidad.

En algunos ejercicios presentados, se determina la probabilidad a partir de los puntos muestrales en relación al espacio muestral, en otros casos ya se da la probalidad de los eventos o conjutos.

3 Fundamento teórico

En la teoría de probabilidad mediante conjuntos se puede hablar de eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes.

Eventos mutuamente excluyentos tiene que ver con conjuntos que no tienen datos en común y por el contrario eventos que no son excluyentes se trata de conjuntos que tienen datos en común.

Ejemplo: se generan conjuntos de datos de los números del uno al treinta.

  • \(S\) como espacio muestral de todos los números enteros del uno al treinta;

  • pares los números pares del dos al treinta generados con la función seq().

  • nones los números nones del uno al treinta generados con la función seq().

  • primos los números primos entre uno y treinta

S <- 1:30 # 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
pares <- seq(2,30,2)
nones <- seq(1,30,2)
primos <- c(1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29)

S
##  [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
## [26] 26 27 28 29 30
pares
##  [1]  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
nones
##  [1]  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
primos
##  [1]  1  2  3  5  7 11 13 17 19 23 29

Los eventos o conjuntos pares y nones son mutuamente excluyente, es decir no hay elementos en común y el conjunto de primos tiene elementos comunes tanto con pares como con el conjunto de nones.

3.1 Regla aditiva para unión de eventos

Se conoce la probabilidad de un evento o de un conjunto P(A)P(A) y se conoce la probabilidad de otro evento P(B)P(B) entonces para eventos o conjuntos que no son mutuamente excluyentes, es decir que tienen elementos en comun se usaría:

\[ P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) \]

Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, entonces

\[ P(A∪B)=P(A)+P(B) \]

Con los datos de los conjuntos de pares, nnes y primos, si se elige un número al azar del espacio muestral \(S\),

  • ¿cuál es la probabilidad de elegir a un número par?
prob.par <- length(pares) / length(S)

prob.par 
## [1] 0.5
  • ¿cuál es la probabilidad de elegir a un número non o impar?,
prob.non <- length(nones) / length(S)

prob.non
## [1] 0.5
  • ¿cuál es la probabilidad de elegir a un número primo?
prob.primo <- length(primos) / length(S)

prob.primo
## [1] 0.3666667

Con lo anterior, ya se tienen las probabilidades de elegir algún número de cualquiera de los conjuntos pares, nones o primos.

En R existen funciones para realizar operaciones de conjuntos de unión, intersección y direrencia entre otros, con los cuales se puede encontrar el número de puntos muestrales y con ello determinar probabilidades.

  • union()

  • intersect()

  • setdiff()

3.1.1 union() ∪

La unión de dos eventos o la unión de dos conjuntos \(A∪B\) implica unir o juntar los elementos que están en un conjunto con los elementos del otro conjunto. Para encontrar la probabilidad de una unión se interpreta como todos los elementos que están en un conjunto o que están en el otro conjunto en relación a todo el espacio muestral.

Determinando la probabilidad conforme \(P(A∪B)=P(A)+P(B)\)

A lo largo del caso se utiliza la expresion probprob o la literal PP para identificar que se trata de probabilidad.

3.1.1.1 pares ∪ nones

\[ prob(pares∪nones)=prob(pares)+prob(nones) \]

3.1.1.2 Probabilidad de pares ∪ nones

Siendo conjuntos mutuamente excluyentes se determina la probabilidad de la unión conforme a la fórmula:

\(P(A∪B)=P(A)+P(B)\)

Se determina la probabilidad sumando las probabilidades de cada conjunto previamente generadas.

prob.parUnon = round((prob.par + prob.non) * 100, 2)
paste("La probabilidad de P(pares U nones) es de: ", prob.parUnon, "%")
## [1] "La probabilidad de P(pares U nones) es de:  100 %"

3.1.1.3 Demostración con función union()

Para demostrar la fórmula, se utiliza la función union() que hace la unión de conjuntos. Si existen elementos que se repiten en uno y otro conjunto, solo se toma en cuenta uno de ellos, el del primer conjunto.

Se determina la probabilidad mediante identificando cuántos puntos muestrales o elementos hay en el conjunto resultante y dividir entre el total de elementos del espacio muestral. \(n/N\)

union (pares, nones)
##  [1]  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19
## [26] 21 23 25 27 29
n <- length(union (pares, nones))
N <- length(S)

prob <- round(n/N * 100, 2)

paste("La probabilidad de P(pares U nones) es de: ", prob, "%")
## [1] "La probabilidad de P(pares U nones) es de:  100 %"

3.1.1.4 Probabilidad de pares ∪ primos

Para este ejemplo, los conjuntos no son mutuamente excluyentes, es decir si hay elementos en común, entonces la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de elegir a un elemento que sea par o que sea primo?

\[ P(pares∪primos)=P(pares)+P(primo)−P(pares∩primos) \]

Conforme la anterior fórmula se requiere la probabilidad de pares 0.5 ++ probabilidad de primos 0.3666667 −− probabilidad de pares Y primos 0.0333333

Como son eventos que no son mutuamente excluyentes es necesario determinar la intersección entre ambos conjuntos.

prob.parYprimo <- length(intersect(pares, primos)) / N
prob.parUprimo <- prob.par + prob.primo - prob.parYprimo
paste ("La probabilidad de elegir a un elemento que sea par o que sea primo es de:", prob.parUprimo)
## [1] "La probabilidad de elegir a un elemento que sea par o que sea primo es de: 0.833333333333333"

3.1.1.5 Demostración con función union()

Debe generarse el mismo resultado que conforme a la fórmula.

n <- length(union(pares, primos))

prob <- round(n/N * 100, 2) 

paste ("La probabilidad de elegir a un elemento que sea par o que sea primo es de:", prob)
## [1] "La probabilidad de elegir a un elemento que sea par o que sea primo es de: 83.33"

3.1.2 intersect() ∩

Esta operación de intersección significa identificar los puntos muestrales o los elementos que están en un conjunto y que también están en otro conjunto. La intersección permite encontrar la probabilidad conjunta, esta mide la posibilidad de que dos o más eventos sucedan simultáneamente (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

3.1.2.1 pares ∩ nones

No existen elementos que sean pares y que también sean nones, por lo que la probabilidad conjunta es cero.

intersect(pares, nones)
## numeric(0)
n <- length(intersect(pares, nones))
N <- length(S)

prob <- round(n/N * 100, 2)

paste("La probabilidad de P(pares ∩ nones) es de: ", prob, "%")
## [1] "La probabilidad de P(pares n nones) es de:  0 %"

Entonces:

\[ P(pares∪nones)=P(pares)+P(nones)−P(pares∩nones) \]

Con los valores:

\[ P(pares∪nones)=0.50+0.50−0=1 \]

Se genera el mismo resultado que \(P(paresUnones)=P(pares)+P(nones)\)

prob.parYnon <- length(intersect(pares, nones) * 100)

(prob.par + prob.non - prob.parYnon) * 100
## [1] 100

3.1.2.2 pares y primos. pares ∩ primos

¿cuál es la probabilidad de elegir a un número que sea par y que sea primo al mismo tiempo?, es decir, ¿cuál es la probabilidad conjunta entre pares y primos?

intersect(pares, primos)
## [1] 2
n <- length(intersect(pares, primos))
N <- length(S)

prob <- round(n/N * 100, 2)

paste("La probabilidad de P(pares ∩ primos) es de: ", prob, "%")
## [1] "La probabilidad de P(pares n primos) es de:  3.33 %"

3.1.2.3 nones y primos. nones ∩ primos

¿cuál es la probabilidad de elegir a un número que sea non y que sea primo al mismo tiempo?, es decir, ¿cuál es la probabilidad conjunta entre nones y primos?

intersect(nones, primos)
##  [1]  1  3  5  7 11 13 17 19 23 29
n <- length(intersect(nones, primos))
N <- length(S)

prob <- round(n/N * 100, 2)

paste("La probabilidad de P(nones ∩ primos) es de: ", prob, "%")
## [1] "La probabilidad de P(nones n primos) es de:  33.33 %"

3.1.3 Diferencia setdiff() -

La diferencia de conjunto implica identificar los elementos que están en un conjunto pero que no están en otro. Se utiliza la función setdiff() para encontrar la diferencia.

Ejemplos:

3.1.3.1 pares - primos

¿Cuáles son los números pares que no son primos? y ¿Cuál es su probabilidad?

pares
##  [1]  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
primos
##  [1]  1  2  3  5  7 11 13 17 19 23 29
setdiff(pares, primos)
##  [1]  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
n <- length(setdiff(pares, primos))
prob <- n/ N 
paste("La probabilida de que sea número par y no sea número primo es de: ", round(prob * 100, 2))
## [1] "La probabilida de que sea número par y no sea número primo es de:  46.67"

3.1.3.2 nones- primos

¿Cuáles son los números nones que no son primos? y ¿Cuál es su probabilidad?

nones
##  [1]  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
primos
##  [1]  1  2  3  5  7 11 13 17 19 23 29
setdiff(nones, primos)
## [1]  9 15 21 25 27
n <- length(setdiff(nones, primos))
prob <- n/ N 
paste("La probabilida de que sea número non y no sea número primo es de: ", round(prob * 100, 2))
## [1] "La probabilida de que sea número non y no sea número primo es de:  16.67"

3.2 Diagrama de Venn

3.2.1 Instalar librería

Se debe instalar la librería install.packages(“eulerr”)

library(eulerr)
## Warning: package 'eulerr' was built under R version 4.0.5

3.2.2 Datos de los conjuntos

Construyendo el diagrama de Venn a partir de la cantidad de elementos de cada conjunto de pares, nones y primos.

3.2.2.1 Union de pares o nones. pares ∪ nones

datos.diagrama <- c(paresUnones=length(union(pares,nones)))

venn <- euler(datos.diagrama)
plot(venn,  quantities = TRUE)

3.2.2.2 Union de pares o primos. pares ∪ primos

datos.diagrama <- c(paresUprimos=length(union(pares,primos)))

venn <- euler(datos.diagrama)
plot(venn,  quantities = TRUE)

3.2.2.3 Intersección de pares y nones. pares ∩ nones

datos.diagrama <- c(pares=length(pares),
          nones=length(nones),
          "pares&nones"=length(intersect(pares, nones)))

venn <- euler(datos.diagrama)
plot(venn,  quantities = TRUE)

3.2.2.4 Intersección pares y primos. pares ∩ primos

datos.diagrama <- c(pares=length(pares),
          primos=length(primos),
          "pares&primos"=length(intersect(pares, primos)))

venn <- euler(datos.diagrama)
plot(venn,  quantities = TRUE)

3.2.2.5 Intersección nones y primos. nones ∩ primos

datos.diagrama <- c(nones=length(nones),
          primos=length(primos),
          "nones&primos"=length(intersect(nones, primos)))

venn <- euler(datos.diagrama)
plot(venn,  quantities = TRUE)

3.2.3 Diferencia setdiff()

3.3 Varios eventos o conjuntos

Por otra parte, cuando se tienen eventos o conjuntos mutuamente excluyentes tal vez más de dos conjuntos, la suma de sus probabilidades es la probabilidad de la unión de los mismos.

\[ P(A1∪A2∪A3...∪An)=P(A)+P(A2)+P(A3)+...P(An) \]

Y si NO son eventos mutuamente excluyentes por ejemplo para tes eventos:

\[ P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C) \]

3.4 Complemento

A menudo es más difícil calcular la probabilidad de que ocurra un evento que calcular la probabilidad de que el evento no ocurra. Si éste es el caso para algún evento A,

simplemente se calcula primero \(P(A′)\) y, después, mediante se calcula la \(P(A)\) por sustracción.

\(P(A′)\) Es la probabilidad del complemento de A

\(P(A)\) Es la probabilidad del conjunto A

Se entiende que el complemento de un conjunto \(A′\) es mutuamente excluyente del conjunto origen \((A)\),

Entonces : La probabilidad de la unión de un conjunto y su complemento es la probabilidad de todo el espacio muestral es decir el 100%.

\[ P(A∪A′)=P(A)+P(A′)=P(S)=1 \]Ejemplo:

Se tienen los valores probabilísticos del trabajo de un mecánico automotriz: las probabilidades de que un mecánico automotriz dé servicio a \(3,4,5,6,7,8\) o más vehículos en un día de trabajo dado son \(0.12,0.19,0.28,0.24,0.10\) y \(0.07\) respectivamente. (Walpole, Myers, and Myers 2012a).

¿cuál es la probabilidad de que dé servicio al menos a 5 vehículos el siguiente día de trabajo?

autos prob acumulada
3 0.12 0.12
4 0.19 0.31
5 0.28 0.59
6 0.24 0.83
7 0.10 0.93
8 o mas 0.07 1.00

Como son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de un evento en específico, es su probabilidad indicada, la probabilidad de varios eventos es la suma de probabilidades (la acumulada) y la probabilidad de al menos ciertos eventos es el complemento con respecto a la probabilidad acumulada.

  • La probabilidad de que el mecánico de servicio a tres autos es de \(0.12\).

  • La probabilidad de que el mecánico de servicio a tres o cuatro autos es decir, de tres a cuatro \(0.12+0.19=0.31\)

  • La probabilidad de que el mecánico de servicio de tres a seis autos es de \(0.12+0.19+0.28+0.24=0.83\)

y a la pregunta inicial

  • ¿cuál es la probabilidad de que dé servicio al menos a 5 vehículos el siguiente día de trabajo?

Si la probabilidad de hasta cuatro autos es de: \(0.31\), entonces al menos cinco autos significa que es a partir de cinco, es decir el complemento de hasta cuatro.

Despejando para encontrar \(P(A′)\)

\[ 1−P(A)=P(A′) \]

Y finalmente:

\[ 1−P(hasta cuatro)=P(al menos cinco)1−0.31=0.69 \]

La probabilidad es de que al menos sean cinco autos los atendidos es de 0.690.69 Entonces:

P.hastacuatro <- 0.31
Palmenoscinco <- 1 - P.hastacuatro
paste ("La probabildia de que sean atendidos al menos cinco autos es de: ", Palmenoscinco)
## [1] "La probabildia de que sean atendidos al menos cinco autos es de:  0.69"

4 Desarrollo

Se presentan algunos ejercicios de probabilidad y se demuestran con las funciones de union(), intersect() setdfiff()

4.1 Probabilidades con barajas inglesas

De un mazo de 52 cartas inglesas se simulan probabilidades usando funciones union() e intersect()

4.1.1 Probabilidades y valores iniciales

->La variable S.baraja contiene todo el espacio muestral de la baraja inglesa a partir de los cuatro conjuntos de figuras que sería corazones, tréboles, picas y diamantes.

->La variable \(N\) es la cantidad de elementos del espacio muestral, o sea 52 cartas.

->Las variables reyes y ases es para identificar que existen cuatro reyes o cuatro ases en la baraja de 52 cartas y para propósito de responder a la pregunta.

->La variable \(n.numero\) contiene la cantidad de barajas de agún número o denominación, por ejemplo: 4 reyes, cuatro ases, cuatro barajas con denominción de diez, cuatro de valor numérico dos, y cuatro de cada tipo de baraja \(K,K,K,K\) o o \(A,A,A,A\) o \(10,10,10,10\)

->La variable \(n.figuras\) contiene la cantidad de barajas de aguna figura, es decir hay 13 de corazones rojos, trece de diamantes, trece de picas y trece de tréboles de cada tipo \(A,K,Q,J,2,3,4,5,6,7,8,9,10\).

corazones <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
treboles <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
picas <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
diamantes <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')

S.baraja <- c(corazones, treboles, picas, diamantes)
S.baraja
##  [1] "K"  "Q"  "J"  "10" "9"  "8"  "7"  "6"  "5"  "4"  "3"  "2"  "A"  "K"  "Q" 
## [16] "J"  "10" "9"  "8"  "7"  "6"  "5"  "4"  "3"  "2"  "A"  "K"  "Q"  "J"  "10"
## [31] "9"  "8"  "7"  "6"  "5"  "4"  "3"  "2"  "A"  "K"  "Q"  "J"  "10" "9"  "8" 
## [46] "7"  "6"  "5"  "4"  "3"  "2"  "A"
reyes <- rep("K", 4)
reyes
## [1] "K" "K" "K" "K"
ases <- rep("A", 4)
ases
## [1] "A" "A" "A" "A"
N <- length(S.baraja)
N
## [1] 52
n.numeros <- 4
n.numeros 
## [1] 4
n.figuras <- 13
n.figuras 
## [1] 13
prob.numero <- n.numeros / N

paste ("La probabilidad de que sea un rey es: ", round(prob.numero * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que sea un rey es:  7.69 %"
prob.figura <- n.figuras / N
paste ("La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: ", round(prob.figura * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de:  25 %"

4.1.1.1 Union de corazones o treboles. corazones U treboles

¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga una baraja de un mazo de 52 cartas inglesas y que ésta baraja sea de corazones O de tréboles?

Usando la Fórmula si son conjuntos mutuamente excluyentes y si no son mutuamente excluyentes se debe omitir o no considerar tercer término o sea la intersección. \(P(corazones∩treboles)\)

\[P(corazones∪treboles)=P(corazones)+P(treboles)−P(corazones∩treboles)\]

Se reutiliza la variable prob.figura que representa el 25 % de que sea de algún tipo de figura. Los conjuntos son excluyentes porque no existen elementos en común entre corazones y tréboles.

P.corazonesUtreboles <- prob.figura + prob.figura
 paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(P.corazonesUtreboles * 100,2), "%")
## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del:  50 %"

4.1.1.2 Demostración con union()

Se repite dos veces porque en la realidad es que son figuras diferentes y por consecuencia barajas diferentes.

rep(union(corazones, treboles),2)
##  [1] "K"  "Q"  "J"  "10" "9"  "8"  "7"  "6"  "5"  "4"  "3"  "2"  "A"  "K"  "Q" 
## [16] "J"  "10" "9"  "8"  "7"  "6"  "5"  "4"  "3"  "2"  "A"
n <- length(rep(union(corazones, treboles),2)) 
prob <- n/N

paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(prob * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del:  50 %"

4.1.2 Intersección de rey y corazones. reyes ∩ corazones

¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” o as “A” y que sea de figura de corazones rojos?

Para responder a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.

intersect(reyes, corazones)
## [1] "K"
prob <- length(intersect(reyes, corazones)) / N

paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del:  1.92 %"

¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación as “A” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.

intersect(ases, corazones)
## [1] "A"
prob <- length(intersect(ases, corazones)) / N

paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del:  1.92 %"

4.2 Entrevistas

Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A con su probabilidad P(A) de 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B P(B) es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es \(P(A∩B)\) es 0.5,

¿qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas?. Para determinar esta probabilidad, se utiliza la fórmula de la regla aditiva de la probabilidad entendiendo que son conjuntos no mutuamente excluyentes (Walpole, Myers, and Myers 2012a).

\[P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)=0.8+0.6–0.5=0.9\]

prob.AUB <- 0.8 + 0.6 - 0.5

paste("La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : ", prob.AUB)
## [1] "La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de :  0.9"

4.3 Dados

¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?, es decir, ¿cuál es la probabilidad de \(P(siete∪once)\) (Walpole, Myers, and Myers 2012a).

Sea \(siete\) el evento de que resulte la suma en 7 y \(once\) el evento de que salga la suma de los dos dados en 11.

¿Cuántos hay que sumen siete en relación al total de eventos?, con ello se puede determinar su probabilidad?

Se puede reutilizar funciones y elementos del caso 7 en el ejercicio de lanzar dos dados. Se reutiliza una función llamada f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7) y f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11) para determinar cuántas ocasiones hay de cada suma.

4.3.1 Cargar las funciones

Primero hay que cargar las funciones

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")

# source("../funciones/misfunciones.r")

4.3.1.1 Ocasiones para que suma sea siete. P(siete)Ocasiones para que suma sea siete. P(siete)

Se utiliza \(N\) para total de espacio muestra y n.siente para los eventos que la suma sea siete.

Con la llamada de la función f.contar.dados(), se muestran los puntos muestrales ya sumando los dos dados y con ella, también se obtiene la cantidad de ocasiones de que la suma sea siete y más adelante se indentifica para cuando la suma sea once.

S.espacio.muestral <- as.character(c(11:16, 21:26, 31:36, 41:46, 51:56, 61:66))
S.espacio.muestral
##  [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"
N <- length(S.espacio.muestral)
N
## [1] 36
n.siete <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7)
##  [1]  2  3  3  4  4  4  5  5  5  5  6  6  6  6  6  7  7  7  7  7  7  8  8  8  8
## [26]  8  9  9  9  9 10 10 10 11 11 12
n.siete
## [1] 6
prob.siete <- n.siete / N
prob.siete
## [1] 0.1666667

4.3.1.2 Ocasiones para que suma sea once P(once)

¿Cuantos eventos hay que sumen once en relación al total para identificar? con la respuesta se debe encontrar su probabilidad?

n.once <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11)
##  [1]  2  3  3  4  4  4  5  5  5  5  6  6  6  6  6  7  7  7  7  7  7  8  8  8  8
## [26]  8  9  9  9  9 10 10 10 11 11 12
n.once
## [1] 2
prob.once <- n.once / N
prob.once
## [1] 0.05555556

Ahora bien, para la suma que sea siete de los 36 puntos muestrales ocurre un total de 6 ocasiones y sólo 2 de ellos ocurre para la suma de once.

4.3.2 siete U once

Son conjuntos mutuamente excluyentes porque no hay condiciones de que haya eventos comunes o es siete o es once en el lanzamiento de dos dados simultáneamente.

\[P(siete∪once)=P(siente)+P(once)\]

prob <- prob.siete + prob.once
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", prob)
## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es:  0.222222222222222"

4.3.3 Utilizando función union()

S.espacio.muestral
##  [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"
sietes <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 7, 7)
##  [1]  2  3  3  4  4  4  5  5  5  5  6  6  6  6  6  7  7  7  7  7  7  8  8  8  8
## [26]  8  9  9  9  9 10 10 10 11 11 12
onces <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 11, 11)
##  [1]  2  3  3  4  4  4  5  5  5  5  6  6  6  6  6  7  7  7  7  7  7  8  8  8  8
## [26]  8  9  9  9  9 10 10 10 11 11 12

Se presentan los conjuntos de sietes y onces respectivamente y la unión de los mismos.

sietes
## [1] 16 17 18 19 20 21
onces
## [1] 34 35

Se determina la probabilidad de la unión de los conjuntos sietes y onces y se contesta a la pregunta del ejercicio de

sietesUonces <- union(sietes, onces)
n <- length(sietesUonces)

prob <- n/N

paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", round(prob * 100, 2))
## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es:  22.22"

4.4 Compra automóvil

Las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo elija uno de color verde, uno blanco, uno rojo o uno azul son 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23, respectivamente,¿cuál es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores?. (Walpole, Myers, and Myers 2012b).

Sean V, B, R y A los eventos de que un comprador seleccione respectivamente algún color de un automóvil de entre verde, blanco, rojo o azul. Como estos cuatro eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad es:

\[P(V∪B∪R∪A)=P(V)+P(B)+P(R)+P(A)=0.09+0.15+0.21+0.23=0.68.\]

Solo se suman las probabilidades

prob.V <- 0.09
prob.B <- 0.15
prob.R <- 0.21
prob.A <- 0.23
prob <- sum(prob.V, prob.B, prob.R, prob.A)

paste ("La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es:", prob)
## [1] "La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es: 0.68"

4.5 Fichas de Dominó

En un juego de dominó existen 28 fichas. Cada ficha tiene dos lados con puntos entre cero y seis. Las siguientes tablas identifican cada ficha de dominó y la suma de los puntos de cada una. El cero significa la fichas “gueras” en el contexto de dominó.

Fichas del cero al tres

Fichas con 0 Suma Fichas con 1 Suma Fichas con 2 Suma Fichas con 3 Suma
0-0 0 1-1 2 2-2 4 3-3 6
0-1 1 1-2 3 2-3 5 3-4 7
0-2 2 1-3 4 2-4 6 3-5 8
0-3 3 1-4 5 2-5 7 3-6 9
0-4 4 1-5 6 2-6 8
0-5 5 1-6 7
0-6 6

Fichas del cuatro al seis

Fichas con 4 Suma Fichas con 5 Suma Fichas con 6 Suma
4-4 8 5-5 10 6-6 12
4-5 9 5-6 11
4-6 10


Determine probabilidades al extraer una sola ficha de dominó sumando los puntos de los lados de la ficha.

Para este caso se utilizan funciones previamente realizadas y cargadas que se encuentra en la dirección URL“[https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")](https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")))”

Se presentan las fichas de dominó.

S <- f.fichas.domino()
S
##  [1] "00" "01" "02" "03" "04" "05" "06" "11" "12" "13" "14" "15" "16" "22" "23"
## [16] "24" "25" "26" "33" "34" "35" "36" "44" "45" "46" "55" "56" "66"

Se presenta la tabla de distribución y sus probabilidades

S.distribucion <- f.distribucion.fichas.domino(S, 0,12)
S.distribucion
##    sumas Freq       prob       acum
## 1      0    1 0.03571429 0.03571429
## 2      1    1 0.03571429 0.07142857
## 3      2    2 0.07142857 0.14285714
## 4      3    2 0.07142857 0.21428571
## 5      4    3 0.10714286 0.32142857
## 6      5    3 0.10714286 0.42857143
## 7      6    4 0.14285714 0.57142857
## 8      7    3 0.10714286 0.67857143
## 9      8    3 0.10714286 0.78571429
## 10     9    2 0.07142857 0.85714286
## 11    10    2 0.07142857 0.92857143
## 12    11    1 0.03571429 0.96428571
## 13    12    1 0.03571429 1.00000000

Con lo anterior, ya se puede contestar las siguientes preguntas:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente cuatro?. Son 3 ocasione en relación a 28 que la suma sea cuatro. 3/28=0.10713= 10.71%
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente seis? 4/28=.1428 = 14.28%
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente ocho? 3/28=0.1071 = 10.71%
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente doce? 1/28= 0.0357 = 3.57%
  5. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea entre cero y seis? es decir la suma de las probabilidad de cero a seis? 0.5714 = 57.14%
  6. ¿Cuál es la probabilidad que al menos la suma sea nueve?, el complemento a partir de ocho.
P.hastaocho <- 0.78571429
Palmenosnueve <- 1 - P.hastaocho
paste ("La probabildia de que al menos la suma sea 9 es de: ", Palmenosnueve, " = 21.42%")
## [1] "La probabildia de que al menos la suma sea 9 es de:  0.21428571  = 21.42%"

4.6 Estudiantes preparatoria

De la literatura de (Walpole, Myers, and Myers 2012a). En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que

  • el estudiante haya cursado matemáticas o historia; 123/158=

    estudiantes <- 100
matematicas<- 54
historia <- 69
matehistoria <- 35

e <- matematicas+historia-matehistoria


prob <- round(e/estudiantes * 100, 2)

paste("La probabilidad de que el estudiante haya cursado matemáticas o historia es de: ", prob, "%")
    ## [1] "La probabilidad de que el estudiante haya cursado matemáticas o historia es de:  88 %"

  • el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias.

    la probabilidad es del 12 %

  • el estudiante haya cursado historia pero no matemáticas.

    la probablidad es del 34 %;

4.7 Obreros

A los obreros de las fábricas se les motiva constantemente a practicar la tolerancia cero para prevenir accidentes en el lugar de trabajo. Los accidentes pueden ocurrir porque el ambiente o las condiciones laborales son inseguros.

Por otro lado, los accidentes pueden ocurrir por negligencia (condicione sinseguras) o fallas humanas.

También el horario de trabajo de 7:00 a.m. a 3:00 p.m. (turno matutino), de 3:00 p.m. a 11:00 p.m. (turno vespertino) y de 11:00 p.m. a 7:00 a.m. (turno nocturno) podría ser otro factor.

Se tienen los porcentajes (probabilidades) de los accidentes por la combinación de condiciones son los que siguen:

Turno Condiciones inseguras Fallas humanas
Matutino 0.05 0.32
Vespertino 0.06 0.25
Nocturno 0.02 0.30

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en el turno nocturno?

    Hay un total de 32 % de probabilidades

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a una falla humana?

    Un total de 87 % de posibilidades

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a las condiciones inseguras?

    Hay 13 % de probabilidades de que ocurra por condiciones inseguras.

  • 4. ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turnos vespertino o nocturno?

    hay un 63 % de chances de que ocurra en cualquiera de dichos horarios

5 Interpretación

Principalmente la elaboración de este caso me deja una idea y una comprensión más clara sobre los temas abordados en este, tales como: la unión de eventos, la intersección o los datos que comparten una serie de eventos y lo que es el complemento.

Otro punto que me deja este caso es básicamente la programacióno la lógica de estos temas en lenguaje R así como el conocimiento de las funciones que facilitan estos procesos: union(), intersect() y setdiff().

Elementos gráficos como el diagrama de Venn me parecen una buena herramienta para poder demostrar y expresar los eventos y sus diferentes relaciones, y saber cómo plasmarlos en lenguaje R sin duda es un plus.  

Los ejercicios vistos nos dan una idea de cómo estos conocimientos probabilísticos pueden aplicarse desde un juego de domino hasta poder comprender las causas de los accidentes dentro de una fábrica.

Bajo mi perspectiva puedo decir lo que se refiere cada uno de los principales puntos abordados.

Uniones: Básicamente es agrupar o juntar los datos o valores de una serie de eventos.

Intersecciones: Son los datos que una serie de eventos comparten.

Diferencia: Son los datos que se encuentran en un evento pero que no se encuentran en otro diferente.

Complemento: Podría decirse que el complemento es la probabilidad que hay a partir de un punto en específico e incluyendo dicho punto.

Por ultimo mencionar que en general este caso me ha servido como practica de anteriores temas probabilísticos y también como practica de programación en R.

6 Referencias bibliográficas

Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

———. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.