Determinar probabilidad mediante operaciones de union intersección y complemento
Determinar probabilidad mediante operaciones de union intersección y complemento con datos simulados.
En el marco de referencia se presentan tanto ejercicios simulados como ejercicios extraídos a partir de la literatura o bibliografía señalada de probabilidad.
En algunos ejercicios presentados, se determina la probabilidad a partir de los puntos muestrales en relación al espacio muestral, en otros casos ya se da la probalidad de los eventos o conjutos.
Se presentan algunos ejercicios de probabilidad y se demuestran con las funciones de union(), intersect() setdfiff()
De un mazo de 52 cartas inglesas se simulan probabilidades usando funciones union() e intersect()
La variable S.baraja contiene todo el espacio muestral de la baraja inglesa a partir de los cuatro conjuntos de figuras que sería corazones, tréboles, picas y diamantes.
La variable \(N\) es la cantidad de elementos del espacio muestral, o sea 52 cartas.
Las variables reyes y ases es para identificar que existen cuatro reyes o cuatro ases en la baraja de 52 cartas y para propósito de responder a la pregunta.
La variable \(n.numero\) contiene la cantidad de barajas de algún número o denominación, por ejemplo: 4 reyes, cuatro ases, cuatro barajas con denominación de diez, cuatro de valor numérico dos, y cuatro de cada tipo de baraja \(K,K,K,K\) o \(A,A,A,A\) o \(10,10,10,10\)
La variable \(n.figuras\) contiene la cantidad de barajas de alguna figura, es decir hay 13 de corazones rojos, trece de diamantes, trece de picas y trece de tréboles de cada tipo A,K,Q,J,2,3,4,5,6,7,8,9,10
corazones <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
treboles <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
picas <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
diamantes <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
S.baraja <- c(corazones, treboles, picas, diamantes)
S.baraja## [1] "K" "Q" "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q"
## [16] "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q" "J" "10"
## [31] "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q" "J" "10" "9" "8"
## [46] "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A"reyes <- rep("K", 4)
reyes## [1] "K" "K" "K" "K"ases <- rep("A", 4)
ases## [1] "A" "A" "A" "A"N <- length(S.baraja)
N## [1] 52n.numeros <- 4
n.numeros ## [1] 4n.figuras <- 13
n.figuras## [1] 13prob.numero <- n.numeros / N
paste ("La probabilidad de que sea un rey es: ", round(prob.numero * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que sea un rey es: 7.69 %"prob.figura <- n.figuras / N
paste ("La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: ", round(prob.figura * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: 25 %"¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga una baraja de un mazo de 52 cartas inglesas y que ésta baraja sea de corazones O de tréboles?
Usando la Fórmula si son conjuntos mutuamente excluyentes y si no son mutuamente excluyentes se debe omitir o no considerar tercer término o sea la intersección. \(P(corazones∩treboles)\)
\(P(corazones∪treboles)=P(corazones)+P(treboles)−P(corazones∩treboles)\)
Se reutiliza la variable prob.figura que representa el 25 % de que sea de algún tipo de figura. Los conjuntos son excluyentes porque no existen elementos en común entre corazones y tréboles.
P.corazonesUtreboles <- prob.figura + prob.figura
paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(P.corazonesUtreboles * 100,2), "%")## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: 50 %"Se repite dos veces porque en la realidad es que son figuras diferentes y por consecuencia barajas diferentes.
rep(union(corazones, treboles),2)## [1] "K" "Q" "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q"
## [16] "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A"n <- length(rep(union(corazones, treboles),2))
prob <- n/N
paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: 50 %"¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” o as “A” y que sea de figura de corazones rojos?
Para responder a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.
intersect(reyes, corazones)## [1] "K"prob <- length(intersect(reyes, corazones)) / N
paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: 1.92 %"¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación as “A” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.
intersect(ases, corazones)## [1] "A"prob <- length(intersect(ases, corazones)) / N
paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: 1.92 %"Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A con su probabilidad P(A) de 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B P(B) es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es \(P(A∩B)\) es 0.5,
¿qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas?. Para determinar esta probabilidad, se utiliza la fórmula de la regla aditiva de la probabilidad entendiendo que son conjuntos no mutuamente excluyentes (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
\(P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\)
\(P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)=0.8+0.6–0.5=0.9\)
prob.AUB <- 0.8 + 0.6 - 0.5
paste("La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : ", prob.AUB)## [1] "La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : 0.9"¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?, es decir, ¿cuál es la probabilidad de \(P(siete∪once)\) (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
Sea \(siete\) el evento de que resulte la suma en 7 y \(once\) el evento de que salga la suma de los dos dados en 11.
¿Cuántos hay que sumen siete en relación al total de eventos?, con ello se puede determinar su probabilidad?
Se puede reutilizar funciones y elementos del caso 7 en el ejercicio de lanzar dos dados. Se reutiliza una función llamada f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7) y f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11) para determinar cuántas ocasiones hay de cada suma.
Primero hay que cargar las funciones
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")
# source("../funciones/misfunciones.r")Se utiliza \(N\) para total de espacio muestra y n.siente para los eventos que la suma sea siete.
Con la llamada de la función f.contar.dados(), se muestran los puntos muestrales ya sumando los dos dados y con ella, también se obtiene la cantidad de ocasiones de que la suma sea siete y más adelante se indentifica para cuando la suma sea once.
S.espacio.muestral <- as.character(c(11:16, 21:26, 31:36, 41:46, 51:56, 61:66))
S.espacio.muestral## [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"N <- length(S.espacio.muestral)
N## [1] 36n.siete <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12n.siete## [1] 6prob.siete <- n.siete / N
prob.siete## [1] 0.1666667¿Cuantos eventos hay que sumen once en relación al total para identificar? con la respuesta se debe encontrar su probabilidad?
n.once <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12n.once## [1] 2prob.once <- n.once / N
prob.once## [1] 0.05555556Ahora bien, para la suma que sea siete de los 36 puntos muestrales ocurre un total de 6 ocasiones y sólo 2 de ellos ocurre para la suma de once
Son conjuntos mutuamente excluyentes porque no hay condiciones de que haya eventos comunes o es siete o es once en el lanzamiento de dos dados simultáneamente.
\(P(siete∪once)=P(siente)+P(once)\)
prob <- prob.siete + prob.once
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", prob)## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es: 0.222222222222222"S.espacio.muestral## [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"sietes <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 7, 7)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12onces <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 11, 11)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12Se presentan los conjuntos de sietes y onces respectivamente y la unión de los mismos.
sietes## [1] 16 17 18 19 20 21onces## [1] 34 35Se determina la probabilidad de la unión de los conjuntos sietes y onces y se contesta a la pregunta del ejercicio de
sietesUonces <- union(sietes, onces)
n <- length(sietesUonces)
prob <- n/N
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", round(prob * 100, 2))## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es: 22.22"Las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo elija uno de color verde, uno blanco, uno rojo o uno azul son 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23, respectivamente,¿cuál es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores?. (Walpole, Myers, and Myers 2012b).
Sean V, B, R y A los eventos de que un comprador seleccione respectivamente algún color de un automóvil de entre verde, blanco, rojo o azul. Como estos cuatro eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad es:
\(P(V∪B∪R∪A)=P(V)+P(B)+P(R)+P(A)=0.09+0.15+0.21+0.23=0.68.\) Solo se suman las probabilidades
prob.V <- 0.09
prob.B <- 0.15
prob.R <- 0.21
prob.A <- 0.23
prob <- sum(prob.V, prob.B, prob.R, prob.A)
paste ("La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es:", prob)## [1] "La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es: 0.68"En un juego de dominó existen 28 fichas. Cada ficha tiene dos lados con puntos entre cero y seis. Las siguientes tablas identifican cada ficha de dominó y la suma de los puntos de cada una. El cero significa la fichas “gueras” en el contexto de dominó.
Fichas del cero al tres
| Fichas con 0 | Suma | Fichas con 1 | Suma | Fichas con 2 | Suma | Fichas con 3 | Suma |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-0 | 0 | 1-1 | 2 | 2-2 | 4 | 3-3 | 6 |
| 0-1 | 1 | 1-2 | 3 | 2-3 | 5 | 3-4 | 7 |
| 0-2 | 2 | 1-3 | 4 | 2-4 | 6 | 3-5 | 8 |
| 0-3 | 3 | 1-4 | 5 | 2-5 | 7 | 3-6 | 9 |
| 0-4 | 4 | 1-5 | 6 | 2-6 | 8 | ||
| 0-5 | 5 | 1-6 | 7 | ||||
| 0-6 | 6 |
Fichas del cuatro al seis
| Fichas con 4 | Suma | Fichas con 5 | Suma | Fichas con 6 | Suma |
|---|---|---|---|---|---|
| 4-4 | 8 | 5-5 | 10 | 6-6 | 12 |
| 4-5 | 9 | 5-6 | 11 | ||
| 4-6 | 10 |
Determine probabilidades al extraer una sola ficha de dominó sumando los puntos de los lados de la ficha.
Para este caso se utilizan funciones previamente realizadas y cargadas que se encuentra en la dirección URL“[https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")](https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")))”
Se presentan las fichas de dominó.
S <- f.fichas.domino()
S## [1] "00" "01" "02" "03" "04" "05" "06" "11" "12" "13" "14" "15" "16" "22" "23"
## [16] "24" "25" "26" "33" "34" "35" "36" "44" "45" "46" "55" "56" "66"Se presenta la tabla de distribución y sus probabilidades
S.distribucion <- f.distribucion.fichas.domino(S, 0,12)
S.distribucion## sumas Freq prob acum
## 1 0 1 0.03571429 0.03571429
## 2 1 1 0.03571429 0.07142857
## 3 2 2 0.07142857 0.14285714
## 4 3 2 0.07142857 0.21428571
## 5 4 3 0.10714286 0.32142857
## 6 5 3 0.10714286 0.42857143
## 7 6 4 0.14285714 0.57142857
## 8 7 3 0.10714286 0.67857143
## 9 8 3 0.10714286 0.78571429
## 10 9 2 0.07142857 0.85714286
## 11 10 2 0.07142857 0.92857143
## 12 11 1 0.03571429 0.96428571
## 13 12 1 0.03571429 1.00000000Con lo anterior, ya se puede contestar las siguientes preguntas:
De la literatura de (Walpole, Myers, and Myers 2012a). En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que
A los obreros de las fábricas se les motiva constantemente a practicar la tolerancia cero para prevenir accidentes en el lugar de trabajo. Los accidentes pueden ocurrir porque el ambiente o las condiciones laborales son inseguros.
Por otro lado, los accidentes pueden ocurrir por negligencia (condiciones inseguras) o fallas humanas.
También el horario de trabajo de 7:00 a.m. a 3:00 p.m. (turno matutino), de 3:00 p.m. a 11:00 p.m. (turno vespertino) y de 11:00 p.m. a 7:00 a.m. (turno nocturno) podría ser otro factor.
Se tienen los porcentajes (probabilidades) de los accidentes por la combinación de condiciones son los que siguen:
| Turno | Condiciones inseguras | Fallas humanas |
|---|---|---|
| Matutino | 0.05 | 0.32 |
| Vespertino | 0.06 | 0.25 |
| Nocturno | 0.02 | 0.30 |
Se solicita una descripción de al menos 200 palabras de los ejercicios del caso .
Ideas propias
Aprendizajes adquiridos
Ejercicios
Probabilidad y operaciones de conjuntos: uniones, intersecciones, diferencia y complemento.
En esta ocasión, tuvimos una experiencia con lo que es verdaderamente la probabilidad en la vida diaria, una herramienta muy útil para conocer el funcionamiento de los eventos, cosa que resulta de gran utilidad porque así se contemplan de mejor forma una cantidad de posibles escenarios más grande que pueden darse en cualquier momento cuando realizamos una acción en cualquier entorno, ya sea recreativo, escolar, labora, social, etc.
En este caso, las clases en linea nos permiten abordar el tema de probabilidades de una manera con mayor relación al área que abarca la carrera de ingeniería en sistemas, y esto mediante RStudio, usando un lenguaje ampliamente conocido para el manejo de datos estadísticos y de probabilidad, apoyandose de funciones que nos ayudan a realizar los cálculos más sencillamente. En este caso utilizamos las funciones union(), intersect() y setdiff() las cuales nos ayudaron a manejar los datos de una forma más cómoda y aplicarlos directamente en las formulas de probabilidad para obtener los resultados que buscabamos. Personalmente nunca había usado estas funciones en el entorno, por lo cual, resultan de un aprendizaje muy útil para cuando se traten temas relacionados.
En cuanto a los ejercicios, son ejemplos de cómo podríamos utilizar a la probabilidad en casos de la vida diaria, personalmente los encuentro bastante útiles para entender cómo funcionan estos conceptos de probabilidad, a excepción del de las cartas, quizá sea porque nunca las he usado y no soy muy conocedor del tema pero es un ejemplo de probabilidad en los juegos de azar, al igual que el de los dados. Personalmente me gustaron los demás y los considero muy útiles en la ejemplificación de este caso.
Y por último, los conceptos de unión, intersección, diferencia y complemento son lo que usamos para obtener los resultados en los ejemplos que resolvimos, se trata de que cada uno cumple con una función especifica y coloca los datos de una manera en los que podemos entenderlos de mejor manera según el objetivo de cada concepto, por ejemplo, la unión es precisamente la unión de uno o más conjuntos de datos, números, colores, objetos, etc. Lo que hace que es juntar los elementos que los conjuntos tenían por separado en un nuevo conjunto llamado A U B. La intersección de igual forma trabaja con dos o más conjuntos de datos y lo que hace es indicar los elementos en común entre los conjuntos de datos. La diferencia es lo contrario, es decir, los elementos que pertenecen al conjunto A pero no se encuentran en el conjunto B y por último, el complemento se podría definir como la probabilidad de que un evento no ocurra, es decir, por ejemplo en el caso de los estudiantes, un complemento sería el que respondemos en la pregunta que cuestiona ¿cuáles estudiantes cursaron historia pero no matemáticas?, el complemento se encuentra en el segundo término, cuando calculamos la probabilidad de que el estudiante no haya estudiado matemáticas.
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
———. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.