Determinar probabilidad mediante operaciones de Unión, Intersección y Complemento.
Determinar probabilidad mediante operaciones de Unión, Intersección y Complemento con datos simulados.
En algunos ejercicios presentados, se determina la probabilidad a partir de los puntos muestrales en relación al espacio muestral, en otros casos ya se da la probavilidad de los eventos o conjutos.
Se presentan algunos ejercicios de probabilidad y se demuestran con las funciones de union(), intersect(), y setdfiff()
De un mazo de 52 cartas inglesas se simulan probabilidades usando funciones union() e intersect().
La variable S.baraja contiene todo el espacio muestral de la baraja inglesa a partir de los cuatro conjuntos de figuras que sería corazones, tréboles, picas y diamantes.
La variable \(N\) es la cantidad de elementos del espacio muestral, o sea 52 cartas.
Las variables reyes y ases es para identificar que existen cuatro reyes o cuatro ases en la baraja de 52 cartas y para propósito de responder a la pregunta.
La variable \(n.numero\) contiene la cantidad de barajas de algún número o denominación, por ejemplo: 4 reyes, cuatro ases, cuatro barajas con denominación de diez, cuatro de valor numérico dos, y cuatro de cada tipo de baraja \(K,K,K,K\) o \(A,A,A,A\) o \(10,10,10,10\)
La variable \(n.figuras\) contiene la cantidad de barajas de alguna figura, es decir hay 13 de corazones rojos, trece de diamantes, trece de picas y trece de tréboles de cada tipo \(A,K,Q,J,2,3,4,5,6,7,8,9,10\)
corazones <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
treboles <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
picas <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
diamantes <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
S.baraja <- c(corazones, treboles, picas, diamantes)
S.baraja## [1] "K" "Q" "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q"
## [16] "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q" "J" "10"
## [31] "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q" "J" "10" "9" "8"
## [46] "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A"reyes <- rep("K", 4)
reyes## [1] "K" "K" "K" "K"ases <- rep("A", 4)
ases## [1] "A" "A" "A" "A"N <- length(S.baraja)
N## [1] 52n.numeros <- 4
n.numeros ## [1] 4n.figuras <- 13
n.figuras ## [1] 13prob.numero <- n.numeros / N
paste ("La probabilidad de que sea un rey es: ", round(prob.numero * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que sea un rey es: 7.69 %"prob.figura <- n.figuras / N
paste ("La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: ", round(prob.figura * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: 25 %"¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga una baraja de un mazo de 52 cartas inglesas y que ésta baraja sea de corazones O de tréboles?
Usando la Fórmula si son conjuntos mutuamente excluyentes y si no son mutuamente excluyentes se debe omitir o no considerar tercer término o sea la intersección \(P(corazones∩treboles)\)
\(P(corazones∪treboles)=P(corazones)+P(treboles)−P(corazones∩treboles)\)
Se reutiliza la variable prob.figura que representa el 25 % de que sea de algún tipo de figura. Los conjuntos son excluyentes porque no existen elementos en común entre corazones y tréboles.
P.corazonesUtreboles <- prob.figura + prob.figura
paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(P.corazonesUtreboles * 100,2), "%")## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: 50 %"Se repite dos veces porque en la realidad son figuras diferentes y por consecuencia barajas diferentes.
rep(union(corazones, treboles),2)## [1] "K" "Q" "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q"
## [16] "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A"n <- length(rep(union(corazones, treboles),2))
prob <- n/N
paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: 50 %"¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” o as “A” y que sea de figura de corazones rojos?
Para responder a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” y que sea de figura de corazones rojos? Se necesita una intersección.
intersect(reyes, corazones)## [1] "K"prob <- length(intersect(reyes, corazones)) / N
paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: 1.92 %"¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación as “A” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.
intersect(ases, corazones)## [1] "A"prob <- length(intersect(ases, corazones)) / N
paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: 1.92 %"Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A con su probabilidad P(A) de 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B P(B) es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es \(P(A∩B)\) es 0.5,
¿Qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas? Para determinar esta probabilidad, se utiliza la fórmula de la regla aditiva de la probabilidad entendiendo que son conjuntos no mutuamente excluyentes (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
\(P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\)
\(P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)= 0.8+0.6–0.5 = 0.9\)
prob.AUB <- 0.8 + 0.6 - 0.5
paste("La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : ", prob.AUB)## [1] "La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : 0.9"¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?, es decir, ¿cuál es la probabilidad de \(P(siete∪once)\) (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
Sea \(siete\) el evento de que resulte la suma en 7 y \(once\) el evento de que salga la suma de los dos dados en 11.
¿Cuántos hay que sumen siete en relación al total de eventos? ¿Con ello se puede determinar su probabilidad?
Se puede reutilizar funciones y elementos del caso 7 en el ejercicio de lanzar dos dados. Se reutiliza una función llamada f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7) y f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11) para determinar cuántas ocasiones hay de cada suma.
Primero hay que cargar las funciones.
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")
# source("../funciones/misfunciones.r")Se utiliza \(N\) para total de espacio muestra y n.siente para los eventos que la suma sea siete.
Con la llamada de la función f.contar.dados(), se muestran los puntos muestrales ya sumando los dos dados y con ella, también se obtiene la cantidad de ocasiones de que la suma sea siete y más adelante se identifica para cuando la suma sea once.
S.espacio.muestral <- as.character(c(11:16, 21:26, 31:36, 41:46, 51:56, 61:66))
S.espacio.muestral## [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"N <- length(S.espacio.muestral)
N## [1] 36n.siete <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12n.siete## [1] 6prob.siete <- n.siete / N
prob.siete## [1] 0.1666667¿Cuántos eventos hay que sumen once en relación al total para identificar? Con la respuesta, se debe encontrar su probabilidad.
n.once <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12n.once## [1] 2prob.once <- n.once / N
prob.once## [1] 0.05555556Ahora bien, para la suma que sea siete de los 36 puntos muestrales ocurre un total de 6 ocasiones y sólo 2 de ellos ocurre para la suma de once
Son conjuntos mutuamente excluyentes porque no hay condiciones de que haya eventos comunes o es siete o es once en el lanzamiento de dos dados simultáneamente.
\(P(siete∪once)=P(siente)+P(once)\)
prob <- prob.siete + prob.once
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", prob)## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es: 0.222222222222222"S.espacio.muestral## [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"sietes <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 7, 7)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12onces <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 11, 11)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12Se presentan los conjuntos de sietes y onces respectivamente y la unión de los mismos.
sietes## [1] 16 17 18 19 20 21onces## [1] 34 35Se determina la probabilidad de la unión de los conjuntos sietes y onces y se contesta a la pregunta del ejercicio:
sietesUonces <- union(sietes, onces)
n <- length(sietesUonces)
prob <- n/N
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", round(prob * 100, 2))## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es: 22.22"Las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo elija uno de color verde, uno blanco, uno rojo o uno azul son 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23, respectivamente,¿cuál es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores?. (Walpole, Myers, and Myers 2012b).
Sean V, B, R y A los eventos de que un comprador seleccione respectivamente algún color de un automóvil de entre verde, blanco, rojo o azul. Como estos cuatro eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad es:
\(P(V∪B∪R∪A)=P(V)+P(B)+P(R)+P(A)=0.09+0.15+0.21+0.23=0.68.\)
Solo se suman las probabilidades.
prob.V <- 0.09
prob.B <- 0.15
prob.R <- 0.21
prob.A <- 0.23
prob <- sum(prob.V, prob.B, prob.R, prob.A)
paste ("La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es:", prob)## [1] "La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es: 0.68"En un juego de dominó existen 28 fichas. Cada ficha tiene dos lados con puntos entre cero y seis. Las siguientes tablas identifican cada ficha de dominó y la suma de los puntos de cada una. El cero significa la fichas “güeras” en el contexto de dominó.
Fichas del cero al tres.
| Fichas con 0 | Suma | Fichas con 1 | Suma | Fichas con 2 | Suma | Fichas con 3 | Suma |
| 0-0 | 0 | 1-1 | 2 | 2-2 | 4 | 3-3 | 6 |
| 0-1 | 1 | 1-2 | 3 | 2-3 | 5 | 3-4 | 7 |
| 0-2 | 2 | 1-3 | 4 | 2-4 | 6 | 3-5 | 8 |
| 0-3 | 3 | 1-4 | 5 | 2-5 | 7 | 3-6 | 9 |
| 0-4 | 4 | 1-5 | 6 | 2-6 | 8 | ||
| 0-5 | 5 | 1-6 | 7 | ||||
| 0-6 | 6 |
Fichas del cuatro al seis
| Fichas con 4 | Suma | Fichas con 5 | Suma | Fichas con 6 | Suma |
|---|---|---|---|---|---|
| 4-4 | 8 | 5-5 | 10 | 6-6 | 12 |
| 4-5 | 9 | 5-6 | 11 | ||
| 4-6 | 10 |
Determine probabilidades al extraer una sola ficha de dominó sumando los puntos de los lados de la ficha.
Para este caso se utilizan funciones previamente realizadas y cargadas que se encuentra en la dirección URL“[https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")](https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")))”
Se presentan las fichas de dominó.
S <- f.fichas.domino()
S## [1] "00" "01" "02" "03" "04" "05" "06" "11" "12" "13" "14" "15" "16" "22" "23"
## [16] "24" "25" "26" "33" "34" "35" "36" "44" "45" "46" "55" "56" "66"Se presenta la tabla de distribución y sus probabilidades
S.distribucion <- f.distribucion.fichas.domino(S, 0,12)
S.distribucion## sumas Freq prob acum
## 1 0 1 0.03571429 0.03571429
## 2 1 1 0.03571429 0.07142857
## 3 2 2 0.07142857 0.14285714
## 4 3 2 0.07142857 0.21428571
## 5 4 3 0.10714286 0.32142857
## 6 5 3 0.10714286 0.42857143
## 7 6 4 0.14285714 0.57142857
## 8 7 3 0.10714286 0.67857143
## 9 8 3 0.10714286 0.78571429
## 10 9 2 0.07142857 0.85714286
## 11 10 2 0.07142857 0.92857143
## 12 11 1 0.03571429 0.96428571
## 13 12 1 0.03571429 1.00000000Con lo anterior, ya se puede contestar las siguientes preguntas:
R: La probabilidad de ello son 4 de 28.
\(4/28 = 0.1428\)
R: La probabilidad de ello son 3 de 28.
\(3/28 = 0.1071\)
R: La probabilidad de ello son 11 de 28.
\(11/28 = 0.3928\)
R: Si las probabilidades de que sume cada número de 0 a 6 son 1/28, 1/28, 2/28, 2/28, 3/28, 3/28 y 4/28 respectivamente, entonces la suma de sus probabilidades es:
\(1/28 + 1/28 + 2/28 + 2/28 + 3/28 + 3/28 + 4/28 = 16/28 = 0.5714\)
R: La probabilidad de que sume hasta 8 es 22/28, por lo que:
\(1 - 22/28 = 6/28\)
La probabilidad de que la suma sea por lo menos 9 es de 6/28.
De la literatura de (Walpole, Myers, and Myers 2012a). En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que
El estudiante haya cursado matemáticas o historia.
R: Si 54/100 cursaron Matemáticas, 69/100 cursaron historia y 35/100 cursaron ambas, entonces:
\(54/100 + 69/100 - 35/100 = 88/100 = 0.88\)
88/100 alumnos cursaron Matemáticas o Historia.
El estudiante no haya llevado ninguna de estas materias.
R: \(1 - 88/100 = 22/100 = 0.22\)
La probabilidad de que un estudiante no haya cursado ninguna de las dos materias es 0.22
El estudiante haya cursado historia pero no matemáticas.
R: \(69/100 - 35/100 = 34/100\)
La probabilidad de que un estudiante haya cursado historia pero no matemáticas es de 34/100 = 0.34
A los obreros de las fábricas se les motiva constantemente a practicar la tolerancia cero para prevenir accidentes en el lugar de trabajo. Los accidentes pueden ocurrir porque el ambiente o las condiciones laborales son inseguros.
Por otro lado, los accidentes pueden ocurrir por negligencia (condiciones inseguras) o fallas humanas.
También el horario de trabajo de 7:00 a.m. a 3:00 p.m. (turno matutino), de 3:00 p.m. a 11:00 p.m. (turno vespertino) y de 11:00 p.m. a 7:00 a.m. (turno nocturno) podría ser otro factor.
Se tienen los porcentajes (probabilidades) de los accidentes por la combinación de condiciones son los que siguen:
| Turno | Condiciones inseguras | Fallas humanas |
|---|---|---|
| Matutino | 0.05 | 0.32 |
| Vespertino | 0.06 | 0.25 |
| Nocturno | 0.02 | 0.30 |
¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en el turno nocturno?
R: \(0.02 + 0.30 = 0.32\)
La probabilidad de que haya ocurrido en el turno nocturno es de 0.32, o bien del 32%.
¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a una falla humana?
R: \(0.32 + 0.25 + 0.30 = 0.87\)
La probabilidad de que el accidente se debiera a una falla humana es de 0.87, o bien del 87%
¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a las condiciones inseguras?
R: \(0.05 + 0.06 + 0.02 = 0.13\)
La probabilidad de que el accidente fuera por condiciones inseguras es de 0.13, o 13%.
d ) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turnos vespertino o nocturno?
R: Turno vespertino: \(0.06 + 0.25 = 0.31\)
Turno Vespertino o Nocturno:
\(0.31 + 0.32 = 0.63\)
La probabilidad de que haya ocurrido en el turno vespertino o en el nocturno es de 0.63, o bien del 63%.
En la Probabilidad, se considera la existencia de 2 tipos de eventos: Excluyentes y No Excluyentes. Lo primero significa que no pueden suceder a la vez que otro evento ya que no poseen datos en común, y No Excluyentes es que sí pueden suceder y coexistir con otro evento, debido a que tienen datos similares. Bajo estos conceptos surgen distintos métodos para determinar la Probabilidad de que eventos Excluyentes o No Excluyentes tomen lugar: La Unión, la Intersección y el Complemento. La Unión consiste en la combinación de los elementos de dos conjuntos Excluyentes el uno del otro, y su probabilidad se consigue sumando las probabilidades de los eventos de dichos conjuntos, efectivamente cubriendo la probabilidad de que suceda uno u otro de dichos eventos. La Intersección ocurre cuando los conjuntos no son excluyentes, por lo que tienen elementos en común, y esto amerita que no se consideren más que una sola vez en el conjunto. La probabilidad de que se seleccione un dato de la intersección se determina sumando las probabilidades de los conjuntos que se unieron, menos la probabilidad que tengan los elementos en común de dichos conjuntos. Por último, el Complemento es la probabilidad que tiene un conjunto o evento de no ocurrir: Y esto se determina restando el conjunto determinado a todo el universo de datos. La probabilidad de ello se consigue de igual forma, restándole la probabilidad del conjunto a la probabilidad del espacio muestral, o sea, 1.
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
———. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.