Determinar probabilidad mediante operaciones de union intersección y complemento
Determinar probabilidad mediante operaciones de union intersección y complemento con datos simulados.
En el marco de referencia se presentan tanto ejercicios simulados como ejercicios extraídos a partir de la literatura o bibliografía señalada de probabilidad.
En algunos ejercicios presentados, se determina la probabilidad a partir de los puntos muestrales en relación al espacio muestral, en otros casos ya se da la probalidad de los eventos o conjutos.
Pendiente
Se presentan algunos ejercicios de probabilidad y se demuestran con las funciones de union(), intersect() setdfiff()
De un mazo de 52 cartas inglesas se simulan probabilidades usando funciones union() e intersect()
La variable S.baraja contiene todo el espacio muestral de la baraja inglesa a partir de los cuatro conjuntos de figuras que sería corazones, tréboles, picas y diamantes.
La variable \(N\) es la cantidad de elementos del espacio muestral, o sea 52 cartas.
Las variables reyes y ases es para identificar que existen cuatro reyes o cuatro ases en la baraja de 52 cartas y para propósito de responder a la pregunta.
La variable \(n.numero\) contiene la cantidad de barajas de agún número o denominación, por ejemplo: 4 reyes, cuatro ases, cuatro barajas con denominción de diez, cuatro de valor numérico dos, y cuatro de cada tipo de baraja \(K,K,K,K\) o \(A,A,A,A\) o \(10,10,10,10\)
La variable \(n.figuras\) contiene la cantidad de barajas de aguna figura, es decir hay 13 de corazones rojos, trece de diamantes, trece de picas y trece de tréboles de cada tipo \(A,K,Q,J,2,3,4,5,6,7,8,9,10\)
corazones <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
treboles <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
picas <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
diamantes <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
S.baraja <- c(corazones, treboles, picas, diamantes)
S.baraja## [1] "K" "Q" "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q"
## [16] "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q" "J" "10"
## [31] "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q" "J" "10" "9" "8"
## [46] "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A"reyes <- rep("K", 4)
reyes## [1] "K" "K" "K" "K"ases <- rep("A", 4)
ases## [1] "A" "A" "A" "A"N <- length(S.baraja)
N## [1] 52n.numeros <- 4
n.numeros## [1] 4n.figuras <- 13
n.figuras ## [1] 13prob.numero <- n.numeros / N
paste ("La probabilidad de que sea un rey es: ", round(prob.numero * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que sea un rey es: 7.69 %"prob.figura <- n.figuras / N
paste ("La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: ", round(prob.figura * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: 25 %"¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga una baraja de un mazo de 52 cartas inglesas y que ésta baraja sea de corazones O de tréboles?
Usando la Fórmula si son conjuntos mutuamente excluyentes y si no son mutuamente excluyentes se debe omitir o no considerar tercer término o sea la intersección. \(P(corazones \cap treboles)\)
\[ P(corazones \cup treboles) = P(corazones) + P(treboles) - P(corazones \cap treboles) \]
Se reutiliza la variable prob.figura que representa el 25 % de que sea de algún tipo de figura. Los conjuntos son excluyentes porque no existen elementos en común entre corazones y tréboles.
P.corazonesUtreboles <- prob.figura + prob.figura
paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(P.corazonesUtreboles * 100,2), "%")## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: 50 %"Se repite dos veces porque en la realidad es que son figuras diferentes y por consecuencia barajas diferentes.
rep(union(corazones, treboles),2)## [1] "K" "Q" "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q"
## [16] "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A"n <- length(rep(union(corazones, treboles),2))
prob <- n/N
paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: 50 %"¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” o as “A” y que sea de figura de corazones rojos?
Para responder a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.
intersect(reyes, corazones)## [1] "K"prob <- length(intersect(reyes, corazones)) / N
paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: 1.92 %"¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación as “A” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.
intersect(ases, corazones)## [1] "A"prob <- length(intersect(ases, corazones)) / N
paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: 1.92 %"Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A con su probabilidad P(A) de 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B P(B) es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es \(P(A\cap B)\) es 0.5.
¿qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas?. Para determinar esta probabilidad, se utiliza la fórmula de la regla aditiva de la probabilidad entendiendo que son conjuntos no mutuamente excluyentes (Walpole, Myers, and Myers 2012a). \(P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B)\)
\(P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.8 + 0.6 – 0.5 = 0.9\)
prob.AUB <- 0.8 + 0.6 - 0.5
paste("La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : ", prob.AUB)## [1] "La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : 0.9"¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?, es decir, ¿cuál es la probabilidad de \(P(siete∪once)\) (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
Sea \(siete\) el evento de que resulte la suma en 7 y \(once\) el evento de que salga la suma de los dos dados en 11.
¿Cuántos hay que sumen siete en relación al total de eventos?, con ello se puede determinar su probabilidad?
Se puede reutilizar funciones y elementos del caso 7 en el ejercicio de lanzar dos dados. Se reutiliza una función llamada f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7) y f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11) para determinar cuántas ocasiones hay de cada suma.
Primero hay que cargar las funciones
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")
# source("../funciones/misfunciones.r")Se utiliza \(N\) para total de espacio muestra y n.siente para los eventos que la suma sea siete.
Con la llamada de la función f.contar.dados(), se muestran los puntos muestrales ya sumando los dos dados y con ella, también se obtiene la cantidad de ocasiones de que la suma sea siete y más adelante se indentifica para cuando la suma sea once.
S.espacio.muestral <- as.character(c(11:16, 21:26, 31:36, 41:46, 51:56, 61:66))
S.espacio.muestral## [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"N <- length(S.espacio.muestral)
N## [1] 36n.siete <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12n.siete## [1] 6prob.siete <- n.siete / N
prob.siete## [1] 0.1666667¿Cuantos eventos hay que sumen once en relación al total para identificar? con la respuesta se debe encontrar su probabilidad?
n.once <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12n.once## [1] 2prob.once <- n.once / N
prob.once## [1] 0.05555556Ahora bien, para la suma que sea siete de los 36 puntos muestrales ocurre un total de 6 ocasiones y sólo 2 de ellos ocurre para la suma de once
Son conjuntos mutuamente excluyentes porque no hay condiciones de que haya eventos comunes o es siete o es once en el lanzamiento de dos dados simultáneamente.
\[P(siete \cup once) = P(siente) + P(once)\]
prob <- prob.siete + prob.once
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", prob)## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es: 0.222222222222222"S.espacio.muestral## [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"sietes <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 7, 7)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12onces <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 11, 11)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12Se presentan los conjuntos de sietes y onces respectivamente y la unión de los mismos.
sietes## [1] 16 17 18 19 20 21onces## [1] 34 35Se determina la probabilidad de la unión de los conjuntos sietes y onces y se contesta a la pregunta del ejercicio de
sietesUonces <- union(sietes, onces)
n <- length(sietesUonces)
prob <- n/N
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", round(prob * 100, 2))## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es: 22.22"Las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo elija uno de color verde, uno blanco, uno rojo o uno azul son 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23, respectivamente,¿cuál es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores?. (Walpole, Myers, and Myers 2012b).
Sean V, B, R y A los eventos de que un comprador seleccione respectivamente algún color de un automóvil de entre verde, blanco, rojo o azul. Como estos cuatro eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad es:
\[P(V∪B∪R∪A)=P(V)+P(B)+P(R)+P(A)=0.09+0.15+0.21+0.23=0.68.\]
Solo se suman las probabilidades.
prob.V <- 0.09
prob.B <- 0.15
prob.R <- 0.21
prob.A <- 0.23
prob <- sum(prob.V, prob.B, prob.R, prob.A)
paste ("La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es:", prob)## [1] "La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es: 0.68"En un juego de dominó existen 28 fichas. Cada ficha tiene dos lados con puntos entre cero y seis. Las siguientes tablas identifican cada ficha de dominó y la suma de los puntos de cada una. El cero significa la fichas “gueras” en el contexto de dominó.
Fichas del cero al tres
| Fichas con 0 | Suma | Fichas con 1 | Suma | Fichas con 2 | Suma | Fichas con 3 | Suma |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-0 | 0 | 1-1 | 2 | 2-2 | 4 | 3-3 | 6 |
| 0-1 | 1 | 1-2 | 3 | 2-3 | 5 | 3-4 | 7 |
| 0-2 | 2 | 1-3 | 4 | 2-4 | 6 | 3-5 | 8 |
| 0-3 | 3 | 1-4 | 5 | 2-5 | 7 | 3-6 | 9 |
| 0-4 | 4 | 1-5 | 6 | 2-6 | 8 | ||
| 0-5 | 5 | 1-6 | 7 | ||||
| 0-6 | 6 |
Fichas del cuatro al seis
| Fichas con 4 | Suma | Fichas con 5 | Suma | Fichas con 6 | Suma |
|---|---|---|---|---|---|
| 4-4 | 8 | 5-5 | 10 | 6-6 | 12 |
| 4-5 | 9 | 5-6 | 11 | ||
| 4-6 | 10 |
Determine probabilidades al extraer una sola ficha de dominó sumando los puntos de los lados de la ficha.
Para este caso se utilizan funciones previamente realizadas y cargadas que se encuentra en la dirección URL“[https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")](https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")))”
Se presentan las fichas de dominó.
S <- f.fichas.domino()
S## [1] "00" "01" "02" "03" "04" "05" "06" "11" "12" "13" "14" "15" "16" "22" "23"
## [16] "24" "25" "26" "33" "34" "35" "36" "44" "45" "46" "55" "56" "66"Se presenta la tabla de distribución y sus probabilidades
S.distribucion <- f.distribucion.fichas.domino(S, 0,12)
S.distribucion## sumas Freq prob acum
## 1 0 1 0.03571429 0.03571429
## 2 1 1 0.03571429 0.07142857
## 3 2 2 0.07142857 0.14285714
## 4 3 2 0.07142857 0.21428571
## 5 4 3 0.10714286 0.32142857
## 6 5 3 0.10714286 0.42857143
## 7 6 4 0.14285714 0.57142857
## 8 7 3 0.10714286 0.67857143
## 9 8 3 0.10714286 0.78571429
## 10 9 2 0.07142857 0.85714286
## 11 10 2 0.07142857 0.92857143
## 12 11 1 0.03571429 0.96428571
## 13 12 1 0.03571429 1.00000000Con lo anterior, ya se puede contestar las siguientes preguntas:
suma = 4/28
paste("La probabilidad de que la suma sea exactamnente igual a 6 es de: ", round(suma*100, 2), "% o ", round(suma, 4))## [1] "La probabilidad de que la suma sea exactamnente igual a 6 es de: 14.29 % o 0.1429"suma = 3/28
paste("La probabilidad de que la suma sea exactamnente igual a 8 es de: ", round(suma*100, 2), "% o ", round(suma, 4))## [1] "La probabilidad de que la suma sea exactamnente igual a 8 es de: 10.71 % o 0.1071"suma = 1/28
paste("La probabilidad de que la suma sea exactamnente igual a 12 es de: ", round(suma*100, 2), "% o ", round(suma, 4))## [1] "La probabilidad de que la suma sea exactamnente igual a 12 es de: 3.57 % o 0.0357"suma=0.5714
paste("La probabilidad de que la suma sea entre 0 y 6 es de: ", round(suma*100, 2), "% o ", round(suma, 4))## [1] "La probabilidad de que la suma sea entre 0 y 6 es de: 57.14 % o 0.5714"sum=0.785714
suma=1-sum
paste("La probabilidad de que la suma sea al menos 9 es de: ", round(suma*100, 2), "% o ", round(suma, 4))## [1] "La probabilidad de que la suma sea al menos 9 es de: 21.43 % o 0.2143"De la literatura de (Walpole, Myers, and Myers 2012a). En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que
mate=54/100
hist=69/100
matehist=35/100
prob=(mate-matehist)+(hist-matehist)
paste("La probabilidad de que alguien haya estudiado matemáticas o historia es de: ", round(prob*100, 2), "% o ", prob)## [1] "La probabilidad de que alguien haya estudiado matemáticas o historia es de: 53 % o 0.53"prob=1-(mate+hist-matehist)
paste("La probabilidad de que alguien no llevara ni matematicas ni historia es de: ", round(prob*100,2), "% o ", prob)## [1] "La probabilidad de que alguien no llevara ni matematicas ni historia es de: 12 % o 0.12"prob=hist-matehist
paste("La probabilidad de que alguien cursara historia pero no matemáticas es de: ", round(prob*100, 2), "% o ", prob)## [1] "La probabilidad de que alguien cursara historia pero no matemáticas es de: 34 % o 0.34"A los obreros de las fábricas se les motiva constantemente a practicar la tolerancia cero para prevenir accidentes en el lugar de trabajo. Los accidentes pueden ocurrir porque el ambiente o las condiciones laborales son inseguros.
Por otro lado, los accidentes pueden ocurrir por negligencia (condicione sinseguras) o fallas humanas.
También el horario de trabajo de 7:00 a.m. a 3:00 p.m. (turno matutino), de 3:00 p.m. a 11:00 p.m. (turno vespertino) y de 11:00 p.m. a 7:00 a.m. (turno nocturno) podría ser otro factor.
Se tienen los porcentajes (probabilidades) de los accidentes por la combinación de condiciones son los que siguen:
| Turno | Condiciones inseguras | Fallas humanas |
|---|---|---|
| Matutino | 0.05 | 0.32 |
| Vespertino | 0.06 | 0.25 |
| Nocturno | 0.02 | 0.30 |
prob=0.02+0.30
paste("La probabilidad de que el accidente fuera en el horario nocturno es de: ", round(prob*100,2), "%, o ", prob)## [1] "La probabilidad de que el accidente fuera en el horario nocturno es de: 32 %, o 0.32"prob=0.32+0.25+0.30
paste("La probabilidad de que el accidente haya ocurrido por una falla humana es de: ", round(prob*100,2), "% o ", prob)## [1] "La probabilidad de que el accidente haya ocurrido por una falla humana es de: 87 % o 0.87"prob=0.05+0.06+0.02
paste("La probabilidad de que el accidente haya ocurrido por condiciones inseguras es de: ", round(prob*100, 2), "% o ", prob)## [1] "La probabilidad de que el accidente haya ocurrido por condiciones inseguras es de: 13 % o 0.13"prob=0.06+0.25+0.02+0.30
paste("La probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turno vespertino o nocturno es de: ", round(prob*100,2), "% o ", prob)## [1] "La probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turno vespertino o nocturno es de: 63 % o 0.63"Se solicita una descripción de al menos 200 palabras de los ejercicios del caso .
Yo ya lleve una clase de estadística antes, así que estoy ligeramente familiarizado con algunos términos que hemos estado viendo, algunos los recuerdo un poco como lo pudieron haber sido la varianza o desviación estándar (que solo recordaba el nombre) o que no recuerde nada como lo pueden ser las permutaciones, pero aun así el hecho de tener alguna base me hace comprender un poco mejor los temas vistos.
El tema de los complementos o de los eventos es algo que a decir verdad no recordaba tanto, así que fue bueno volver a aprender esto de nuevo, además de aprender algunas funciones de R Studio como lo pueden ser union(), intersect() o setdiff() los cuales nos pueden ayudar en medidas estadísticas de los temas previamente mencionados.
Durante los ejercicios que vimos a lo largo de este caso pude ver como se plasmaban los temas en distintas estadísticas que son muy fáciles de comprender, como lo son los porcentajes. Específicamente durante los momentos en los que teníamos que encontrar cuantos casos de algo se encontraba en el conjunto de datos, lo cual se lograba dividiendo el número de casos entre el total y luego eso multiplicarlo por 100. Durante este ejercicio hemos utilizado las operaciones de conjuntos, utilizamos las uniones en el momento en que queríamos sumar las dos posibilidades de algo para saber cual seria su probabilidad en conjunto, utilizamos las interacciones para saber si hay datos que están en un conjunto y que a su vez estén en otro conjunto, la diferencia se utilizó para saber cuando hay datos en un conjunto pero no en otro y por último el complemento se utilizó en el momento que queríamos saber cuando NO ocurriría un evento, restándole a 1 la probabilidad de que ocurra, esto último también se puede utilizar para obtener el momento en el que ocurrirá un evento.
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
———. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.