Determinar probabilidad mediante operaciones de union intersección y complemento
Determinar probabilidad mediante operaciones de union intersección y complemento con datos simulados.
En el marco de referencia se presentan tanto ejercicios simulados como ejercicios extraídos a partir de la literatura o bibliografía señalada de probabilidad.
En algunos ejercicios presentados, se determina la probabilidad a partir de los puntos muestrales en relación al espacio muestral, en otros casos ya se da la probalidad de los eventos o conjutos.
Se presentan algunos ejercicios de probabilidad y se demuestran con las funciones de union(), intersect() setdfiff()
De un mazo de 52 cartas inglesas se simulan probabilidades usando funciones union() e intersect()
La variable S.baraja contiene todo el espacio muestral de la baraja inglesa a partir de los cuatro conjuntos de figuras que sería corazones, tréboles, picas y diamantes.
La variable \(N\) es la cantidad de elementos del espacio muestral, o sea 52 cartas.
Las variables reyes y ases es para identificar que existen cuatro reyes o cuatro ases en la baraja de 52 cartas y para propósito de responder a la pregunta.
La variable \(n.número\) contiene la cantidad de barajas de agún número o denominación, por ejemplo: 4 reyes, cuatro ases, cuatro barajas con denominción de diez, cuatro de valor numérico dos, y cuatro de cada tipo de baraja \(K,K,K,K\) o \(A,A,A,A\) o \(10,10,10,10\)
La variable \(n.figuras\) contiene la cantidad de barajas de aguna figura, es decir hay 13 de corazones rojos, trece de diamantes, trece de picas y trece de tréboles de cada tipo \(A,K,Q,J,2,3,4,5,6,7,8,9,10\)
corazones <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
treboles <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
picas <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
diamantes <- c('K', 'Q', 'J', 10:2,'A')
S.baraja <- c(corazones, treboles, picas, diamantes)
S.baraja## [1] "K" "Q" "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q"
## [16] "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q" "J" "10"
## [31] "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q" "J" "10" "9" "8"
## [46] "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A"reyes <- rep("K", 4)
reyes## [1] "K" "K" "K" "K"ases <- rep("A", 4)
ases## [1] "A" "A" "A" "A"N <- length(S.baraja)
N## [1] 52n.numeros <- 4
n.numeros ## [1] 4n.figuras <- 13
n.figuras ## [1] 13prob.numero <- n.numeros / N
paste ("La probabilidad de que sea un rey es: ", round(prob.numero * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que sea un rey es: 7.69 %"prob.figura <- n.figuras / N
paste ("La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: ", round(prob.figura * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que sea de corazones (rojos) es de: 25 %"¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga una baraja de un mazo de 52 cartas inglesas y que ésta baraja sea de corazones O de tréboles?
Usando la Fórmula si son conjuntos mutuamente excluyentes y si no son mutuamente excluyentes se debe omitir o no considerar tercer término o sea la intersección.
\(P(corazones \cap treboles)\)
\(P(corazones \cup treboles) = P(corazones) + P(treboles) - P(corazones \cap treboles)\)
Se reutiliza la variable prob.figura que representa el 25 % de que sea de algún tipo de figura. Los conjuntos son excluyentes porque no existen elementos en común entre corazones y tréboles.
P.corazonesUtreboles <- prob.figura + prob.figura
paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(P.corazonesUtreboles * 100,2), "%")## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: 50 %"Se repite dos veces porque en la realidad es que son figuras diferentes y por consecuencia barajas diferentes.
rep(union(corazones, treboles),2)## [1] "K" "Q" "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A" "K" "Q"
## [16] "J" "10" "9" "8" "7" "6" "5" "4" "3" "2" "A"n <- length(rep(union(corazones, treboles),2))
prob <- n/N
paste("La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilid de que sea corazones o tréboles es del: 50 %"¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” o as “A” y que sea de figura de corazones rojos?
Para responder a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación rey “K” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.
intersect(reyes, corazones)## [1] "K"prob <- length(intersect(reyes, corazones)) / N
paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea rey 'R' y sea de corazones es del: 1.92 %"¿cuál es la probabilidad de que en un mazo de baraja inglesa, se extraiga una baraja que sea de denominación as “A” y que sea de figura de corazones rojos? se necesita una intersección.
intersect(ases, corazones)## [1] "A"prob <- length(intersect(ases, corazones)) / N
paste ("La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se extraiga una carta que sea as 'A' y sea de corazones es del: 1.92 %"Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A con su probabilidad P(A) de 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B P(B) es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es \(P(A\cap B)\) es 0.5, ¿qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas?. Para determinar esta probabilidad, se utiliza la fórmula de la regla aditiva de la probabilidad entendiendo que son conjuntos no mutuamente excluyentes (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
\(P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B)\)
\(P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9\)
prob.AUB <- 0.8 + 0.6 - 0.5
paste("La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : ", prob.AUB)## [1] "La probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : 0.9"¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?, es decir, ¿cuál es la probabilidad de \(P(siete\cap once)\)Walpole, Myers, and Myers 2012a).
Sea \(siete\) el evento de que resulte la suma en 7 y \(once\) el evento de que salga la suma de los dos dados en 11.
¿Cuántos hay que sumen siete en relación al total de eventos?, con ello se puede determinar su probabilidad?
Se puede reutilizar funciones y elementos del caso 7 en el ejercicio de lanzar dos dados. Se reutiliza una función llamada f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7) y f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11) para determinar cuántas ocasiones hay de cada suma.
Primero hay que cargar las funciones.
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")
# source("../funciones/misfunciones.r")Se utiliza \(N\) para total de espacio muestra y n.siente para los eventos que la suma sea siete.
Con la llamada de la función f.contar.dados(), se muestran los puntos muestrales ya sumando los dos dados y con ella, también se obtiene la cantidad de ocasiones de que la suma sea siete y más adelante se indentifica para cuando la suma sea once.
S.espacio.muestral <- as.character(c(11:16, 21:26, 31:36, 41:46, 51:56, 61:66))
S.espacio.muestral## [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"N <- length(S.espacio.muestral)
N## [1] 36n.siete <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 7, final = 7)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12n.siete## [1] 6prob.siete <- n.siete / N
prob.siete## [1] 0.1666667¿Cuantos eventos hay que sumen once en relación al total para identificar? con la respuesta se debe encontrar su probabilidad?
n.once <- f.contar.dados(S.espacio.muestral, inicial = 11, final = 11)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12n.once## [1] 2prob.once <- n.once / N
prob.once## [1] 0.05555556Ahora bien, para la suma que sea siete de los 36 puntos muestrales ocurre un total de 6 ocasiones y sólo 2 de ellos ocurre para la suma de once
Son conjuntos mutuamente excluyentes porque no hay condiciones de que haya eventos comunes o es siete o es once en el lanzamiento de dos dados simultáneamente.
\(P(siete\cap once)= P(siete) + P(once)\)
prob <- prob.siete + prob.once
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", prob)## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es: 0.222222222222222"S.espacio.muestral## [1] "11" "12" "13" "14" "15" "16" "21" "22" "23" "24" "25" "26" "31" "32" "33"
## [16] "34" "35" "36" "41" "42" "43" "44" "45" "46" "51" "52" "53" "54" "55" "56"
## [31] "61" "62" "63" "64" "65" "66"sietes <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 7, 7)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12onces <- f.sumar.dados(S.espacio.muestral, 11, 11)## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12Se presentan los conjuntos de sietes y onces respectivamente y la unión de los mismos.
sietes## [1] 16 17 18 19 20 21onces## [1] 34 35Se determina la probabilidad de la unión de los conjuntos sietes y onces y se contesta a la pregunta del ejercicio de
sietesUonces <- union(sietes, onces)
n <- length(sietesUonces)
prob <- n/N
paste("La probabilidad de la suma sea siete un nces es: ", round(prob * 100, 2))## [1] "La probabilidad de la suma sea siete un nces es: 22.22"Las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo elija uno de color verde, uno blanco, uno rojo o uno azul son 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23, respectivamente,¿cuál es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores?. (Walpole, Myers, and Myers 2012b).
Sean V, B, R y A los eventos de que un comprador seleccione respectivamente algún color de un automóvil de entre verde, blanco, rojo o azul. Como estos cuatro eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad es:
\(P(V ∪ B ∪ R ∪ A) = P(V) + P(B) + P(R) + P(A)= 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68.\)
Solo se suman las probabilidades
prob.V <- 0.09
prob.B <- 0.15
prob.R <- 0.21
prob.A <- 0.23
prob <- sum(prob.V, prob.B, prob.R, prob.A)
paste ("La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es:", prob)## [1] "La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es: 0.68"En un juego de dominó existen 28 fichas. Cada ficha tiene dos lados con puntos entre cero y seis. Las siguientes tablas identifican cada ficha de dominó y la suma de los puntos de cada una. El cero significa la fichas “gueras” en el contexto de dominó.
Fichas del cero al tres
| Fichas con 0 | Suma | Fichas con 1 | Suma | Fichas con 2 | Suma | Fichas con 3 | Suma |
| 0-0 | 0 | 1-1 | 2 | 2-2 | 4 | 3-3 | 6 |
| 0-1 | 1 | 1-2 | 3 | 2-3 | 5 | 3-4 | 7 |
| 0-2 | 2 | 1-3 | 4 | 2-4 | 6 | 3-5 | 8 |
| 0-3 | 3 | 1-4 | 5 | 2-5 | 7 | 3-6 | 9 |
| 0-4 | 4 | 1-5 | 6 | 2-6 | 8 | ||
| 0-5 | 5 | 1-6 | 7 | ||||
| 0-6 | 6 |
Fichas del cuatro al seis
| Fichas con 4 | Suma | Fichas con 5 | Suma | Fichas con 6 | Suma |
|---|---|---|---|---|---|
| 4-4 | 8 | 5-5 | 10 | 6-6 | 12 |
| 4-5 | 9 | 5-6 | 11 | ||
| 4-6 | 10 |
Determine probabilidades al extraer una sola ficha de dominó sumando los puntos de los lados de la ficha.
Para este caso se utilizan funciones previamente realizadas y cargadas que se encuentra en la dirección URL“[https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")](https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/funciones/misfunciones.r")))”
Se presentan las fichas de dominó.
S <- f.fichas.domino()
S## [1] "00" "01" "02" "03" "04" "05" "06" "11" "12" "13" "14" "15" "16" "22" "23"
## [16] "24" "25" "26" "33" "34" "35" "36" "44" "45" "46" "55" "56" "66"Se presenta la tabla de distribución y sus probabilidades
S.distribucion <- f.distribucion.fichas.domino(S, 0,12)
S.distribucion## sumas Freq prob acum
## 1 0 1 0.03571429 0.03571429
## 2 1 1 0.03571429 0.07142857
## 3 2 2 0.07142857 0.14285714
## 4 3 2 0.07142857 0.21428571
## 5 4 3 0.10714286 0.32142857
## 6 5 3 0.10714286 0.42857143
## 7 6 4 0.14285714 0.57142857
## 8 7 3 0.10714286 0.67857143
## 9 8 3 0.10714286 0.78571429
## 10 9 2 0.07142857 0.85714286
## 11 10 2 0.07142857 0.92857143
## 12 11 1 0.03571429 0.96428571
## 13 12 1 0.03571429 1.00000000Con lo anterior, ya se puede contestar las siguientes preguntas:
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente cuatro?. Son 3 ocasione en relación a 28 que la suma sea cuatro. \(3/28=0.1071\)
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente seis? \(4/28=0.1428\)
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente ocho? \(3/28=0.1071\)
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente doce? \(1/28 = 0.0357\)
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea entre cero y seis? es decir la suma de las probabilidades de cero a seis? \(16/28 = 0.571\)
¿Cuál es la probabilidad que al menos la suma sea nueve?, el complemento a partir de ocho. \(0.2142\)
De la literatura de (Walpole, Myers, and Myers 2012a). En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que
M <- 54
H <- 69
MH <- 35
alumnos <- 100prob.M <- M / alumnos #probabilidad de que salga un alumno de matemáticas
prob.M## [1] 0.54prob.H <- H / alumnos #probabilidad de que salga un alumno de historia
prob.H## [1] 0.69prob.MH <- MH / alumnos
prob.MH## [1] 0.35El estudiante haya cursado matemáticas o historia:
P.matemáticasUhistoria <- prob.M + prob.H - prob.MH
paste("La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que haya estudiado matemáticas o historia es de: ", round(P.matemáticasUhistoria * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que haya estudiado matemáticas o historia es de: 88 %"el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias:
P.noMaterias <- alumnos - M - H + MH
paste("La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que no haya estudiado ni matemáticas ni historia es de: ", round(P.noMaterias), "%")## [1] "La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que no haya estudiado ni matemáticas ni historia es de: 12 %"el estudiante haya cursado historia pero no matemáticas:
P.Historia <- H - MH
paste("La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que no haya estudiado matemáticas pero sí historia es de: ", round(P.Historia), "%")## [1] "La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que no haya estudiado matemáticas pero sí historia es de: 34 %"A los obreros de las fábricas se les motiva constantemente a practicar la tolerancia cero para prevenir accidentes en el lugar de trabajo. Los accidentes pueden ocurrir porque el ambiente o las condiciones laborales son inseguros.
Por otro lado, los accidentes pueden ocurrir por negligencia (condiciones inseguras) o fallas humanas.
También el horario de trabajo de 7:00 a.m. a 3:00 p.m. (turno matutino), de 3:00 p.m. a 11:00 p.m. (turno vespertino) y de 11:00 p.m. a 7:00 a.m. (turno nocturno) podría ser otro factor.
Se tienen los porcentajes (probabilidades) de los accidentes por la combinación de condiciones son los que siguen:
| Turno | Condiciones inseguras | Fallas humanas |
|---|---|---|
| Matutino | 0.05 | 0.32 |
| Vespertino | 0.06 | 0.25 |
| Nocturno | 0.02 | 0.30 |
¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en el turno nocturno? del 0.32 o 32%
¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a una falla humana? 0.87 u 87 %
¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a las condiciones inseguras? 0.13 o 1.3%
¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turnos vespertino o nocturno? 0.63 o 63%
En el presente caso, caso número 10, retomamos una vez más lo que viene siendo la probabilidad, dicho término puede ser definido como la posibilidad de que algún suceso o evento ocurra, siendo que haya muchas opciones de que otras respuestas aparezcan, justo como lo vimos en el caso anterior, el caso número 9. En este caso aprendí de nuevos términos y, con ellos, sus fórmulas correspondientes. El primero de ellos es la unión, que en simples palabras solo es juntar dos o más cosas, hablando generalmente, claro está, en probabilidad no está tan alejado de esta definición, la unión de sucesos es una operación cuyo resultado está compuesto por todos los sucesos elementales no repetidos que dos o más conjuntos tienen en común y no en común. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la unión de A y B estaría formada por todos los conjuntos que no se repiten y que tienen en común A y B. Intuitivamente, la probabilidad de la unión de sucesos de A y B implicaría responder a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que salga A o de que salga B? La unión se representa con el símbolo U. La intersección es otro nuevo concepto o aplicación para mí: La intersección de sucesos es una operación cuyo resultado está compuesto por los sucesos no repetidos y comunes de dos o más conjuntos.En palabras más sencillas, dados dos sucesos A y B, diremos que su intersección se compone por los sucesos elementales que tengan en común. También podríamos indicar que la intersección de sucesos implica responder a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A y B al mismo tiempo? El símbolo con el que se denota la intersección es el siguiente: ∩. Por último, también conocí la diferencia conjunto, la cual implica identificar los elementos que están en un conjunto pero que no están en otro, y El complemento de un evento A es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están incluidos en los resultados del evento A. Después de conocer algunos de los conceptos, hablaremos sobre los ejercicios realizados, en este caso se hicieron varios ejercicios para poner a prueba lo ya antes visto. Primero se hizo el ejercicio de las cartas con una baraja inglesa, conociendo el número que estas tienen encontramos, con ayuda de las nuevas fórmulas, la probabilidad de que saliera alguna de las figuras características de la baraja inglesa, se respondieron algunas preguntas, un ejemplo es la probabilidad de que sea un rey es del 7.69 %. Después proseguimos con un experimento sobre entrevistas respondiendo a la consigna de la probabilidad de recibir ofertas de una u otra empresa es de : 0.9. Continuamos con el común experimento de los dados pero ahora usando union, respondimos la pregunta de ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea siete?, siendo su respuesta 0.222222222222222. Después se hizo una simulación de la compra de un automóvil con diferentes opciones de color, uno de color verde, uno blanco, uno rojo o uno azul. La probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores es: 0.68. Luego se usaron piezas de dominó para realizar sumas y saber qué probabilidades había de que la suma de dos piezas diera un cierto número, una de las preguntas fue: ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente cuatro?: 3/28=0.1701. Despúes se utilizó las diversas fórmulas de unión e intersección para encontrar las posibilidades de encontrar un alumno que estudió matemáticas, historia, ambas o ninguna en una preparatoria. Las respuestas fueron las siguientes:
La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que haya estudiado matemáticas o historia es de: 88 %
La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que no haya estudiado ni matemáticas ni historia es de: 12
La probabilidad que al escoger a un alumno al azar que no haya estudiado matemáticas pero sí historia es de: 34 %
Por último, se nos dio una situación en una empresa donde nos muestran una tabla con posibilidades de riesgo a la hora de trabajar, siendo como factores de riesgo los errores humanos y el turno en el que se trabajaba. Se respondieron algunas preguntas con respecto a esto:
La probabilidad de que ocurra un accidente en el horario nocturno es del 0.32 o 32%, tomando en cuenta tanto los errores humanos y el turno.
La probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a una falla humana es del 0.87 u 87 %
La probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a las condiciones inseguras es del 0.13 o 1.3%
La probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turnos vespertino o nocturno es del 0.63 o 63%
Como conclusión, en este caso conocimos un poco más sobre el amplio territorio de la probabilidad, nuevos términos y fórmulas que nos ayudan a encontrar las diferentes posibilidades de que algo ocurra, al igual que seguir utilizando el software R, el cual expande nuestros conocimientos en los ambientes de programación como ingenieros en sistemas que somos.
"
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012b. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
———. 2012a. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.