Desarrollar ejercicios de probabilidad
Construir ejercicios de probabilidad conforme a partir de datos conforme la teoría de probabilidad
Para cuando los espacios muestrales tienen un espacio finito o un número de elementos finito, la probabilidad de ocurrencia de un evento que resulta de tal experimento estadístico se evalúa utilizando un conjunto de números reales denominados pesos o probabilidades, que van de \(0\) a 1(Walpole, Myers, and Myers 2012)
Para todo punto en el espacio muestral se asigna una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es \(1\) .(Walpole, Myers, and Myers 2012)
Si se tiene certeza para creer que al llevar a cabo el experimento es bastante probable que ocurra cierto punto muestral, le tendríamos que asignar a éste una probabilidad cercana a uno. Por el contrario, si se cree que no hay probabilidades de que ocurra cierto punto muestral, se tendría que asignar a éste una probabilidad cercana a cero.
En un espacio muestral en donde todos los puntos muestrales tienen la misma oportunidad de ocurrencia, por lo tanto, se les asignan probabilidades iguales.
A los puntos fuera del espacio muestral, es decir, a los eventos simples que no tienen posibilidades de ocurrir, se les asigna una probabilidad de cero.
Entonces: La probabilidad de un evento A debe estar entre cero y uno
\(0≤P(A)≤1\)
La probabilidad de todo el espacio meustral S debe ser uno
\(P(S)=1\)
La probabilidad de que no ocurra un evento es cero
\(p(ϕ)=0\)
Ejemplo: lanzar un dado. La probabilidad de que caiga un 1, un 2, un 3 un 4 un 5 un 6 es la misma para cada elemento. Siendo \(S\) el espacio muestral, cual es la probabilidad de que al lanzar un dado a una mesa, el valor del mismo cara arriba sea un 5?, y ¿cuál es la probabilidad de que sea un 7?
¿Cuántas veces está el 5 en el espacio muestral \(S\) ?
¿Cuántas veces está el 7 en el espacio muestral \(S\) ?
Entonces dividir el número de ocurrencias del 5 entre el número total de elementos \(N\) .
\[ prob = \frac{n}{N} \]
En términos porcentuales :
\[ prob = \frac{n}{N} \times 100 \]
El siguiente ejemplo en R, determina la probabilidad al lanzar un dado. El punto muestral a experimentar es un valor del dado 5 o 7,
\(S\) es todo el espacio muestral,
\(n\) el número de ocasiones que aparece un elemento dentro de todo el espacio muestral
\(N\) el total de elementos del espacio muestral, la probabilidad
\(prob\) es el peso o la probabilidad en valor relativo o porcentual.
elemento <- 5
S <- c(1,2,3,4,5,6)
n <- length(which(S == elemento))
N <- length(S)
n## [1] 1N## [1] 6prob <- n/N
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que salga un ", elemento, " es: ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que salga un 5 es: 16.67 %"Para un valor de 7
elemento <- 7
S <- c(1,2,3,4,5,6)
n <- length(which(S == elemento))
N <- length(S)
n## [1] 0N## [1] 6prob <- n/N
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que salga un ", elemento, " es: ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que salga un 7 es: 0 %"El dado tramposo consiste en que el espacio muestral tiene más elementos de un mismo tipo, ejemplo tiene tres ocasiones el número 5.
La instrucción length(which(S == elemento)) determina la cantidad de ocasiones que el elemento existe en el espacio muestral \(S\) .
elemento <- 5
S <- c(1,2,3,5,5,5)
n <- length(which(S == elemento)) # 3
N <- length(S) # 6
prob <- n/N # 3/6
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que salga un ", elemento, " es: ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que salga un 5 es: 50 %"
3.2 Probabilidad en la ruleta
De un conjunto de números que existen en una ruleta ¿cuál es la probabilidad de que salga al número que se le apuesta?
\(S\) serán todos los números de la ruleta, los que aparecen en la superficie de la misma.
\(N\) total de elementos de la ruleta
\(n\) cuántas ocasiones un número con respecto al total NN
\(prob\) es \(\frac{n}{N}\)
numero <- 22
S <- c(0,28,9,26,30,11,7,20,32,17,5,22,34,15,3,24,36,13,1,100,27,10,25,29,12,8,19,31,18,6,21,33,16,4,23,35,14,2)
S## [1] 0 28 9 26 30 11 7 20 32 17 5 22 34 15 3 24 36 13 1
## [20] 100 27 10 25 29 12 8 19 31 18 6 21 33 16 4 23 35 14 2
N <- length(S)
n <- length(which(S == elemento))
N## [1] 38n## [1] 1prob <- n/N # 1/38
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que salga un número", numero, " es: ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que salga un número 22 es: 2.63 %"En un espacio muestral de los números del 1 al 50, empezando en 1 y con saltos de tres en tres \(S=1,4,7,10,13,16,19....\)
¿Cuál es la probabilidad de elegir un número primo?,
¿Cuál es la probabilidad de elegir un número par?,
¿Cuál es la probabilidad de elegir un número impar o non?
S <- seq(1, 50, 3)
primos <- c(1, 7, 13, 19, 31, 37, 43)
pares <- c(4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46)
nones <- c(1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49)
S## [1] 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49primos## [1] 1 7 13 19 31 37 43pares## [1] 4 10 16 22 28 34 40 46nones## [1] 1 7 13 19 25 31 37 43 49La probabilidad de elegir un número primo
La función length(primos %in% S) que utiliza el operador %in% devuelve valor booleano TRUE o FALSE para saber si un valor está contenido en un conjunto y combinado con length() determina la cantidad de ocasiones.
n.primos <- length(primos %in% S)
N <- length(S) #
n.primos## [1] 7N## [1] 17prob <- n.primos/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que elegir un número primo es : ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que elegir un número primo es : 41.18 %"La probabilidad de elegir un número par
n.pares <- length(pares %in% S)
N <- length(S) #
n.pares## [1] 8N## [1] 17prob <- n.pares/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que elegir un número par es : ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que elegir un número par es : 47.06 %"La probabilidad de elegir un número non o impar
n.nones <- length(nones %in% S)
N <- length(S) #
n.nones## [1] 9N## [1] 17prob <- n.nones/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que elegir un número non es : ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que elegir un número non es : 52.94 %"Una bolsa contiene canicas 20 canicas, 14 rojas y 6 canicas negras,
¿cuál es la probabilidad de extraer de la bolsa una canica de color negra? 6/20
o una canica de color roja? 14/20
o una canica de color blanca?. CERO
S <- c(rep("NEGRA", 6), rep("ROJA", 14))
S## [1] "NEGRA" "NEGRA" "NEGRA" "NEGRA" "NEGRA" "NEGRA" "ROJA" "ROJA" "ROJA"
## [10] "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA"
## [19] "ROJA" "ROJA"N <- length(S) #
N## [1] 20negras <- rep("NEGRA", 6)
rojas <- rep("ROJA", 14)
n.negras <- length(negras %in% S)
n.rojas <- length(rojas %in% S)
n.negras## [1] 6n.rojas## [1] 14Probabilidad de canicas negras
prob <- round(n.negras / N,2) * 100
prob## [1] 30Probabilidad de canicas rojas
prob <- round(n.rojas /N, 2) * 100
prob## [1] 70En un espacio muestral de una lista de 70 nombres, algunos se repiten?, cual es la probabilidad de elegir a un nombre en particular?
\(S\) es el espacio muestral que contiene una lista de nombres de personas.
\(N\) El total de nombres en la lista.
n la cantidad de ocasiones que aparece un nombre en la lista.
\(prob\) es la probabilidad de elegir aleatoriamente a un nombre de la lista.
Con la función sample() se genera un nombre aleatorio a partir del espacio muestral \(S\)
Se utiliza length(which(S == nombre )) para determinar en cuántas veces existe en S el valor del nombre que ha sido generado
S <- c("Juan", "Paty", "Pedro", "Joaquín", "Lourdes", "Agustín", "Manuel", "Olga",
"Lucy", "José", "Rubén", "Pedro",
"Olga", "Luis", "Fernando", "Oscar",
"María", "Esmeralda", "Ernesto", "Saúl", "José", "María", "Pedro", "Saúl", "Ernesto", "María", "Luis", "Gerardo", "Héctor", "Saúl", "María", "Luis", "Lourdes", "Saúl", "Luis", "Fernando", "Rubén", "Agustín", "Joaquín", "Agustín", "Lucy", "José", "Juan", "Lucy", "Olga", "María", "Paty", "Olga", "María", "Paty", "Luis", "Rubén", "Oscar", "Gerardo", "Lucy", "Luis", "María", "José", "Juan", "Luis", "Lucy", "María", "Juan", "José", "Saúl", "María", "Fernando", "Oscar", "José", "Luis")
S## [1] "Juan" "Paty" "Pedro" "Joaquín" "Lourdes" "Agustín"
## [7] "Manuel" "Olga" "Lucy" "José" "Rubén" "Pedro"
## [13] "Olga" "Luis" "Fernando" "Oscar" "María" "Esmeralda"
## [19] "Ernesto" "Saúl" "José" "María" "Pedro" "Saúl"
## [25] "Ernesto" "María" "Luis" "Gerardo" "Héctor" "Saúl"
## [31] "María" "Luis" "Lourdes" "Saúl" "Luis" "Fernando"
## [37] "Rubén" "Agustín" "Joaquín" "Agustín" "Lucy" "José"
## [43] "Juan" "Lucy" "Olga" "María" "Paty" "Olga"
## [49] "María" "Paty" "Luis" "Rubén" "Oscar" "Gerardo"
## [55] "Lucy" "Luis" "María" "José" "Juan" "Luis"
## [61] "Lucy" "María" "Juan" "José" "Saúl" "María"
## [67] "Fernando" "Oscar" "José" "Luis"N <- length(S)
N## [1] 70nombre <- sample(x = S,size = 1 )
nombre## [1] "Joaquín"n <- length(which(S == nombre ))
n## [1] 2prob <- n/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a ", nombre, " de la lista de pesonas es del:" , prob, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a Joaquín de la lista de pesonas es del: 2.86 %"Con tabla de distribución
tabla.distribucion <- table(S)
tabla.distribucion## S
## Agustín Ernesto Esmeralda Fernando Gerardo Héctor Joaquín José
## 3 2 1 3 2 1 2 6
## Juan Lourdes Lucy Luis Manuel María Olga Oscar
## 4 2 5 8 1 9 4 3
## Paty Pedro Rubén Saúl
## 3 3 3 54.4 Alumnos Carreras
En un espacio muestral en donde existen 6500 alumnos en una institución educativa de nivel superior que cursan diferentes carreras cada uno de ellos ¿cual es la probabilidad de elegir aleatoriamente a un estudiante una carrera en particular?
Se crea por medio de una simulación un conjunto de datos semejante al utilizado en el caso 2. El data.frame contiene dos variables: un identificador de número de alumno y la carrera que cursa.
La variable carrera contiene las carreras profesionales de una institución educativa de nivel superior.
La variable distribuyen contiene la cantidad de alumnos por cada carrera.
carreras <- c("Arquitectura", "Civil", "Sistemas", "TIC", "Gestión")
distribuyen <- c(2000, 1800, 650, 150, 1800)
carreras## [1] "Arquitectura" "Civil" "Sistemas" "TIC" "Gestión"distribuyen## [1] 2000 1800 650 150 1800Generando los datos o el espacio muestral \(S\)
En la variable S.datos se crea un conjunto de datos aleatorio de 6500 alumnos distribuidos en distintas carreras, conorme y de acuerdo a la distribución.
Dentro de la función sample() que genera valores aleatorios, existe el atributo prob que se usa prob = c(distribuyen/N) para determinar las proporciones de alumnos por carrera.
\(N\) es el total de elementos del espacio muestral 6500
Se utiliza la semilla set.seed(2021) para que salgan los mismos resultados en la generación de alumnos.
head() y tail() indican que sólo se presenten los primeros y últimos diez registros.
N = 6500
set.seed(2021)
S.datos <- data.frame(numero = 1:N, carrera = sample(x = carreras, size = N, replace = TRUE, prob = c(distribuyen/N)))
head(S.datos, 10)## numero carrera
## 1 1 Gestión
## 2 2 Civil
## 3 3 Civil
## 4 4 Gestión
## 5 5 Civil
## 6 6 Civil
## 7 7 Civil
## 8 8 Arquitectura
## 9 9 Civil
## 10 10 TICtail(S.datos, 10)## numero carrera
## 6491 6491 Civil
## 6492 6492 Sistemas
## 6493 6493 Sistemas
## 6494 6494 Arquitectura
## 6495 6495 Sistemas
## 6496 6496 Gestión
## 6497 6497 TIC
## 6498 6498 Civil
## 6499 6499 Civil
## 6500 6500 GestiónGenerando una tabla de distribución para conocer cantidad de alumnos que se generaron o simulados por cada carrera utilizando precisamente la variable carrera del data.frame o del espacio meustral S.Datos.
tabla.distribucion <- table(S.datos$carrera)
tabla.distribucion##
## Arquitectura Civil Gestión Sistemas TIC
## 2050 1787 1827 662 174¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de TIC?
Se utiliza which(S.datos$carrera == “TIC”) para determinar la cantidad de nn, o sea el número de alumnos de esa carrera y debe concordar con la tabla de distribución
Luego se determina de manera natural la probabilidad de que sea elegido un alumno de esa carrera.
n <- length(which(S.datos$carrera == "TIC"))
n## [1] 174prob <- n/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de TIC es:" , prob, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de TIC es: 2.68 %"¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de Arquitectura?
n1 <- length(which(S.datos$carrera == "Arquitectura"))
n1## [1] 2050prob1 <- n1/N #
prob1 <- round(prob1 * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de Arquitectura es:" , prob1, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de Arquitectura es: 31.54 %"¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de Sistemas?
n2 <- length(which(S.datos$carrera == "Sistemas"))
n2## [1] 662prob2 <- n2/N #
prob2 <- round(prob2 * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de Sistemas es:" , prob2, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de Sistemas es: 10.18 %"¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de Civil?
n3 <- length(which(S.datos$carrera == "Civil"))
n3## [1] 1787prob3 <- n3/N #
prob3 <- round(prob3 * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de Civil es:" , prob3, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de Civil es: 27.49 %"¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de Gestión?
n4 <- length(which(S.datos$carrera == "Gestión"))
n4## [1] 1827prob4 <- n4/N #
prob4 <- round(prob4 * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de Gestion es:" , prob4, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de Gestion es: 28.11 %"La interpretación del caso deberá hacerse de manera descriptiva con ideas personales del autor con una extensión 80 a 100 palabras acerca del caso. Ideas con oraciones claras y precisas.
De acuerdo con el ejercicio numero 5, hablamos acerca de las probabilidades de que ocurra un cierto caso en determinado espacio muestral, que quiere decir esto, que en cierto espacio muestral con especificos datos definidos existe una probabilidad de 0 a 1 que ocurra cieto dato, en otras palabras, en un espacio muestral en donde todos los puntos muestrales tienen la misma oportunidad de ocurrencia, se les asignan probabilidades iguales, en cambio a los puntos fuera del espacio muestral, es decir, a los eventos simples que no tienen posibilidades de ocurrir, se les asigna una probabilidad de cero.
Entonces en un espacio muestral, si no se repite mucho este la probabilidad va a estar mas cerca del 0, pero si se repite mucho entonces va a estar mas cerca del 1 y si el dato no se encuentra en el espacio muestral entonces va a ser igual a 0
En conclusion, este caso me dejo de que hablar ya que me ayuda a saber como es que las probabilidades pueden estar reflejadas en todo, y como es que estas se llevan a cabo, si algunas son mas probables que otras o simplemente no son probables. Tambien me ayuda a recordar como es que en el bachillerato veia esto, solo que todo lo haciamos en la libreta y la diferencia es que en esta clase, podemos utilizar el software r studio que nos ayuda a resolver estos casos con mayor facilidad y que va enfocado a nuestra carrera que es sistemas y nos ayuda a comprender un poco mas el ambiente de programacion.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.