Desarrollar ejercicios de probabilidad.
Construir ejercicios de probabilidad conforme a partir de datos conforme la teoría de probabilidad.
Para cuando los espacios muestrales tienen un espacio finito o un número de elementos finito, la probabilidad de ocurrencia de un evento que resulta de tal experimento estadístico se evalúa utilizando un conjunto de números reales denominados pesos o probabilidades, que van de 0 a 1
. (Walpole, Myers, and Myers 2012)
Para todo punto en el espacio muestral se asigna una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es 1
.(Walpole, Myers, and Myers 2012)
Si se tiene certeza para creer que al llevar a cabo el experimento es bastante probable que ocurra cierto punto muestral, le tendríamos que asignar a éste una probabilidad cercana a uno. Por el contrario, si se cree que no hay probabilidades de que ocurra cierto punto muestral, se tendría que asignar a éste una probabilidad cercana a cero.
En un espacio muestral en donde todos los puntos muestrales tienen la misma oportunidad de ocurrencia, por lo tanto, se les asignan probabilidades iguales.
A los puntos fuera del espacio muestral, es decir, a los eventos simples que no tienen posibilidades de ocurrir, se les asigna una probabilidad de cero.
Entonces: La probabilidad de un evento A debe estar entre cero y uno
0≤P(A)≤1 La probabilidad de todo el espacio meustral S debe ser uno P(S)=1
La probabilidad de que no ocurra un evento es cero
p(ϕ)=0
Ejemplo: lanzar un dado. La probabilidad de que caiga un 1, un 2, un 3 un 4 un 5 un 6 es la misma para cada elemento. Siendo S
el espacio muestral, cual es la probabilidad de que al lanzar un dado a una mesa, el valor del mismo cara arriba sea un 5?, y ¿cuál es la probabilidad de que sea un 7?
¿Cuántas veces está el 5 en el espacio muestral S?
¿Cuántas veces está el 7 en el espacio muestral S?
Entonces dividir el número de ocurrencias del 5 entre el número total de elementos N.
prob=nN
En términos porcentuales: prob=nN×100
El siguiente ejemplo en R, determina la probabilidad al lanzar un dado. El punto muestral a experimentar es un valor del dado 5 o 7.
S es todo el espacio muestral,
n el número de ocasiones que aparece un elemento dentro de todo el espacio muestral
N el total de elementos del espacio muestral, la probabilidad
prob es el peso o la probabilidad en valor relativo o porcentual.elemento <- 5
S <- c(1,2,3,4,5,6)
n <- length(which(S == elemento))
N <- length(S)
n## [1] 1N ## [1] 6prob <- n/N
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que salga un ", elemento, " es: ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que salga un 5 es: 16.67 %"elemento <- 7
S <- c(1,2,3,4,5,6)
n <- length(which(S == elemento))
N <- length(S)
n## [1] 0N## [1] 6prob <- n/N
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que salga un ", elemento, " es: ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que salga un 7 es: 0 %"El dado tramposo consiste en que el espacio muestral tiene más elementos de un mismo tipo, ejemplo tiene tres ocasiones el número 5.
La instrucción length(which(S == elemento)) determina la cantidad de ocasiones que el elemento existe en el espacio muestralS
elemento <- 5
S <- c(1,2,3,5,5,5)
n <- length(which(S == elemento)) # 3
N <- length(S) # 6
prob <- n/N # 3/6
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que salga un ", elemento, " es: ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que salga un 5 es: 50 %"De un conjunto de números que existen en una ruleta ¿cuál es la probabilidad de que salga al número que se le apuesta?
S serán todos los números de la ruleta, los que aparecen en la superficie de la misma.
N total de elementos de la ruleta
n cuántas ocasiones un número con respecto al total N
prob es n/Nnumero <- 22
S <- c(0,28,9,26,30,11,7,20,32,17,5,22,34,15,3,24,36,13,1,100,27,10,25,29,12,8,19,31,18,6,21,33,16,4,23,35,14,2)
S## [1] 0 28 9 26 30 11 7 20 32 17 5 22 34 15 3 24 36 13 1
## [20] 100 27 10 25 29 12 8 19 31 18 6 21 33 16 4 23 35 14 2N <- length(S)
n <- length(which(S == elemento))
N## [1] 38n## [1] 1prob <- n/N # 1/38
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que salga un número", numero, " es: ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que salga un número 22 es: 2.63 %"En un espacio muestral de los números del 1 al 50, empezando en 1 y con saltos de tres en tres S=1,4,7,10,13,16,19….
¿Cuál es la probabilidad de elegir un número primo?,
¿Cuál es la probabilidad de elegir un número par?,
¿Cuál es la probabilidad de elegir un número impar o non?S <- seq(1, 50, 3)
primos <- c(1, 7, 13, 19, 31, 37, 43)
pares <- c(4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46)
nones <- c(1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49)
S## [1] 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49primos## [1] 1 7 13 19 31 37 43pares## [1] 4 10 16 22 28 34 40 46nones## [1] 1 7 13 19 25 31 37 43 49La probabilidad de elegir un número primo
La función length(primos %in% S) que utiliza el operador %in% devuelve valor booleano TRUE o FALSE para saber si un valor está contenido en un conjunto y combinado con length() determina la cantidad de ocasiones.
n.primos <- length(primos %in% S)
N <- length(S) #
n.primos## [1] 7N## [1] 17prob <- n.primos/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que elegir un número primo es : ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que elegir un número primo es : 41.18 %" La probabilidad de elegir un número parn.pares <- length(pares %in% S)
N <- length(S) #
n.pares## [1] 8N## [1] 17prob <- n.pares/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que elegir un número par es : ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que elegir un número par es : 47.06 %" La probabilidad de elegir un número non o imparn.nones <- length(nones %in% S)
N <- length(S) #
n.nones## [1] 9N## [1] 17prob <- n.nones/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de que elegir un número non es : ", prob, "%")## [1] "La probabilidad de que elegir un número non es : 52.94 %"Una bolsa contiene canicas 20 canicas, 14 rojas y 6 canicas negras,
¿cuál es la probabilidad de extraer de la bolsa una canica de color negra? 6/20
o una canica de color roja? 14/20
o una canica de color blanca?. CEROS <- c(rep("NEGRA", 6), rep("ROJA", 14))
S## [1] "NEGRA" "NEGRA" "NEGRA" "NEGRA" "NEGRA" "NEGRA" "ROJA" "ROJA" "ROJA"
## [10] "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA" "ROJA"
## [19] "ROJA" "ROJA"N <- length(S) #
N## [1] 20negras <- rep("NEGRA", 6)
rojas <- rep("ROJA", 14)
n.negras <- length(negras %in% S)
n.rojas <- length(rojas %in% S)
n.negras## [1] 6n.rojas## [1] 14Probabilidad de canicas negras
prob <- round(n.negras / N,2) * 100
prob## [1] 30Probabilidad de canicas rojas
prob <- round(n.rojas /N, 2) * 100
prob## [1] 70En un espacio muestral de una lista de 70 nombres, algunos se repiten?, cual es la probabilidad de elegir a un nombre en particular?
S es el espacio muestral que contiene una lista de nombres de personas.
N El total de nombres en la lista.
n la cantidad de ocasiones que aparece un nombre en la lista.
prob es la probabilidad de elegir aleatoriamente a un nombre de la lista.Con la función sample() se genera un nombre aleatorio a partir del espacio muestral S
Se utiliza length(which(S == nombre )) para determinar en cuántas veces existe en S el valor del nombre que ha sido generado aleatoriamente.S <- c("Juan", "Paty", "Pedro", "Joaquín", "Lourdes", "Agustín", "Manuel", "Olga",
"Lucy", "José", "Rubén", "Pedro",
"Olga", "Luis", "Fernando", "Oscar",
"María", "Esmeralda", "Ernesto", "Saúl", "José", "María", "Pedro", "Saúl", "Ernesto", "María", "Luis", "Gerardo", "Héctor", "Saúl", "María", "Luis", "Lourdes", "Saúl", "Luis", "Fernando", "Rubén", "Agustín", "Joaquín", "Agustín", "Lucy", "José", "Juan", "Lucy", "Olga", "María", "Paty", "Olga", "María", "Paty", "Luis", "Rubén", "Oscar", "Gerardo", "Lucy", "Luis", "María", "José", "Juan", "Luis", "Lucy", "María", "Juan", "José", "Saúl", "María", "Fernando", "Oscar", "José", "Luis")
S## [1] "Juan" "Paty" "Pedro" "Joaquín" "Lourdes" "Agustín"
## [7] "Manuel" "Olga" "Lucy" "José" "Rubén" "Pedro"
## [13] "Olga" "Luis" "Fernando" "Oscar" "María" "Esmeralda"
## [19] "Ernesto" "Saúl" "José" "María" "Pedro" "Saúl"
## [25] "Ernesto" "María" "Luis" "Gerardo" "Héctor" "Saúl"
## [31] "María" "Luis" "Lourdes" "Saúl" "Luis" "Fernando"
## [37] "Rubén" "Agustín" "Joaquín" "Agustín" "Lucy" "José"
## [43] "Juan" "Lucy" "Olga" "María" "Paty" "Olga"
## [49] "María" "Paty" "Luis" "Rubén" "Oscar" "Gerardo"
## [55] "Lucy" "Luis" "María" "José" "Juan" "Luis"
## [61] "Lucy" "María" "Juan" "José" "Saúl" "María"
## [67] "Fernando" "Oscar" "José" "Luis"N <- length(S)
N## [1] 70nombre <- sample(x = S,size = 1 )
nombre## [1] "Lucy"n <- length(which(S == nombre ))
n## [1] 5prob <- n/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a ", nombre, " de la lista de pesonas es del:" , prob, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a Lucy de la lista de pesonas es del: 7.14 %"Con tabla de distribución
tabla.distribucion <- table(S)
tabla.distribucion## S
## Agustín Ernesto Esmeralda Fernando Gerardo Héctor Joaquín José
## 3 2 1 3 2 1 2 6
## Juan Lourdes Lucy Luis Manuel María Olga Oscar
## 4 2 5 8 1 9 4 3
## Paty Pedro Rubén Saúl
## 3 3 3 5En un espacio muestral en donde existen 6500 alumnos en una institución educativa de nivel superior que cursan diferentes carreras cada uno de ellos ¿cual es la probabilidad de elegir aleatoriamente a un estudiante una carrera en particular?
Se crea por medio de una simulación un conjunto de datos semejante al utilizado en el caso 2. El data.frame contiene dos variables: un identificador de número de alumno y la carrera que cursa.
La variable carrera contiene las carreras profesionales de una institución educativa de nivel superior.
La variable distribuyen contiene la cantidad de alumnos por cada carrera.carreras <- c("Arquitectura", "Civil", "Sistemas", "TIC", "Gestión")
distribuyen <- c(2000, 1800, 650, 150, 1800)
carreras## [1] "Arquitectura" "Civil" "Sistemas" "TIC" "Gestión"distribuyen## [1] 2000 1800 650 150 1800Generando los datos o el espacio muestral S
En la variable S.datos se crea un conjunto de datos aleatorio de 6500 alumnos distribuidos en distintas carreras, conorme y de acuerdo a la distribución.
Dentro de la función sample() que genera valores aleatorios, existe el atributo prob que se usa prob = c(distribuyen/N) para determinar las proporciones de alumnos por carrera.
N es el total de elementos del espacio muestral 6500
Se utiliza la semilla set.seed(2021) para que salgan los mismos resultados en la generación de alumnos.
head() y tail() indican que sólo se presenten los primeros y últimos diez registros.N = 6500
set.seed(2021)
S.datos <- data.frame(numero = 1:N, carrera = sample(x = carreras, size = N, replace = TRUE, prob = c(distribuyen/N)))
head(S.datos, 10)## numero carrera
## 1 1 Gestión
## 2 2 Civil
## 3 3 Civil
## 4 4 Gestión
## 5 5 Civil
## 6 6 Civil
## 7 7 Civil
## 8 8 Arquitectura
## 9 9 Civil
## 10 10 TICtail(S.datos, 10)## numero carrera
## 6491 6491 Civil
## 6492 6492 Sistemas
## 6493 6493 Sistemas
## 6494 6494 Arquitectura
## 6495 6495 Sistemas
## 6496 6496 Gestión
## 6497 6497 TIC
## 6498 6498 Civil
## 6499 6499 Civil
## 6500 6500 GestiónGenerando una tabla de distribución para conocer cantidad de alumnos que se generaron o simulados por cada carrera utilizando precisamente la variable carrera del data.frame o del espacio meustral S.Datos.
tabla.distribucion <- table(S.datos$carrera)
tabla.distribucion##
## Arquitectura Civil Gestión Sistemas TIC
## 2050 1787 1827 662 174¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de TIC?
Se utiliza which(S.datos$carrera == “TIC”) para determinar la cantidad de n, o sea el número de alumnos de esa carrera y debe concordar con la tabla de distribuciónLuego se determina de manera natural la probabilidad de que sea elegido un alumno de esa carrera.
n <- length(which(S.datos$carrera == "TIC"))
n## [1] 174prob <- n/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de TIC es:" , prob, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de TIC es: 2.68 %"¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de Arquitectura?
n <- length(which(S.datos$carrera == "Arquitectura"))
n## [1] 2050prob <- n/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de Arquitectura es:" , prob, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de Arquitectura es: 31.54 %"¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de Sistemas?
n <- length(which(S.datos$carrera == "Sistemas"))
n## [1] 662prob <- n/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de Sistemas es:" , prob, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de Sistemas es: 10.18 %"¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de Civil?
n <- length(which(S.datos$carrera == "Civil"))
n## [1] 1787prob <- n/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de Civil es:" , prob, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de Civil es: 27.49 %"¿Cuál es la probabilidad de elegir a un alumno de Gestión?
n <- length(which(S.datos$carrera == "Gestión"))
n## [1] 1827prob <- n/N #
prob <- round(prob * 100,2)
paste ("La probabilidad de elegir a un alumno de Gestión es:" , prob, "%")## [1] "La probabilidad de elegir a un alumno de Gestión es: 28.11 %"Este se empieza primero calculando la probabilidad si lanzamos un dado normal, eso quiere decir que tiene 6 caras y en cada uno se encuentran un numero del 1 al 6 que no se puede repetir, en este caso deseamos saber cual es la probabilidad del numero 5,y esta es 1/6 (“prob <- n/N” =1/6) ya q solo se repite una vez
(para saber las veces que se repite se utiliza “length(which(S ==elemento))”, y el 6 es el numero total de caras que tiene el dado (para saber el numero total de elementos que hay es “N <-length(S)” y eso se multiplica por 100 y este se redondea, el resultado seria 16.67% (esto es para que nos de el %, el codigo que utilizaríamos es “prob <- round(prob * 100,2)” Y asi se hace con todos, solo que la diferencia es que no siempre te dara el mismo numero de probabilidades, pues el conjunto es diferente, aparte de que te pide que calcules la probabilidad de distintas cosas y ahí ya cambiaria el resultado. En el 4.1 la diferencia de este a los anteriores es que utilizamos length(primos %in% S) o sea “%in%”, este devuelve valor booleano TRUE o FALSE y lo utilizaríamos para saber si un valor está contenido en un conjunto, pero combinado con “length()” tambien determina la cantidad de ocasiones en las que aparece. “sample() “genera un nombre aleatorio y este “ength(which(S == nombre )) “ para determinar el numero de veces que se repite este nombre que se genera aleatoriamente, esto lo vemos en el 4.3 si nosotros no queremos que el numero cambie cada que lo ejecutamos agregamos la semilla “set.seed(2021)” para que salgan los mismos resultados que pusimos que se generara aleatoriamente como se hizo en el 4.4
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.