Série de preços do Ibovespa

ibov=ts(read.table("../Dados/d-ibv.txt"))
plot.ts(cbind(ibov,diff(ibov)),main="Série de preços e log-retornos Ibovespa", xaxt = "n", col=c("darkblue","darkred"))

Para realizar os testes de raiz unitária, utilizaremos a função ur.df do pacote urca do R. A função print.adftest pode ser encontrada na página do curso: www.est.ufba.br/kim/matd51.
Seus parâmetros são:

# ur.df(y, type = c("none", "drift", "trend"), lags = 1,
# selectlags = c("Fixed", "AIC", "BIC"))

# "none": teste padrão de Dickey-Fuller;
# "drift": teste de Dickey-Fuller aumentado, i.e., com constante diferente de zero;
# "trend": teste de Dickey-Fuller aumentado com tendência e constante;
# lags: número de lags para a diferença $\Delta X_t$, de acordo com a equação:
# selectlags: método para seleção do número de lags no modelo. Pode ser fixado pelo usuário ("fixed"), ou pode-se se utilizar o critério do AIC ou BIC ("AIC" ou "BIC", respectivamente).

Começaremos com o teste de Dickey-Fuller aumentado com tendência para avaliar se existe tendência deterministica ou estocástica nos dados.

Teste para Dickey-Fuller Aumentado com tendência (AR(1))

test_ibov_adf_trend=ur.df(ibov,type = "trend",lags=0)
print.adftest(test_ibov_adf_trend)
## *** Model: diff(X[t]) = a0 + a2.t + d.x[t-1] + e[t], e[t] ~ WN***
## 
## Testing H01: d = 0, there is 1 unit root (tau3).
## Testing H02: d = a2 = 0 (phi2).
## Testing H03: d = a2 = a0 = 0 (phi3).
## 
##      Statistics tau_5pct Result
## tau3   -2.42551    -3.41 Ac H01
## phi2    2.39718     4.68 Ac H02
## phi3    2.94709     6.25 Ac H03
## 
##  Signif. codes: '*' Rej H0 (sig=10%)    '**' Rej H0 (sig=5%)    '***' Rej H0 (sig=1%) 
## 
## For more details, see ENDERS, W. (2015), Applied Econometric Time Series.

Detalhes do teste

summary(test_ibov_adf_trend)
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1717.08  -116.61     3.38   120.40  1630.00 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept) 29.691770  16.034247   1.852   0.0643 .
## z.lag.1     -0.007744   0.003193  -2.426   0.0154 *
## tt           0.067785   0.031026   2.185   0.0291 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 246.5 on 1495 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.003927,   Adjusted R-squared:  0.002595 
## F-statistic: 2.947 on 2 and 1495 DF,  p-value: 0.0528
## 
## 
## Value of test-statistic is: -2.4255 2.3972 2.9471 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.96 -3.41 -3.12
## phi2  6.09  4.68  4.03
## phi3  8.27  6.25  5.34

Como não identificamos tendência determinística, mas não rejeitamos a hipótese de raiz unitária, vamos realizar um teste de DF aumentado para avaliar se existe drift.

Teste para Dickey-Fuller Aumentado (AR(1))

test_ibov_adf=ur.df(ibov,type = "drift",lags=0)
print.adftest(test_ibov_adf)
## *** Model: diff(X[t]) = a0 + d.x[t-1] + e[t], e[t] ~ WN ***
## 
## Testing H01: d = 0, there is 1 unit root (tau2).
## Testing H02: d = a0 = 0 (phi1).
## 
##      Statistics tau_5pct Result
## tau2   -1.05731    -2.86 Ac H01
## phi1      1.206     4.59 Ac H02
## 
##  Signif. codes: '*' Rej H0 (sig=10%)    '**' Rej H0 (sig=5%)    '***' Rej H0 (sig=1%) 
## 
## For more details, see ENDERS, W. (2015), Applied Econometric Time Series.

Detalhes do teste

summary(test_ibov_adf)
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression drift 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1732.91  -117.47     1.23   120.53  1674.68 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 22.429759  15.705725   1.428    0.153
## z.lag.1     -0.001604   0.001517  -1.057    0.291
## 
## Residual standard error: 246.8 on 1496 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.0007467,  Adjusted R-squared:  7.876e-05 
## F-statistic: 1.118 on 1 and 1496 DF,  p-value: 0.2905
## 
## 
## Value of test-statistic is: -1.0573 1.206 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau2 -3.43 -2.86 -2.57
## phi1  6.43  4.59  3.78

Novamente, não rejeitamos a hipótese \(H_{02}:\mu=0\), então o teste adequado para esta série é o teste DF clássico:

Teste para Dickey-Fuller Clássico (AR(1))

summary(ur.df(ibov,type = "none",lags=0))
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1733.3  -112.4     8.2   126.8  1687.1 
## 
## Coefficients:
##          Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 0.0003760  0.0006163    0.61    0.542
## 
## Residual standard error: 246.9 on 1497 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.0002486,  Adjusted R-squared:  -0.0004193 
## F-statistic: 0.3722 on 1 and 1497 DF,  p-value: 0.5419
## 
## 
## Value of test-statistic is: 0.6101 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62
test_ibov_df = ur.df(ibov,type = "none",lags=0)
print.adftest(test_ibov_df)
## *** Model: diff(X[t]) = a0 + d.x[t-1] + e[t], e[t] ~ WN ***
## 
## Testing H01: d = 0, there is 1 unit root (tau1).
## 
##      Statistics tau_5pct Result
## tau1    0.61007    -1.95  Ac H0
## 
##  Signif. codes: '*' Rej H0 (sig=10%)    '**' Rej H0 (sig=5%)    '***' Rej H0 (sig=1%) 
## 
## For more details, see ENDERS, W. (2015), Applied Econometric Time Series.

Detalhes do teste

summary(test_ibov_df)
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1733.3  -112.4     8.2   126.8  1687.1 
## 
## Coefficients:
##          Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 0.0003760  0.0006163    0.61    0.542
## 
## Residual standard error: 246.9 on 1497 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.0002486,  Adjusted R-squared:  -0.0004193 
## F-statistic: 0.3722 on 1 and 1497 DF,  p-value: 0.5419
## 
## 
## Value of test-statistic is: 0.6101 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62

Vamos agora avaliar se uma diferença foi suficiente para tornar a série Ibovespa estacionária, ou se ela possui mais uma raiz unitária. Para isto, devemos analisar a série de diferenças do Ibovespa \(\Delta Ibovespa_t\).

Teste para Dickey-Fuller Clássico (AR(1)) para a diferença da série ibov

dibov=diff(ibov)
test_dibov_df=ur.df(dibov,type = "none",lags=0)
print.adftest(test_dibov_df)
## *** Model: diff(X[t]) = a0 + d.x[t-1] + e[t], e[t] ~ WN ***
## 
## Testing H01: d = 0, there is 1 unit root (tau1).
## 
##      Statistics tau_5pct Result
## tau1  -36.37337    -1.95    ***
## 
##  Signif. codes: '*' Rej H0 (sig=10%)    '**' Rej H0 (sig=5%)    '***' Rej H0 (sig=1%) 
## 
## For more details, see ENDERS, W. (2015), Applied Econometric Time Series.

Logo, como esta série não possui raiz unitária, concluímos que a série original do Ibovespa possui apenas uma raiz unitária.

Mas o que aconteceria se aplicássemos uma diferenciação em uma série \(X_t\) não estacionária, mas que possuísse tendência deterministica? Vimos em aula que se tivermos \(X_t\) um processo com uma tendência linear da forma:
\[ X_t=T(t)+a_t, \] com \(T(t)\) uma tendência linear da forma \(T(t)=\beta_0+\beta_1 t\) e \(a_t\) processo estacionário com \(E(a_t)\)=0, então: \[\begin{eqnarray*} \Delta X_t&=& X_t-X_{t-1}= \beta_0+\beta_1 t +a_t - \beta_0-\beta_1 (t-1)-a_{t-1}\\ &=& \beta_1 +a_t-a_{t-1}, \end{eqnarray*}\] que é estacionário.
Assim, apesar de o processo for não estacionário por conta de uma tendência linear determinística, é possível transformá-lo em um processo estacionário por meio de diferencição. No entanto, é fácil ver que este processo terá maior variância que o processo \(a_t\) resultante da filtragem de \(X_t\) por um filtro linear \(T(t)\).
Para ilustrar isto, vamos agora adicionar artificialmente uma tendência linear \(T(t)=0.5t\) no dibov e avaliar como a série resultante se comporta e qual o resultado do teste neste caso.

t=length(dibov)
# dibov serie com tendencia deterministica adicionada artificialmente:
dibov2=0.5*(1:t)+dibov

Notem pelos gráficos que a série \(dibov2 = T(t) + dibov\) é uma série não estacionária, já que sua média muda ao longo do tempo.

# Graficos das duas series 
par(mfrow=c(1,2))
plot.ts(dibov, ylab="dibov", main="Série de diferenças do Ibovespa", cex.main=0.8, col="darkblue")
plot.ts(dibov2, ylab="dibov2=0.5*(1:t)+dibov",  main="Série de diferenças do Ibovespa,\n com uma tendência linear T(t) adicionada", cex.main=0.8)
abline(a=0,b=0.5, col="red")
text(1250,2000, "y=0.5*t", col="red", cex=1.5)

Vamos agora realizar o teste para a série \(dibov2\) para verificar se ela possui raiz unitária.

# teste para a serie dibovt 
test_dibov2_df=ur.df(dibov2,type = "trend",lags=0)
print.adftest(test_dibov2_df)
## *** Model: diff(X[t]) = a0 + a2.t + d.x[t-1] + e[t], e[t] ~ WN***
## 
## Testing H01: d = 0, there is 1 unit root (tau3).
## Testing H02: d = a2 = 0 (phi2).
## Testing H03: d = a2 = a0 = 0 (phi3).
## 
##      Statistics tau_5pct Result
## tau3   -36.3802    -3.41    ***
## phi2     441.18     4.68    ***
## phi3  661.75982     6.25    ***
## 
##  Signif. codes: '*' Rej H0 (sig=10%)    '**' Rej H0 (sig=5%)    '***' Rej H0 (sig=1%) 
## 
## For more details, see ENDERS, W. (2015), Applied Econometric Time Series.

Detalhes do teste

summary(test_dibov2_df)
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1714.71  -113.52     2.77   121.68  1715.37 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  6.80390   12.75246   0.534    0.594    
## z.lag.1     -0.94002    0.02584 -36.380   <2e-16 ***
## tt           0.47092    0.01961  24.009   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 246.6 on 1494 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4697, Adjusted R-squared:  0.469 
## F-statistic: 661.8 on 2 and 1494 DF,  p-value: < 2.2e-16
## 
## 
## Value of test-statistic is: -36.3802 441.18 661.7598 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.96 -3.41 -3.12
## phi2  6.09  4.68  4.03
## phi3  8.27  6.25  5.34

Portanto, o teste conclui pela não existência de raiz unitária para a série \(dibov2\), mesmo ela sendo não estacionária. Se, deliberadamente, tomarmos uma diferença para esta série, teríamos a série \(dif.dibov2=\Delta dibov2\)

dif.dibov2=diff(dibov2)
par(mfrow=c(1,2))
plot.ts(dibov, ylab="dibov", main="Série de diferenças do Ibovespa (dibov)", cex.main=0.8, ylim=c(-2000,2000), col="darkblue");
abline(h=c(-1500,1500), lty=2, col="darkgrey")
text(c(50,50),c(-1700,1700),c("-1500","1500"), col="darkgrey", cex=0.8)
plot.ts(dif.dibov2, ylab="dif.dibov2=diff(dibov2)", main="Série de dibov com tendência \n artificial, diferençada", cex.main=0.8, ylim=c(-2000,2000), col="darkred")
text(c(50,50),c(-1700,1700),c("-1500","1500"), col="darkgrey", cex=0.8)
abline(h=c(-1500,1500), lty=2, col="darkgrey")

Teste para Dickey-Fuller Aumentado (AR(5))

Spb \(H_0:\ Existe\ uma\ RU\), os testes anteriores supoem que o processo \(\Delta X_t\) é um ruído branco. É possível também supor que o processo \(X_t\) é um \(AR(p)\), e neste caso, \(\Delta X_t\) será um \(AR(p-1)\), como visto em sala de aula:

\[\begin{eqnarray} \Delta X_t=\eta_0+\phi_1^* X_{t-1}+\sum_{i=1}^{p-1}\phi_{i+1}^*\Delta X_{t-i}+\epsilon_t. \end{eqnarray}\]

Para especificar a ordem de \(\Delta X_t\) no teste, utilize parâmetro lags da função ur.df. Assim, para a série do Ibovespa, se quisermos testar a hipótese de existência de raiz unitária na série do Iboespa, dado que ela \(AR(p)\), então a série de diferenças \(\Delta\)Ibovespa será um \(AR(4)\)

test_ibov_adf_ar5=ur.df(ibov,type = "drift",lags=4)
print.adftest(test_ibov_adf_ar5)
## *** Model: diff(X[t]) = a0 + d.x[t-1] + e[t], e[t] ~ WN ***
## 
## Testing H01: d = 0, there is 1 unit root (tau2).
## Testing H02: d = a0 = 0 (phi1).
## 
##      Statistics tau_5pct Result
## tau2   -1.14388    -2.86 Ac H01
## phi1    1.33847     4.59 Ac H02
## 
##  Signif. codes: '*' Rej H0 (sig=10%)    '**' Rej H0 (sig=5%)    '***' Rej H0 (sig=1%) 
## 
## For more details, see ENDERS, W. (2015), Applied Econometric Time Series.

Detalhes do teste

summary(test_ibov_adf_ar5)
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression drift 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1715.85  -115.55     0.33   119.73  1691.32 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept) 23.959915  15.762412   1.520   0.1287  
## z.lag.1     -0.001742   0.001523  -1.144   0.2529  
## z.diff.lag1  0.060914   0.025931   2.349   0.0189 *
## z.diff.lag2 -0.008971   0.025976  -0.345   0.7299  
## z.diff.lag3 -0.014321   0.025976  -0.551   0.5815  
## z.diff.lag4 -0.018464   0.025930  -0.712   0.4765  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 246.8 on 1488 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.005212,   Adjusted R-squared:  0.00187 
## F-statistic: 1.559 on 5 and 1488 DF,  p-value: 0.1686
## 
## 
## Value of test-statistic is: -1.1439 1.3385 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau2 -3.43 -2.86 -2.57
## phi1  6.43  4.59  3.78
par(mar=c(3,2,3,2)) # c(bottom, left, top, right) 
plot(test_ibov_adf_ar5)

Vemos então, de acordo com o teste, que \(\Delta X_t\) possui o primeiro lag significante, isto é, \(\Delta X_t\sim AR(1)\).