Este documento hace parte del trabajo del curso de Estadística Espacial de la Universidad Nacional de Colombia para la Maestría y Especialización en Estadística. El alcance de este documento reporta de manera técnica el paso a paso que se llevó a cabo para la consolidación del trabajo.

Fuentes de datos

Para este análisis se solicita tomar 2 fotos de lugares de la casa o del entorno donde se pueda evidenciar el comportamiento -dentro del análisis de estadística espacial- de estas como procesos exponenciales y gaussianos. A continuación, se muestran estas imágenes.

Imágenes originales

Imágenes en escala de grises

Análisis para el caso Exponencial

Para el caso exponencial se eligió una imágen que representa una mancha seca de café en una taza. Y posteriormente se graficó el semivariograma de esta misma.

Semivariograma empírico para el caso Exponencial

Basado en el semivariograma anterior se puede observar que el valor del Rango Practico se encuentra por encima de 200, este valor se puede inferir dada la estabilizacion del semivariograma mas o menos en ese valor. Es importante contar con el Rango Practico para la estimacion del semivariograma usando la funcion de Matern.

Se evidencia el valor promedio de la imagen 139.36 y la varianza es de esta misma 265.63. Sin embargo, estos datos a simple vista no nos revelan mayor información por lo que se grafica el histograma con su respectiva densidad que puede ser más ilustrativo.

Histograma de la imagen para el caso Exponencial

Este gráfico muestra de esta manera que el histograma de la imagen tiende a una normal aunque con colas pesadas, resaltando que la cola derecha es mucho más pesada que la izquierda.

A continuación se procede a estimar este semivariograma teórico y contrastarlo con el empírico.

Estimación del semivariograma teórico usando Matern.

Para la estimación del semivariograma usando Matern se debe contar con el Rango Práctico (200) y los valores de kappa y phi. Para hallar estos valores se probaron varias configuraciones (manualmente) donde se observaban cuales valores se acercaban más a los ideales. No obstante, cabe mencionar que la elección de estos valores no fue del todo aleatoria sino que se partió de los conceptos vistos en clase donde un kappa menor a 0.5 y un multiplicador cercano a 3 se puede decir que hacen alusión a una imagen con comportamiento exponencial.

En consecuencia, los valores obtenidos para kappa y phi son \(\kappa\) = 0.173 y \(\phi\) = 70.85 y el \(\ multiplicador \ de \ phi\) = 2.823

Semivariograma empírico vs semivariograma teórico para el caso Exponencial

Finalmente se obtiene el semivariograma teórico contrastado con el empírico y se puede decir que si bien el empírico no se ajusta completamente al teórico si se captura en gran medida el comportamiento de este. Así mismo, se puede observar que el semivariograma usando la función de Matern se encuentra en algunos momentos por debajo del valor semivariograma empírico esto puede sugerir una subestimación del modelo. Lo anterior puede obedecer a que se presenta cierta tendencia creciente por parte en el modelo empírico y, que el modelo teórico no está logrando capturar.

Análisis para el caso Gaussiano

Para el análisis del caso gaussiano se propone una foto sobre unas gotas de agua en un vidrio.

Semivariograma empírico para el caso Gaussiano imágen completa

El siguiente semivariograma se estimó sin tomar en cuenta el número de bins de la imagen. Un primer hecho que se observa de esto, es que la imagen no es completamente gaussiana ya que la curva no es propiamente gaussiana. Otro hecho (y quizás mucho más importante) es que al parecer esta imagen tiene anidados 2 modelos puesto que cerca de 350 la imagen tienden a estabilizarse pero luego genera una pequeña inflexión y sigue creciendo. Lo anterior hace pensar que para que la imagen sea completamente gaussiana basta con tomar hasta el bin 350 y así quizás se ajuste mejor a un modelo gaussiano.

Para estimar el modelo como bien se dijo anteriormente se configura que los bin vayan hasta 350 de 15 en 15.

Semivariograma empírico para el caso Gaussiano (bin = 350)

La anterior imagen confirma entonces la sospecha que se tenía en el anterior semivariograma: Es un modelo anidado y que ya hasta el bin 350 si parece ser un proceso gaussiano.

Valor promedio de la imagen 119.8 y la varianza es de esta misma 2730.04. A continuación, se grafica el histograma de la intensidad digital de la imagen para el caso Gaussiano.

Histograma de la imagen para el caso Gaussiano

Observando los resultados del histograma para el caso gaussiano se puede ver que la distribución es bimodal, lo cual podría estar sugiriendo que el modelo es anidado ya que tiene el comportamiento de 2 distribuciones dentro de sí. Este resultado da respaldo a lo que se mencionó anteriormente sobre el hecho que la imagen tuviese 2 modelos anidados.

Estimación del semivariograma teórico usando Matern.

Para la estimación del semivariograma usando Matern se debe contar con el Rango Práctico (más o menos cerca de 335) y los valores de kappa y phi. Al igual que en el caso del modelo exponencial se probaron varias configuraciones (manualmente) donde se observaban cuales valores se acercaban más a los ideales. Pero para el caso gaussiano se puede decir que valores de kappa que tienden a infinito dan certeza que se está modelando un caso gaussiano y con base en lo que se ha visto en clase este kappa no propiamente tiene que ser muy grande sino por encima de 2. En consecuencia, se tienen lo siguientes valores:

En consecuencia, los valores obtenidos para kappa y phi son \(\kappa\) = 2.128 y \(\phi\) = 224.35 y el \(\ multiplicador \ de \ phi\) = 1.4932

Semivariograma empírico vs semivariograma teórico para el caso Gaussiano (bin = 350)

Al ajustar el modelo gaussiano utilizando Matern y con los bins hasta 350 se puede decir que el modelo se acerca a algo gaussiano (no es gaussiano completamente pero si se acerca) pese a que por tramos el semivariograma teórico esté por debajo y luego por encima del semivariograma empírico. No obstante, estas desviaciones no son tan grandes lo que se puede decir que son “tolerables”.

Conclusiones

1. Como bien se mencionó por parte del profesor en la clase: Los procesos gaussianos son muy escasos en la vida real, mientras que los procesos exponenciales son mucho más común; con la realización de este trabajo es algo que se debe enmarcar me costó bastante encontrar un proceso que fuese gaussiano.

2. Si bien no se si este en lo correcto o no pero un hecho que llamó mucho la atención fue que para las imágenes que parecían tener 2 modelos anidados el histograma mostró cierta bimodalidad, lo que podría asociar estos dos hecho (ingenua y quizás equivocadamente), es decir, que histogramas de intensidad digital con comportamientos bimodales puede hacer referencia a imágenes como 2 modelos anidados.

3. Al usar la función Matern para la estimación de los semivariogramas teóricos se observa que estos ajustan de buena manera a los empíricos pero no son lo completamente robustos para realizar una estimación perfecta.

4. Para el caso exponencial se observó una cierta tendencia creciente que el modelo teórico no alcanzó a capturar completamente. Esto por supuesto es algo que se puede esperar ya que uno mismo ni logra en principio conocer la función que está generando esta tendencia y genera un oportunidad para explorar más esto y realizar una descomposición del proceso para poder observar la componente tendencial.

5. Algo que es relevante sobre la realización del taller es que el conocimiento de las funciones, de los algoritmos de las configuraciones de estos mismos son parte esencial para llevar a cabo un buen análisis esto con ocasión del apartado del modelo gaussiano donde cambiando el número de bins en los que se analiza la imagen hace que se tengan resultados completamente diferentes.