1 Medidas de localización

Cuando se dispone de un conjunto de observaciones, es de interés encontrar el valor en torno al cual se agrupan la mayoría de ellas o el centro de las mismas. Las medidas descriptivas que permiten especificar estos valores se denominan medidas de localización o medidas de tendencia central.

Existe una amplia variedad de medidas de localización; nos concentraremos en las más empleadas: el promedio, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica.

1.1 La media muestral o promedio

1.1.1 Datos No Agrupados

Ejemplo. Calcular el sueldo promedio de diez personas que ganan (en dólares):

\[\begin{array} {r} 560 & 472 & 539 & 664 & 573 & 628 & 520 & 715 & 437 & 602 \end{array}\]

Solución

Crear una variable para guardar los datos de nombre var

var = c(560, 472, 539, 664, 573, 628, 520, 715, 437, 602)

Utilizar la función mean para calcular la media de los datos

media = mean(var)

Para visualizar el valor, solo ejecutar el nombre de la variable media

media

## [1] 571

1.1.2 Datos Agrupados

Ejemplo. Calcular la estatura promedio de 46 señoras, cuyas medidas se dan a continuación. \[\begin{array} {|r|r|} \hline Estatura & 1.45 & 1.48 & 1.50 & 1.53 & 1.55 & 1.57 & 1.60 & 1.63 & 1.65 \\ \hline Frecuencia & 2 & 4 & 5 & 8 & 12 & 7 & 4 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Solución

Crear dos variables para guardar los datos

estatura = c(1.45,1.48, 1.50, 1.53, 1.55, 1.57, 1.60,1.63, 1.65)
frecuencia = c(2,4,5,8,12,7,4,3,1)

Para calcular la media utilizar la siguiente sentencias

(estatura %*% frecuencia)/sum(frecuencia)

##          [,1]
## [1,] 1.545435

Ejemplo. En una cooperativa de ahorro y crédito se resumió, en una tabla de frecuencias, el monto de los ahorros (en dólares) de sus socios: \[\begin{array} {|r|r|} \hline Rango & Frecuencia \\ \hline 0 - 100 & 12 \\ 100 - 200 & 28 \\ 200 - 300 & 46 \\ 300 - 400 & 71 \\ 400 - 500 & 186 \\ 500 - 600 & 224 \\ 600 - 700 & 209 \\ 700 - 800 & 122 \\ 800 - 900 & 53 \\ 900 - 1000 & 19 \\ \hline \end{array}\]

Calcular el promedio de los ahorros de los socios de la cooperativa.

Solución

Crear dos variables para guardar los datos

frecuencia = c(12,28,46,71,186,224,209,122,53,19)
LI = c(0,100,200,300,400,500,600,700,800,900)
LS = c(100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000)

Para calcular los puntos medios de cada intervalo, solo se tiene que sumar las variables LI,LS y dividir para 2

puntos_medios = (LI + LS)/2

Para calcular la media utilizar la siguiente sentencias

puntos_medios %*% frecuencia/sum(frecuencia)

##          [,1]
## [1,] 555.1546

1.2 La mediana

1.2.1 Datos No Agrupados

Ejemplo. Determinar la mediana de los siguientes datos: \[\begin{array} {r} 5.5 & 6.9 & 7.0 & 3.0 & 4.8 & 4.1 & 3.2 & 4.3 & 5.5 & 6.5 & 4.3 \end{array}\]

Solución

Crear dos variables para guardar los datos

var = c(5.5, 6.9, 7.0, 3.0, 4.8, 4.1, 3.2, 4.3, 5.5, 6.5, 4.3)

Para calcular la mediana utilizar la siguiente sentencias

median(var)

## [1] 4.8

Ejemplo. Calcular la mediana de los sueldos (en dólares) de diez personas que ganan: \[\begin{array} {r} 560 & 472 & 539 & 664 & 573 & 628 & 520 & 715 & 437 & 602 \end{array}\]

Solución

Crear dos variables para guardar los datos

var = c(560,472,539,664,573,628,520,715,437,602)

Para calcular la mediana utilizar la siguiente sentencias

median(var)

## [1] 566.5

1.2.2 Datos Agrupados

Calcular la mediana de la estatura de 46 señoras, cuyas medidas son: \[\begin{array} {|r|r|r|} \hline Estatura & ni & Ni\\ \hline 1.45 & 2 & 2 \\ 1.48 & 4 & 6 \\ 1.50 & 5 & 11 \\ 1.53 & 8 & 19 \\ 1.55 & 12 & 31 \\ 1.57 & 7 & 38 \\ 1.60 & 4 & 42 \\ 1.63 & 3 & 45 \\ 1.65 & 1 & 46 \\ \hline \end{array}\]

Solución

Crear tres variables para guardar los datos

estatura = c(1.45, 1.48, 1.5,1.53,1.55,1.57,1.6,1.63,1.65)
n_i = c(2,4,5,8,12,7,4,3,1)
N_i = c(2,6,11,19,31,38,42,45,46)

Dividir para 2 la totalidad de los datos

n_2 = sum(n_i)/2
n_2

## [1] 23

Encontrar donde se ubica el número 23 dentro de la columna de la frecuencia acumulada.

## [1] "El número 23 se encuentra entre 19 y 31"

Se toma el número mayor de 19 y 31
Se selecciona la categoria asociada a ese valor

estatura[sum(N_i< n_2) + 1]

## [1] 1.55

Ejemplo. Para la liquidación del impuesto a la renta, en una empresa, se calcularon los ingresos anuales (en dólares) de todos los empleados. La tabla de distribución de frecuencias es la siguiente:

\[\begin{array} {|r|r|} \hline Ingreso & ni \\ \hline 6800 - 8000 & 3\\ 8000 - 10400 & 20\\ 10400 - 12800 & 35\\ 12800 - 16500 & 25\\ 16500 - 20000 & 15\\ 20000 - 66000 & 2\\ \hline \end{array}\]

Solución

Crear tres variables para guardar los datos

LI = c(6800,8000,10400,12800,16500,20000)
LS = c(8000,10400,12800,16500,20000,66000)
n_i = c(3,20,35,25,15,2)
N_i = cumsum(n_i)

Dividir para 2 la totalidad de los datos

n_2 = sum(n_i)/2
n_2

## [1] 50

Encontrar donde se ubica el número 50 dentro de la columna de la frecuencia acumulada.

## [1] "El número 50 se encuentra entre 23 y 58"

Se toma el número mayor de 23 y 58. Se denomina clase media a la clase del 58
Para calcular la media se ejecutan las siguientes sentencias

amplitud = LS[sum(N_i< n_2) + 1] - LI[sum(N_i< n_2) + 1]
med = LI[sum(N_i< n_2) + 1] + ((n_2 - N_i[sum(N_i< n_2)])*amplitud)/n_i[sum(N_i< n_2) + 1]
med

## [1] 12251.43

1.3 La moda

1.3.1 Datos No Agrupados

Ejemplo. Supóngase que las notas de un examen de Estadística fueron las siguientes. Calcular la moda \[\begin{array} {r} 9.4 & 8.1 & 9.0 & 5.6 & 7.0 & 9.0 & 6.5 & 9.0 & 3.8 & 7.0 \end{array}\]

Solución

Crear una variable para guardar los datos

var = c(9.4,8.1, 9.0, 5.6, 7.0, 9.0, 6.5, 9.0, 3.8, 7.0)

Para calcular la moda

frecuencias <- data.frame(table(var))
moda <- frecuencias[which.max(frecuencias$Freq),1]

Para visualizar la moda

paste("La moda de la variable edad es", moda)

## [1] "La moda de la variable edad es 9"

1.4 Percentiles, cuartiles y quintiles

1.4.1 Datos No Agrupados

Ejemplo. Calcular los percentiles de orden 30 y 62 de la estatura de diez personas que miden (en cm): \[\begin{array} {r} 155 & 159 & 162 & 166 & 168 & 169 & 171 & 174 & 178 & 180 \end{array}\]

Solución

Crear una variable para guardar los datos

var = c(155, 159, 162, 166, 168, 169, 171, 174, 178, 180)

Para calcular el percentil 30%

quantile(var,0.30)

##   30% 
## 164.8

Para calcular el percentil 62%

quantile(var,0.62)

##    62% 
## 170.16

1.4.2 Datos agrupados

Ejemplo. Calcular el percentil de orden 86 de los ingresos anuales de los empleados de una empresa.

\[\begin{array} {|r|r|r|} \hline Ingreso & ni & Ni \\ \hline 6800 - 8000 & 3 & 3\\ 8000 - 10400 & 20 & 23\\ 10400 - 12800 & 35 & 58\\ 12800 - 16500 & 25 & 83\\ 16500 - 20000 & 15 & 98\\ 20000 - 26000 & 2 & 100 \\ \hline \end{array}\]

Solución

Crear cuatro variables para guardar los datos

LI = c(6800,8000,10400,12800,16500,20000)
LS = c(8000,10400,12800,16500,20000,66000)
n_i = c(3,20,35,25,15,2)
N_i = c(3,23,58,83,98,100)

Calcular el percentil 86% se tiene que NK/100

nk = 86*100/100
nk

## [1] 86

Encontrar donde se ubica el número 86 dentro de la columna de la frecuencia acumulada.

## [1] "El número 86 se encuentra entre 83 y 98"

Se toma el número mayor de 83 y 98. Se denomina clase media a la clase del 98
Para calcular la media se ejecutan las siguientes sentencias

amplitud = LS[sum(N_i< nk) + 1] - LI[sum(N_i< nk) + 1]
Per = LI[sum(N_i< nk) + 1] + ((nk - N_i[sum(N_i< nk)])*amplitud)/n_i[sum(N_i< nk) + 1]
Per

## [1] 17200