Autor: Jorge Ubirajara Pedreira Junior
Data: 20/07/2020

1) Contexto
A estabilização granulométrica é o processo de mistura de dois ou mais solos, visando obter um material com distribuição granulométrica específica para compor uma camada de base ou sub-base de pavimentos. Conforme preconiza o Manual de Pavimentação do Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes (DNIT, 2006), a estabilização granulométrica possibilita a obtenção de um material que pode ser classificado de acordo com as curvas granulométricas A, B, C, D, E ou F, cujos limites inferior e superior de material que passa em cada peneira pode ser observado na tabela abaixo (DNIT, 2006):

De porte de materiais com características distintas, é possível escolher a fração de cada material que deve compor a mistura final por meio tentativa e erro ou abordagens algébricas e gráficas. Ao fim deste processo, deve-se garantir que a mistura final atenda aos seguintes requisitos geotécnicos (DNIT, 2006):

Uma possível limitação dos métodos de tentativa, algébrico e gráfico consiste no fato de não ser possível garantir, de antemão, que tais propriedades geotécnicas sejam atendidas. Além disso, diferentes materiais podem ter custos de obtenção distintos, implicando que certas combinações, mesmo atingindo uma curva granulométrica de interesse e atendendo às restrições geotécnicas impostas, sejam mais caras que outras. É com base nestes dois fatores limitantes que o presente método de otimização da mistura em estabilizações granulométricas é proposto.

2) Método proposto

O presente método consiste na resolução de um problema de otimização em Programação Linear, com base no problema clássico da mistura (Hillier & Lieberman, 2012). Em sua versão canônica, o problema da mistura envolve uma função objetivo de minimização do custo final da mistura, respeitando restrições técnicas relativas aos materiais envolvidos.
Considerando as características apresentadas do problema da estabilização granulométrica, em questão, o modelo de otimização com as seguintes caracteríticas é proposto:

\(f_i\): fração do material \(i\) na mistura

\(c_i\): custo unitário do material \(i\) (R$/kg).
\(p_{i,j}\): percentual do material \(i\) que passa na peneira \(j\).
\(S_j\): limite superior do percentual que passa na peneira \(j\) para a faixa granulométrica desejada.
\(I_j\): limite inferior do percentual que passa na peneira \(j\) para a faixa granulométrica desejada.
\(LL_i\): limite de liquidez do material \(i\).
\(IP_i\): índice de plasticidade do material \(i\).
\(LL_{max}\): limite de liquidez máximo da mistura.
\(IP_{max}\): índice de plasticidade máximo da mistura.
\(R_{\#200/\#40,max}\): razão máxima entre o percentual da mistura que passa na peneira 200 e o percentual da mistura que passa na peneira 40.

\[\begin{equation} \tag{1} Min \;Z = \sum_{i}^{n}c_if_i \end{equation}\] s.a.:

\[\begin{equation} \tag{2} \sum_{i}^{n}p_{i,j}\cdot f_i\leq S_j, \; \forall j \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{3} \sum_{i}^{n}p_{i,j}\cdot f_i\geq I_j, \; \forall j \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{4} \frac{\sum_{i}^{n}p_{i,j=40}\cdot f_i\cdot LL_i}{\sum_{i}^{n}p_{i,j=40}\cdot f_i} \leq LL_{max} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{5} \frac{\sum_{i}^{n}p_{i,j=40}\cdot f_i\cdot IP_i}{\sum_{i}^{n}p_{i,j=40}\cdot f_i} \leq IP_{max} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{6} \frac{\sum_{i}^{n}p_{i,j=200}\cdot f_i}{\sum_{i}^{n}p_{i,j=40}\cdot f_i} \leq R_{\#200/\#40,max} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{7} \sum_{i}^{n}f_i=1 \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{8} f_i\geq 0, \; \forall i \end{equation}\]

Reescrevendo as equações (4), (5) e (6) em um modelo linear tem-se:

\[\begin{equation} \tag{4'} \sum_{i}^{n}p_{i,j=40}\cdot(LL_i-LL_{max})\cdot f_i \leq 0 \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{5'} \sum_{i}^{n}p_{i,j=40}\cdot(IP_i-IP_{max})\cdot f_i \leq 0 \end{equation}\]

\[\begin{equation} \tag{6'} \sum_{i}^{n}(p_{i,j=200}-p_{i,j=40}\cdot R_{\#200/\#40,max})\cdot f_i \leq 0 \end{equation}\]

Referências

[1] Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes (DNIT). Manual de Pavimentação. Diretoria de Planejamento e Pesquisa. Coordenação Geral de Estudos e Pesquisa. Instituto de Pesquisas Rodoviárias. 2006.
[2] Vargas, M. Introdução à Mecânica dos Solos. 1ª Ed. São Paulo: MacGraw-Hill do Brasil. 1977.
[3] Hillier, F. S.; Lieberman, G. J.Introduction to Operations Research. McGraw-Hill, 2012.