Faça os seguintes exercícios do capítulo 13 do livro “Estatística Básica” de Bussab, W e Morettin, P, 9a. Edição, 2017 (ou edição anterior)
Solicita-se que seja verificada a qualidade das fábricas de acordo com sua uniformidade de produção.
É dado que a variância da Fábrica A é de 0.0412 e que a variância da Fábrica B é de 0.1734. As amostras correspondentes são de tamanho 21 e 17.
Testa-se portanto:
\[\begin{equation} \begin{cases} H_0: S_A \geq S_B\\ H_1: S_A < S_B\\ \end{cases} \end{equation}\]
Para isso, é utilizada a estatística que possui a seguintes distribuição sob \(H_0\): \[W = \frac{S^2_1}{S^2_2} \sim F_{n-1, m-1}\]
Sob as condições da hipótese nula, tem-se o valor de \(W =\) 0.4579, para \(F_{20, 16}\), enquanto o valor calculado dessa estatística é de 0.2376. Obtém-se também o p-valor de 0.05 para essa estatística calculada, com arredondamento para quatro casas decimais.
Decide-se por não rejeitar \(H_0\) a nível de significância \(\alpha = 0.05\).
Calcula-se, por fim, um intervalo de confiança para W:
\[IC(\sigma^2; 0.95) = [0.09; 0.63]\]
Neste exercício é solicitado avaliar se a há influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados.
Pelos dados do problema, as médias salariais para liberais e para administradores é de 9.87 e 9.22 respectivamente, o que leva à construção das seguintes hipóteses:
\[\begin{equation} \begin{cases} H_0: \mu_L \leq \mu_A\\ H_1:\mu_L > \mu_A\\ \end{cases} \end{equation}\]
A Tabela 1 a seguir sintetiza os resultados para teste t-Student, Mann-Whitney, Kolmogorov-Smirnov e Cramér-von Mises realizados para a comparação das amostras não pareadas.
| Teste | Estatística de teste | p-valor |
|---|---|---|
| t-Student | 0.67 | 0.26 |
| Mann-Whitney (Wilcoxon) | 36.00 | 0.19 |
| Kolmogorov-Smirnov | 0.29 | 0.54 |
| Cramér-von Mises | 1.13 | 0.04 |
| Fonte: BUSSAB & MORETTIN (2017) |
Não se rejeita a hipótese nula em nenhum dos casos e o teste Cramér-von Mises apresenta o menor p-valor.
Neste exercício é solicitado avaliar se a há diferença entre as produções de milho do grupo controle e do grupo tratamento.
O propósito do tratamento é aumentar a produtividade dos canteiros, o que leva à construção das seguintes hipóteses:
\[\begin{equation} \begin{cases} H_0: \mu_C \geq \mu_T\\ H_1:\mu_C < \mu_T\\ \end{cases} \end{equation}\]
A Tabela 2 a seguir sintetiza os resultados para teste t-Student, Mann-Whitney, Kolmogorov-Smirnov e Cramér-von Mises realizados para a comparação das amostras não pareadas.
| Teste | Estatística de teste | p-valor |
|---|---|---|
| t-Student | 0.67 | 0.74 |
| Mann-Whitney (Wilcoxon) | 68.00 | 0.92 |
| Kolmogorov-Smirnov | 0.50 | 0.08 |
| Cramér-von Mises | 0.49 | 0.08 |
| Fonte: BUSSAB & MORETTIN (2017) |
Não se rejeita a hipótese nula em nenhum dos casos e os testes Kolmogorov-Smirnov e Cramér-von Mises apresentam o menor p-valor.
Nestes exercícios, é solicitado verificar se uma amostra pareada de lojas apresenta medias significativamente diferentes de vendas sob as condições de ter ou não um cartaz exposto.
Espera-se que a presença do cartaz aumente as vendas, de modo que se pode formular as seguintes hipóteses:
\[\begin{equation} \begin{cases} H_0: \mu_{sem} \geq \mu_{com}\\ H_1:\mu_{sem} < \mu_{com} \end{cases} \end{equation}\]
A Tabela 3 a seguir sintetiza os resultados para teste t-Student, postos sinalizados, e dos sinais Mises realizados para a comparação das amostras pareadas.
| Teste | Estatística de teste | p-valor |
|---|---|---|
| t-Student pareado | -3.6 | 0.01 |
| Postos sinalizados Wilcoxon | 1.0 | 0.02 |
| Teste dos sinais | 1.0 | 0.06 |
| Fonte: BUSSAB & MORETTIN (2017) |
Dessa forma, rejeita-se a hipótese nula, exceto para o teste dos sinais.
Solicita-se que em uma amostra de 20 condutores de automóveis seja avaliado se há influência do consumo de álcool sobre o tempo de reação do condutos. Para isso, foram realizadas medidas antes e depois do consumo de álcool para cada um dos condutores.
As médias de tempo de reação para antes e depois do consumo de álcool são 0.72 e 0.76 respectivamente, o que leva à construção das seguintes hipóteses:
\[\begin{equation} \begin{cases} H_0: \mu_{antes} \geq \mu_{depois}\\ H_1:\mu_{antes} < \mu_{depois} \end{cases} \end{equation}\]
Inicialmente, é realizado teste de normalidade sobre essas variáveis. A Tabela 4 a seguir sintetiza os resultados do teste Shapiro-Wilk:
| Condição | Estatística de teste | p-valor |
|---|---|---|
| Antes | 0.95 | 0.42 |
| Depois | 0.95 | 0.42 |
| Fonte: elaboração própria |
Portanto, admite-se que as variáveis podem ser descritos por uma distribuição Normal.
Em seguida, é testada igualdade de variâncias. A Tabela 5 a seguir exibe o resultado para o teste de variância bilateral entre as condições experimentais:
| Estatística de teste | p-valor |
|---|---|
| 0.81 | 0.64 |
| Fonte: elaboração própria |
Admite-se portanto que a variância do tempo de reação não é significativamente diferente entre as condições experimentais.
Em seguida, realiza-se o teste t de Student considerando amostras pareadas e de variâncias iguais. A Tabela 6 a seguir expõe os resultados do teste unilateral.
| Estatística de teste | p-valor |
|---|---|
| -3.99 | < 0.001 |
| Fonte: elaboração própria |
Entende-se portanto que a média de tempo de reação prévio ao consumo de álcool é menor que o tempo de reação posterior ao consumo de álcool a nível de significância inferior a 0.1%.
MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística básica. Editora Saraiva, 2017 (9ª Edição).