Neste estudo busca-se estudar testes de aderência e a distribuição das suas estatísticas de teste, simulados a partir de gerações de amostras aleatórias. Específicamente, deseja-se:
Para a realização da simulação, foram geradas 1000 (mil) amostras aleatórias de tamanho 15 de uma variável normalmente distribuída com média \(\mu =\) 165 e desvio-padrão \(\sigma =\) 16.5, definido a partir de um coeficiente de variação de 10%.
Além disso, para todos os testes de hipótese realizados no estudo, considera-se as hipóteses abaixo com nível de significância \(\alpha = 0.05\), avaliadas bilateralmente:
\[\begin{equation} \begin{cases} H_0: \text{A amostra pode ser descrita por uma distribuição Normal}\\ H_1: \text{A amostra não pode ser descrita por uma distribuição Normal}\\ \end{cases} \end{equation}\]
Por fim, valores tabelados da distribuições da estatística de teste Kolmogorov, variação Lilliefors, foram obtidos de Conover (1999) e valores tabelados para a estatística de Kolmogorov foram obtidos a partir do pacote DiceDesign, sob a seguinte expressão obtida de Agostino & Stephens (1986):
\[\frac{1.358}{\sqrt n + 0.12 + \frac{0.11}{\sqrt n}}\]
Para a realização dos testes de Kolmogorov em todas as mil amostras, foi considerada como referência uma distribuição normal totalmente especificada com os parâmetros \(\mu\) e \(\sigma\) previamente especificados e utilizados para a geração das amostras aleatórias. Os testes foram realizados pelo método bilateral, utilizando nível de significância de 0.05.
A estatística de teste para todas as mil amostras teve sua menor ocorrência com valor 0.0937334 e sua maior ocorrência com valor 0.5138408. Além disso, média e mediana foram avaliadas em 0.2150186 e 0.2064611 respectivamente.
As frequências das estatísticas de teste foram contabilizadas em dez classes, cujas frequências relativa e acumulada podem ser verificadas na Tabela 1 a seguir.
| Classe | Frequência absoluta | Frequência relativa | Frequência acumulada |
|---|---|---|---|
| 0.09-|0.13 | 80 | 8% | 8% |
| 0.13-|0.17 | 243 | 24.3% | 32.3% |
| 0.17-|0.22 | 250 | 25% | 57.3% |
| 0.22-|0.26 | 213 | 21.3% | 78.6% |
| 0.26-|0.30 | 111 | 11.1% | 89.7% |
| 0.30-|0.34 | 66 | 6.6% | 96.3% |
| 0.34-|0.38 | 23 | 2.3% | 98.6% |
| 0.38-|0.43 | 10 | 1% | 99.6% |
| 0.43-|0.47 | 1 | 0.1% | 99.7% |
| 0.47-|0.51 | 3 | 0.3% | 100% |
| Fonte: elaboração própria |
Analogamente, a distribuição das estatísticas de teste nas mesmas dez classes pode ser observada no histograma disposto na Figura 1 a seguir. É possível observar assimetria à direita, o que confirma graficamente a diferença entre medidas de centralidade.
Figura 1: histograma das estatísticas de teste para Kolmogorov
A seguir são comparados quantis das estatística de teste observadas com seus valores tabelados, dispostos na Tabela 2.
| Quantil | Valor Observado | Valor Tabelado |
|---|---|---|
| 80% | 0.266 | 0.266 |
| 85% | 0.287 | 0.285 |
| 90% | 0.304 | 0.304 |
| 95% | 0.335 | 0.338 |
| 97.5% | 0.368 | 0.368 |
| 99% | 0.396 | 0.404 |
| Fonte: elaboração própria |
É possível observar que, a menos de três dos quantis comparados, cuja variação máxima é de 0.008, os valores observados são idênticos aos valores tabelados.
Para a realização dos testes de Lilliefors em todas as mil amostras, a distribuição normal foi estimada a partir das amostras. Os testes foram realizados pelo método bilateral, utilizando nível de significância de 0.05.
A estatística de teste para todas as mil amostras teve sua menor ocorrência com valor 0.070909 e sua maior ocorrência com valor 0.3026076. Além disso, média e mediana foram avaliadas em 0.1532527 e 0.1496261 respectivamente.
As frequências das estatísticas de teste foram contabilizadas em dez classes, cujas frequências relativa e acumulada podem ser verificadas na Tabela 3 a seguir.
| Classe | Frequência absoluta | Frequência relativa | Frequência acumulada |
|---|---|---|---|
| 0.07-|0.09 | 25 | 2.5% | 2.5% |
| 0.09-|0.11 | 140 | 14% | 16.5% |
| 0.11-|0.14 | 229 | 22.9% | 39.4% |
| 0.14-|0.16 | 274 | 27.4% | 66.8% |
| 0.16-|0.18 | 180 | 18% | 84.8% |
| 0.18-|0.21 | 78 | 7.8% | 92.6% |
| 0.21-|0.23 | 38 | 3.8% | 96.4% |
| 0.23-|0.25 | 22 | 2.2% | 98.6% |
| 0.25-|0.27 | 5 | 0.5% | 99.1% |
| 0.27-|0.30 | 9 | 0.9% | 100% |
| Fonte: elaboração própria |
Analogamente, a distribuição das estatísticas de teste nas mesmas dez classes pode ser observada no histograma disposto na Figura 2 a seguir. É possível observar assimetria à direita, o que confirma graficamente a diferença entre medidas de centralidade.
Figura 2: histograma das estatísticas de teste para Lilliefors
A seguir são comparados quantis das estatística de teste observadas com seus valores tabelados, dispostos na Tabela 4.
| Quantil | Valor Observado | Valor Tabelado |
|---|---|---|
| 80% | 0.180 | 0.181 |
| 85% | 0.187 | 0.190 |
| 90% | 0.202 | 0.202 |
| 95% | 0.223 | 0.219 |
| 97.5% | 0.242 | 0.237 |
| 99% | 0.274 | 0.256 |
| Fonte: elaboração própria |
É possível observar que os desvios das estatísticas obtidas são pequenos em relação aos seus valores tabelados. Enquanto os cinco menores quantis não apresentam desvios superiores a 0.005, o quantil 99% apresenta uma variação positiva de 0.018 em relação ao valor tabelado.
Para os testes a seguir, foram selecionadas cinco amostras do conjunto de mil geradas anteriormente. Em ambas as baterias de testes, as mesmas cinco amostras foram utilizadas.
A Tabela 5 a seguir apresenta os resultados dos testes Shapiro-Wilk.
| Amostra | Estatística do teste | p-valor |
|---|---|---|
| 1 | 0.9312437 | 0.2847861 |
| 2 | 0.9686856 | 0.8381333 |
| 3 | 0.9627833 | 0.7406314 |
| 4 | 0.9795327 | 0.9662143 |
| 5 | 0.9478491 | 0.4912349 |
| Fonte: elaboração própria |
Por fim, a Tabela 6 a seguir apresenta os resultados dos testes Anderson-Darling:
| Amostra | Estatística do teste | p-valor |
|---|---|---|
| 1 | 0.3375405 | 0.4538639 |
| 2 | 0.2173267 | 0.8060337 |
| 3 | 0.2641585 | 0.6444840 |
| 4 | 0.1537752 | 0.9446685 |
| 5 | 0.3563553 | 0.4083869 |
| Fonte: elaboração própria |
É possível observar em ambas as tabelas a aceitação da hipótese de que a distribuição normal é uma boa aproximação para essas distribuições, apesar de haver ampla disparidade entre os p-valores.
CONOVER, William Jay. “Practical nonparametric statistics”. Ed. Wiley, 1999.
D’AGOSTINO Ralph B.; STEPHENS Michael A. “Goodness-of-fit techniques” Ed. CRC Press, 1986.