Ajuste por regresión de una serie de tiempo con errores ARMA
author: Edwin Fernando Barrientos Arroyave date: 02/11/2021 css: FRE_lectures.css width: 1800 height: 1150 autosize: true
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Serie trimestral(N=59) de los ingresos por acomodación, en hoteles licenciados que cuentan con 15 o más habitaciones, en Victoria (Australia), desde el trimestre 1 de 1998 al trimestre 3 de 2012 (en miles de dólares australianos)
======================================================== incremental:true Modelo 1
Modelo aditivo de tendencia cuadrática y estacionalidad representada mediante funciones trigonométricas para las ondas sinusoidales armónicas en frecuencias angulares \(\pi\) y \(\frac{\pi}{2}\)
Ecuación - \(Y_{t}= \beta_0+\beta_{1}t+\beta_{2}t^2 + \sum_{j=1}^{2}[\alpha_{j}\sin(2 \pi F_{j}t) + \gamma_{j}\cos(2 \pi F_{j}t)] + E_{t},\) con \(\{E_t\}_{t \in Z^{+} } un R.B \sim N(0,\sigma^{2})\)
Análisis de residuales, test ACF y PACF
incremental:true
Residuales, ACF y PACF
***
Ciclos y varianza constante
- Existen ciclos en la serie de tiempo de los residuos, esto implica que \(\rho(k) =corr(E_t,E_{t+k}) \neq 0\), para al menos un \(k \neq 0\). También podría decirse que \(\rho(1) =corr(E_t,E_{t+1}) > 0\) dando evidencia en contra del supuesto de independencia.
- Por otro lado no hay evidencia en contra el supuesto de varianza costante, pues se observa un patrón aproximadamente costante a lo largo del tiempo \(Var[E_t]=\sigma^2_{t} \approx \sigma^2\).
- No hay evidencia en contra del supuesto de \(E[E_t]=0\)
Análisis de residuales, test ACF y PACF
incremental:true
Residuales, ACF y PACF
plot of chunk unnamed-chunk-4
Test ACF y PACF
Para el test ACF con K = 1,2,..20 se va a probar respectivamente la siguiente hipótesis: \(H_0 :\rho(k) =corr(E_t,E_{t+k}) = 0\) vs \(H_1 :\rho(k) \neq 0\) y se tendrá en cuenta el estadístico \(\hat{\rho}(k) \stackrel{aprox}{\sim} N(0,\frac{1}{51})\) y criterio de rechazo \(|\hat{\rho}(k)| \geq 2/\sqrt(51)\). Se detecta que \(\rho(k) \neq 0\) para k=1,2,3 y 13
Por otro lado el test PACF con K = 1,2,..20 se va a probar respectivamente la siguiente hipótesis: \(H_0 :\phi_{kk} =corr(E_t,E_{t+k}) = 0\) vs \(H_1 :\phi_{kk} \neq 0\) y se tendrá en cuenta el estadístico \(\hat{\phi}_{kk} \stackrel{aprox}{\sim} N(0,\frac{1}{51})\) y criterio de rechazo \(|\hat{\phi}_{kk}| \geq 2/\sqrt(51)\). Se detecta que \(\phi_{kk} \neq 0\) para k=4
¿Et es estacionario en covarianza?
incremental:true
ACF muestral
Estacionariedad en covarianza
No se cumple el supuesto de ruido blanco, sin embargo, para \(E_t\) no hay evidencia en contra de que su media es constante en cero y se puede asumir con varianza aprox. constante. Como el proceso observado es ergódigo según ACF, es decir \(\lim_{k \to \infty}\rho(k)=0\) rápidamente, entonces se pude decir que el proceso estocástico para \(E_t\) del modelo global es estacionario en covarianza.
Test Durbin Watson
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Postulación del Modelo
- \[Y_{t}= \beta_0+\beta_{1}t+\beta_{2}t^2 + \sum_{j=1}^{2}[\alpha_{j}\sin(2 \pi F_{j}t) + \gamma_{j}\cos(2 \pi F_{j}t)] + E_{t}, con \{E_t\}_{t \in Z^{+} } un R.B \sim N(0,\sigma^{2})\]
- donde \(E_{t}=\phi_1 E_{t-1} + a_t\), \(\{a_t\}_{t\in z^+}\) un R.B \(\sim N(0,\sigma^2_{a})\) y \(|\phi_1|<1\)
| lag | rho estimado | Estadístico D-W | VP rho>0 | VP rho<0 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.6803441 | 0.6196832 | 0 | 1 |
Conclusión
entonces \(\rho(1) =corr(E_t,E_{t+1})\) y se prueba que \(H_0 :\rho(1)=0\) vs \(H_1 :\rho(1) > 0\). Se elige contrastar la hipótesis nula contra la hipótesis \(H_1 :\rho(1) > 0\), ya que el estadístico de la prueba \(d1 = 0.6196832 < 2\), lo que sólo es posible si \(\rho(1) > 0\). El valor P correspondiente, \(P(DW1 < 0.6803441) \approx 0.00\) implica rechazo de \(H_0\) y por tanto evidencia a favor de \(H1\), es decir, que se detecta que en los residuales del modelo 1 hay autocorrelación positiva de orden 1, lo cual invalida supuesto de ruido blanco.
Identificación de modelos ARMA para los Et del modelo 1
incremental:true
ACF y PACF
plot of chunk unnamed-chunk-6
Con base en el análisis de la ACF y PACF muestrales presentados, se propone un AR(4), pues la ACF presenta un patron tipo cola y la PACF un patrón que puede ser tipo corte, tomando como último rechazo válido en k=4.
Modelo ARMA identificado
\(E_t=\phi_{1}E_{t-1}+\phi_{2}E_{t-2}+\phi_{3}E_{t-3}+\phi_{4}E_{t-4}+a_t\) con \(\{a_t\}_{t\in z^+}\) un R.B \(\sim N(0,\sigma^2_{a})\)
Identificación de modelos ARMA para los Et del modelo 1
incremental:true
Función de R: armasubset
Reordering variables and trying again:
plot of chunk unnamed-chunk-7
Con la función armasubsets() de la librería TSA se identifica en el primer renglón superior un AR(4)(solo con los parámetros \(\phi_1\) y \(\phi_4\))
Modelo ARMA identificado
\(E_t=\phi_{1}E_{t-1}+\phi_{4}E_{t-4}+a_t\) con \(\{a_t\}_{t\in z^+}\) un R.B \(\sim N(0,\sigma^2_{a})\)
Identificación de modelos ARMA para los Et del modelo 1
incremental:true
Función de R: auto.arima()
alt text
Con la función auto.arima() de la librería forecast aplicada sobre el vector de valores de los residuales (sin convertirlos en objeto ts()) y usando criterio AIC, se identifica un ARMA(2,2)
Modelo ARMA identificado
\(E_t=\phi_{1}E_{t-1}+\phi_{2}E_{t-2}+a_t+ \theta_{1}a_{t-1}+\theta_{2}a_{t-2}\) con \(\{a_t\}_{t\in z^+}\) un R.B \(\sim N(0,\sigma^2_{a})\)
Modelos de regresión para tendencia, estacionalidad y errores ARMA
incremental:true
Modelo 2: Cuadrático – estacional con errores ARMA(2,2)
\(Y_{t}= \beta_0+\beta_{1}t+\beta_{2}t^2 + \sum_{j=1}^{2}[\alpha_{j}\sin(2 \pi F_{j}t) + \gamma_{j}\cos(2 \pi F_{j}t)] + E_{t},\quad\)
con \(E_t=\phi_{1}E_{t-1}+\phi_{2}E_{t-2}+\phi_{3}E_{t-3}+\phi_{4}E_{t-4}+a_t\), \(\{a_t\}_{t\in z^+}\) un R.B \(\sim N(0,\sigma^2_{a})\)
Modelo 3: Cuadrático – estacional con errores siguiendo modelo ARMA(1,0)(1,0)[4]
\(Y_{t}= \beta_0+\beta_{1}t+\beta_{2}t^2 + \sum_{j=1}^{2}[\alpha_{j}\sin(2 \pi F_{j}t) + \gamma_{j}\cos(2 \pi F_{j}t)] + E_{t},\)
con \(E_t=\Phi_{1}E_{t-4}+\phi_{1}E_{t-1}+\phi_{1}\Phi_{1}E_{t-5}+a_t\), \(\{a_t\}_{t\in z^+}\) un R.B \(\sim N(0,\sigma^2_{a})\)
Modelo 4: Cuadrático – estacional con errores AR(4), sólo con los coeficientes autorregresivos \(\phi_1\) y \(\phi_4\)
\(Y_{t}= \beta_0+\beta_{1}t+\beta_{2}t^2 + \sum_{j=1}^{2}[\alpha_{j}\sin(2 \pi F_{j}t) + \gamma_{j}\cos(2 \pi F_{j}t)] + E_{t},\)
con \(E_t=\phi_{1}E_{t-1}+\phi_{4}E_{t-4}+a_t\), \(\{a_t\}_{t\in z^+}\) un R.B \(\sim N(0,\sigma^2_{a})\)
Parámetros estimados en modelos con erroes ARMA
Modelo 1| Estimación | s.e | Valor To | P(t>|To|) | |
|---|---|---|---|---|
| beta_o | 79730.59841 | 2963.22628 | 26.90669 | 0.00000 |
| beta_1 | 1750.84660 | 262.89587 | 6.65985 | 0.00000 |
| beta_2 | 5.73786 | 4.90169 | 1.17059 | 0.24852 |
| sen1 | 6256.17291 | 1327.49717 | 4.71276 | 0.00003 |
| sen2 | 8019.12167 | 1355.73986 | 5.91494 | 0.00000 |
| sen3 | -3463.68370 | 948.28236 | -3.65259 | 0.00073 |
| Estimación | s.e | Valor To | P(t>|To|) | |
|---|---|---|---|---|
| ar1 | 0.69580 | 0.09974 | 6.97592 | 0.00000 |
| sar1 | -0.10456 | 0.14850 | -0.70407 | 0.48518 |
| beta_o | 79166.76531 | 5045.77892 | 15.68970 | 0.00000 |
| beta_1 | 1750.10736 | 446.20718 | 3.92219 | 0.00031 |
| beta_2 | 6.44905 | 8.28632 | 0.77828 | 0.44067 |
| sen1 | 6419.64088 | 685.60117 | 9.36352 | 0.00000 |
| sen2 | 8058.18107 | 687.54295 | 11.72026 | 0.00000 |
| sen3 | -3458.65243 | 349.91002 | -9.88441 | 0.00000 |
Modelo 2
| Estimación | s.e | Valor To | P(t>|To|) | |
|---|---|---|---|---|
| ar1 | 1.50448 | 0.20467 | 7.35072 | 0.00000 |
| ar2 | -0.74089 | 0.16768 | -4.41838 | 0.00007 |
| ma1 | -0.97269 | 0.19495 | -4.98933 | 0.00001 |
| ma2 | 0.55320 | 0.17165 | 3.22284 | 0.00249 |
| beta_o | 79824.57609 | 4418.75212 | 18.06496 | 0.00000 |
| beta_1 | 1661.82930 | 397.55099 | 4.18017 | 0.00015 |
| beta_2 | 8.47511 | 7.48751 | 1.13190 | 0.26425 |
| sen1 | 6435.72464 | 592.88441 | 10.85494 | 0.00000 |
| sen2 | 8082.03076 | 602.19419 | 13.42097 | 0.00000 |
| sen3 | -3420.39479 | 465.64257 | -7.34554 | 0.00000 |
| Estimación | s.e | Valor To | P(t>|To|) | |
|---|---|---|---|---|
| ar1 | 0.75788 | 0.10420 | 7.27335 | 0.00000 |
| ar4 | -0.19842 | 0.10406 | -1.90683 | 0.06324 |
| beta_o | 79725.99675 | 4420.92801 | 18.03377 | 0.00000 |
| beta_1 | 1676.44220 | 394.95828 | 4.24461 | 0.00011 |
| beta_2 | 8.11559 | 7.38923 | 1.09830 | 0.27819 |
| sen1 | 6450.16315 | 629.52412 | 10.24609 | 0.00000 |
| sen2 | 8053.33038 | 633.17495 | 12.71897 | 0.00000 |
| sen3 | -3444.06770 | 323.66520 | -10.64083 | 0.00000 |
Gráficos de residuales(Modelos: 2,3 y 4)
incremental:true
Residuos vs tiempo
En todas las gráficas de residuales de ajuste de los modelos 2 a 4 correspondiente a \(\hat{a}_t\), no se encuentra evidencia en contra \(E[a_t]=0\) y \(Var[a_t]=\sigma^2_{a}\), \(\forall_t\). ***
Residuos vs valores ajustados
Gráficos ACF y PACF(Modelos: 2,3 y 4)
ACF´s de los residuos de ajuste
En los test ACF, donde se define \(\rho(k)=corr(a_t,a_{t+k})\) con \(k=1,2,..,20\) no se halla evidencia en contra del supuesto R.B.
PACF´s de los residuos de ajuste
En los test PACF, donde se define \(\phi_{kk}=corr(a_t,a_{t+k}|a_{t+1},...,a_{t+k-1})\) con \(k=1,2,..,20\) no se halla evidencia en contra del supuesto R.B.
Gráficos de normalidad(Modelos: 2,3 y 4)
incremental:true
Gráficos de probabilidad normal
*** Test a probar
\(H_0:a_t \sim N(0,\sigma^2_a)\) vs \(H_1:a_t \nsim N(0,\sigma^2_a)\)
| Estadístico W | Valor P | |
|---|---|---|
| modelo2 | 0.9697316 | 0.2155589 |
| modelo3 | 0.9707561 | 0.2376867 |
| modelo4 | 0.9640358 | 0.1239596 |
En los modelos 2,3 y 4 se observan fuestes desviaciones a lo largo de toda la nubes de puntos.
Comparación de los ajustes
incremental:true
Comparación de gráficos de ajuste
* Comparación de medidas de ajuste**
| Modelo1 | Modelo2 | Modelo3 | Modelo4 | |
|---|---|---|---|---|
| AIC | 51032490 | 26783180 | 28763331 | 26999194 |
| BIC | 64054615 | 39117245 | 38944315 | 36555750 |
Gráficamente, se observa una mejora en los ajustes al incluir las estructuras ARMA en los errores estructurales \(E_t\), pero es difícil distinguir por gráficos en cuál de los modelos 2 a 4 es mejor el ajuste. Con los criterios de información AIC y BIC se encuentra que por ambos criterios el mejor ajuste es con el modelo 4
Pronósticos ex-post (m=8 periodos)
incremental:true
Comparación precisión pronósticos puntuales y por I.P
| RMSE | MAE | MAPE | Amp Media I.P | Cobertura | |
|---|---|---|---|---|---|
| mod1 | 9226.321 | 8416.517 | 4.093124 | 32149.49 | 1 |
| mod2 | 4689.718 | 4078.036 | 1.977711 | 24576.38 | 1 |
| mod3 | 6911.309 | 6167.917 | 2.992077 | 25282.03 | 1 |
| mod4 | 5004.117 | 4261.396 | 2.056165 | 25897.02 | 1 |
Comparación precisión pronósticos puntuales y por I.P
Considerando que en los modelos 2,3 y 4 no se imcumple el supuesto de (\(\{a_t\}_{t\in z^+}\) un R.B \(\sim N(0,\sigma^2_{a})\) ).Los I.P de los modelos logran una cobertura de \(100\%\) de los valores reales. EL modelo 2 tiene un I.P mas estrecho por otro lado, usando las medidas de MAE, MAPE y RMSE de pronóstico se halla que el error promedio en pronóstico es un poco menor en el modelo 2, seguido por el modelo 4.
Pronósticos ex-post (m=8 periodos)
incremental:true
Comparación gráfica de pronósticos
***
Terminar
En terminos generales los modelos están subestimando la mayoría de tiempo los pronósticos reales, a excepción de los modelos 2 y 4 que en algunos periodos sobre estiman dichos pronósticos. También se observa en la gráfica que el modelo 2 es el más cercano a la realidad.
El modelo que mejor pronóstica es el modelo 2 ya que:
- Tiene I.P mas estrecho que el resto de modelos
- Tiene un error promedio en pronóstico menor que el resto